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数学中考全国各地分类汇编带解析42 解直角三角形和应用.doc

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资源描述

1、专题 42:解直角三角形和应用一、选择题1. (2012 广东深圳 3 分)小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图,此时测得地面上的影长为 8 米,坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为300,同一时 刻,一根长为 l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米,则树的高度为【 】A. 米 B.12 米 C. 米 D10 米(63)(423)【答案】A。【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质。【分析】延长 AC 交 BF 延长线于 E 点,则CFE=30。作 CEBD 于 E,在 RtCFE 中

2、,CFE=30,CF=4,CE=2,EF=4cos30=2 ,3在 Rt CED 中, CE=2,同一时刻,一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米,DE=4。BD=BF+EF+ED=12+2 。3DCEDAB,且 CE:DE=1:2,在 RtABD 中,AB= BD= 。故选 A。1+362. (2012 浙江嘉兴、舟山 4 分)如图,A 、B 两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C,测出 AC=a 米,A=90,C=40,则 AB 等于【 】米/ 75- 2 -A asin40 B acos40 C atan40 D0atn4

3、【答案】C。【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。【分析】ABC 中,AC=a 米,A=90,C=40 ,AB=atan40。故选 C。3. ( 2012 福建福州 4 分)如图,从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45,如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米,点 A、D、B 在同一直线上,则 AB 两点煌距离是【 】A200 米 B200 米 C220 米 D100( 1)米3 3 3【答案】D。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】图中两个直角三角形中,都是知道已知角和对边,根据正切函数求出邻边

4、后,相加求和即可:由已知,得A30,B 45 ,CD 100, CDAB 于点 D,在 RtACD 中,CDA 90 ,tanA , AD 100 。CDAD CDtanA 10033 3在 Rt BCD 中,CDB90,B 45, DBCD100。 ABADDB100 100 100( 1)(米) 。故选 D。3 34. (2012 湖北宜昌 3 分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为 27,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为 24 米,则旗杆的高度约为【 】A24 米 B20 米 C16 米 D12 米【答案】D。【考点】解直角三角形的应用,锐角三

5、角函数定义。【分析】ABBC,BC=24 米,ACB=27 ,AB=BCtan27。把 BC=24 米,tan270.5 代入得, AB240.5=12 米。故选 D。5. (2012 湖北荆州 3 分)如图,ABC 是等边三角形,P 是ABC 的平分线 BD 上一点,PEAB 于点 E,线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F,垂足为点 Q若 BF=2,则 PE 的长为【 】A 2 B 2 C D 3【答案】C。【考点】等边三角形的性质,角平分线的定义,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的性质。【分析】ABC 是等边三角形,点 P 是ABC 的平分线, EBP=QBF=30,

6、BF=2,FQBP,BQ=BFcos30=2 。3=2FQ 是 BP 的垂直平分线,BP=2BQ=2 。在 Rt BEF 中,EBP=30,PE= BP= 。故选 C。1236. (2012 湖北孝感 3 分) 如图,在塔 AB 前的平地上选择一点 C,测出塔顶的仰角为30,从 C 点向塔底/ 75- 4 -B 走 100m 到达 D 点,测出塔顶的仰角为 45,则塔 AB 的高为【 】A50 m B100 m C m D m33103+103【答案】D。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) 。【分析】根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形,由 BC= AB 和 BC=AB+1003

7、求解即可求出答案:在 Rt ABD 中,ADB=45,BD=AB。在 Rt ABC 中,ACB=30 ,BC= AB。3CD=100, BC=AB+100。AB+100= AB,解得 AB= 。故选 D。1037. (2012 湖北襄阳 3 分)在一次数学活动中,李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度 CD如图,已知小明距假山的水平距离 BD 为 12m,他的眼镜距地面的高度为 1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点 C,此时,铅垂线 OE 经过量角器的 60刻度线,则假山的高度为【 】A (4 +1.6)m B (12 +

8、1.6)m C ( 4 +1.6)m D4333m3【答案】A。【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】如图,作 AKCD 于点 K,BD=12 米,李明的眼睛高 AB=1.6 米,AOE=60,DB=AK12 米, AB=KD=1.6 米,ACK=60 。 , 。AKtanC01243tanACKta6CD=CK+DK=4 +1.6=( 4 +1.6) (米) 。故选 A。38. (2012 四川广安 3 分)如图,某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: ,堤坝高3BC=50m,则应水坡面 AB 的长度是【 】A100m B100 m C150m D5

9、0 m33【答案】A。【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义,勾股定理。【分析】堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: , ,3BC1=A3BC=50,AC=50 , (m) 。故322=+50+0选 A。9. (2012 四川德阳 3 分)某时刻海上点 P 处有一客轮,测得灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东30方向,且相距 20 海里.客轮以 60 海里/ 小时的速度沿北偏听偏西 60方向航行 小时到32达 B 处,那么 tanABP=【 】A. B.2 C. D.21552【答案】A。【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析

10、】灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30方向,且相距 20 海里,PA=20。/ 75- 6 -客轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60方向航行 小时到达 B 处,23APB=90 ,BP=60 =40。23tanABP= 。故选 A。AP01B410. (2012 贵州黔西南 4 分) 兴义市进行城区规划,工程师需测某楼 AB 的高度,工程师在 D 得用高 2m 的测角仪 CD,测得楼顶端 A 的仰角为 30,然后向楼前进 30m 到达 E,又测得楼顶端 A 的仰角为 60,楼 AB 的高为【 】(A) (B) (C ) (D )103+2m203+m53+2m5【答案】D。【考点】解直

11、角三角形的应用(仰角俯角问题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】如图,在 RtAFG 中, , AFG=60 0,AGtanF 。2AG 3F=tan60在 Rt ACG 中, ,ACG=30 0,tC G 。0C=3tan 又CF=CGFG=30,即 ,解得 。3A0AG15 3 。ABG15 32这幢教学楼的高度 AB 为( )m。故选 D。 11. (2012 山东泰安 3 分)如图,为测量某物体 AB 的高度,在在 D 点测得 A 点的仰角为30,朝物体 AB 方向前进 20 米,到达点 C,再次测得点 A 的仰角为 60,则物体 AB 的高度为【 】A 米 B10 米

12、 C 米 D 米103203203【答案】A。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】在直角三角形 ADC 中,D=30 , =tan30。BD= 。ABD0AB=3tan在直角三角形 ABC 中,ACB=60 ,BC=。03tan6CD=20,CD=BD BC= 。 解得:AB= 。故选 A。3AB=21二、填空题1. (2012 江苏南京 2 分)如图,将 的AOB 按图摆放在一把刻度尺上,顶点 O 与尺45下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm,若按相同的方式将 的AOC 放置在该尺上,则 O

13、C 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 37 cm(结果精确到 0.1 cm,参考数据: , , )sin370.6cos370.8tan370.5【答案】2.7。【考点】解直角三角形的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】过点 B 作 BDOA 于 D,过点 C 作 CEOA 于 E。在BOD 中,BDO=90,DOB=45,/ 75- 8 -BD=OD=2cm 。CE=BD=2cm 。在COE 中,CEO=90,COE=37, ,OE2.7cm 。CEtan37 0.75OOC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 2.7cm。2. (20

14、12 福建南平 3 分)如图,在山坡 AB 上种树,已知C=90,A=28,AC=6 米,则相邻两树的坡面距离 AB 米 (精确到 0.1 米)【答案】6.8。【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义。【分析】利用线段 AC 的长和A 的余弦弦值求得线段 AB 的长即可:(米) 。C6B.8cos280.2. (2012 福建龙岩 3 分)如 图 , Rt ABC 中 , C=90, AC = BC = 6, E 是 斜 边 AB 上 任 意一 点 , 作 EF AC于 F, EG BC 于 G, 则 矩 形 CFEG 的 周 长 是 【答案】12。【考点】等腰三角形的性质

15、,矩形的判定和性质,平行的性质。【分析】C=90,EFAC,EG BC ,C=EFC=EGC=90。四边形 FCGE 是矩形。FC=EG,FE=CG,EFCG ,EG CA,BEG=A=45=B。EG=BG。同理 AF=EF,矩形 CFEG 的周长是 CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12。3. (2012 福建福州 4 分)如图,已知 ABC ,ABAC1,A36 ,ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D,则 AD 的长是 ,cosA 的值是 (结果保留根号)【答案】 ; 。5 12 5 14【考点】黄金分割,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形

16、的判定和性质,锐角三角函数的定义。【分析】可以证明ABCBDC,设 ADx,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列出方程,求得 x 的值;过点 D 作 DEAB 于点 E,则 E 为 AB 中点,由余弦定义可求出cosA 的值: 在ABC 中,AB AC1,A36, ABCACB 72 。180 A2 BD 是ABC 的平分线, ABDDBC ABC36。12 ADBC 36 。又CC, ABC BDC。 。ACBC BCCD设 ADx,则 BDBCx则 ,解得:x (舍去)或 。1x x1 x 5 12 5 12x 。5 12如图,过点 D 作 DEAB 于点 E, ADBD,E 为 AB

17、中点,即AE AB 。12 12在 Rt AED 中,cosA 。AEAD125 12 5 14/ 75- 10 -4. (2012 湖北荆门 3 分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请你根据图中数据,计算这个密封纸盒的表面积为 cm 2 (结果可保留根号)【答案】 +360。753【考点】由三视图判断几何体,解直角三角形。【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱, 其高为 12cm,底面半径为 5 cm,其侧面积为 6512=360cm2。又密封纸盒的底面面积为: cm2,15263=72其全面积为:( +360)cm 2。735. (2012 湖北咸宁 3 分)如图,某公园入口处原

18、有三级台阶,每级台阶高为 18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为 A,斜坡的起始点为 C,现设计斜坡 BC的坡度 ,1:5i则 AC 的长度是 cm【答案】210。【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题) 。【分析】过点 B 作 BDAC 于 D,根据题意得:AD=230=60(cm) ,BD=183=54(cm) ,斜坡 BC 的坡度 i=1:5, BD:CD=1:5。CD=5BD=554=270(cm ) 。AC=CDAD=27060=210(cm) 。AC 的长度是 210cm。6. (2012 湖南株洲 3 分)数学实践探究课中,老师布置同学们测量学

19、校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60,则旗杆的高度是 米【答案】10 。3【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】如图,根据题意得:AC=10 米,ACB=60 ,A=90,在 RtABC 中,AB=ACtanACB=10tan60=10 =10 (米) 。37. (2012 辽宁大连 3 分)如图,为了测量电线杆 AB 的高度,小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为 9m 的 D 处。若测角仪 CD 的高度为 1.5m,在 C 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 36,则电线杆 AB 的

20、高度约为 m(精确到 0.1m) 。 (参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73 ) 【答案】8.1。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) ,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义。【分析】如图,由 DB=9m,CD=1.5m,根据矩形的判定和性质,得CE=9m,BE=1.5m。在 Rt ACE 中,AE=CEtanACE=9 tan36090.73=6.57。AB=AEBE6.57 1.5=8.078.1 (m) 。/ 75- 12 -8. (2012 辽宁铁岭 3 分)如图,在东西方向的海岸线上有 A、B 两个港口,甲货船从 A港沿北偏东 60的方向以 4 海

21、里小时的速度出发,同时乙货船从 B 港沿西北方向出发,2 小时后相遇在点 P 处,问乙货船每小时航行 海里.【答案】 。2【考点】解直角三角形的应用(方向角问题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】作 PCAB 于点 C,甲货船从 A 港沿北偏东 60的方向以 4 海里/小时的速度出发,PAC=30, AP=42=8。PC=APsin30=8 =4。12乙货船从 B 港沿西北方向出发, PBC=45PB=PC 。2=4乙货船的速度为 (海里/ 小时) 。29. (2012 贵州安顺 4 分)在一自助夏令营活动中,小明同学从营地 A 出发,要到 A 地的北偏东 60方向的 C 处,

22、他先沿正东方向走了 200m 到达 B 地,再沿北偏东 30方向走,恰能到达目的地 C(如图) ,那么,由此可知, B、C 两地相距 m【答案】200。【考点】解直角三角形的应用(方向角问题) ,三角形内角和定理,等腰三角形的判定。【分析】由已知得:ABC=90+30=120 ,BAC=9060=30 。ACB=180ABCBAC=180 12030=30 。ACB=BAC。BC=AB=200(m ) 。10. (2012 贵州黔南 5 分)都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图,已知扶梯的长l 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自动扶梯与地面所成的角为 ,则 tan 的

23、值等于 。【答案】 。34【考点】完全平方式。解直角三角形的应用(坡度坡角问题) ,勾股定理,锐角三角函数定义。【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中,已知了坡面 l 和铅直高度 h 的长,可用勾股定理求出坡面的水平宽度,进而求出 的正切值:如图;在 Rt ABC 中,AC=l=10 米,BC=h=6 米;根据勾股定理,得:AB= (米)2ACB=8tan= 。BC63=A8411. (2012 广西来宾 3 分) 如图,为测量旗杆 AB 的高度,在与 B 距离为 8 米的 C 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 56,那么旗杆的高度约是 米(结果保留整数) (参考数据:sin560.829,cos

24、560.559,tan561.483)【答案】12。【考点】解直角三角形的应用(仰角仰角问题) ,锐角三角函数定义。【分析】直接根据正切函数定义求解:AB=BCtanACB=8tan5681.48312(米) 。12. (2012 广西柳州 3 分)已知:在ABC 中,AC=a,AB 与 BC 所在直线成 45角,AC与 BC 所在直线形成的夹角的余弦值为 (即 cosC= ) ,则 AC 边上的中线长是 2525/ 75- 14 -【答案】 或 a。8510【考点】解直角三角形,锐角三角函数定义,三角形中位线定理,勾股定理。【分析】分两种情况:ABC 为锐角三角形时,如图 1,BE 为 AC

25、 边的中线。作ABC 的高 AD,过点 E 作 EFBC 于点 F。在 RtACD 中,AC=a ,cosC= ,25CD= a,AD= a。25在 RtABD 中,ABD=45,BD=AD= a。 。 BC=BD+CD= a。535点 E 是 AC 的中点,EFAD,EF 是ACD 的中位线。FC= DC= a,EF= AD= a。1251250BF= a。在 Rt BEF 中,由勾股定理,得。22251785BEFa=a500ABC 为钝角三角形时,如图 2,BE 为 AC 边的中线。作ABC 的高 AD。在 RtACD 中,AC=a ,cosC= ,5CD= a,AD= a。25在 Rt

26、ABD 中,ABD=45,BD=AD= a。BC= BD= a。55点 E 是 AC 的中点,BE 是ACD 的中位线。BE= AD= a。120综上所述,AC 边上的中线长是 或 a。8510三、解答题1. (2012 天津市 8 分)如图,甲楼 AB 的高度为 123m,自甲楼楼顶 A 处,测得乙楼顶端C 处的仰角为 450,测得乙楼底部 D 处的俯角为 300,求乙楼 CD 的高度(结果精确到0.1m, 取 1.73) 32. (2012 安徽省 10 分)如图,在ABC 中,A=30,B=45,AC= ,求 AB 的32长,/ 75- 16 -【答案】解:过点 C 作 CD AB 于

27、D,在 Rt ACD 中,A=30,AC ,23CD=ACsinA= ,AD=ACcosA= 。230.532在 Rt BCD 中,B=45,则 BD=CD= ,AB=AD+BD=3+ 。3【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。【分析】在一个三角形中已知两个角和一边,求三角形的边,不是直角三角形,要利用三角函数必须构筑直角三角形,过点 C 作 CDAB 于 D,利用构造的两个直角三角形来解答。3. (2012 山西省 9 分)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端AB 的距离,飞机在距海平面垂直高度为 100 米的点 C 处测得端点 A 的俯角为 60,

28、然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500 米,在点 D 测得端点 B 的俯角为 45,求岛屿两端 AB 的距离(结果精确到 0.1 米,参考数据: )【答案】解:过点 A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BFCD 于点 F,ABCD ,AEF= EFB=ABF=90。四边形 ABFE 为矩形。AB=EF,AE=BF。由题意可知:AE=BF=100,CD=500。在 Rt AEC 中, C=60,AE=100, 。0AE1C=3tan6在 Rt BFD 中,BDF=45,BF=100, 。0BF1D=tan45AB=EF=CD+DFCE=500+100 600 1.7360057.6

29、7542.310310(米) 。答:岛屿两端 AB 的距离为 542.3 米。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)矩形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形,过点 A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BFCD 于点 F,分别解RtAEC 和 RtAEC 即可求解。4. (2012 陕西省 8 分)如图,小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离,他先在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 方向,然65后,他从凉亭 A 处沿湖岸向正东方向走了 100 米到 B 处,测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 方向(点

30、A、B、C 在同一水平面上) 请你利用小明测得的相关数据,求湖45心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离(结果精确到 1 米) (参考数据: ,sin20.46cos250.963tan250.463sin50.963, , ,)cos65.ta1,【答案】解:如图,作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D,则BCD=45 0,ACD=65 0。在 RtACD 和 RtBCD 中, 设 AC=x,则 AD= ,BD=CD= 。0xsin650xcos65 。01coi (米) 。0027sin65s湖心岛上的迎宾槐 C 处与凉亭 A 处之间距离约为 207 米。【考点】解直角三

31、角形的应用(方向角问题),锐角三角函数定义。/ 75- 18 -【分析】如图作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D,在 RtACD 和 RtBCD 中分别表示出AC 的长就可以求得 AC 的长。5. (2012 广东省 7 分)如图,小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tan= ,在与山脚 C 距离 200米的 D 处,测得山顶 A 的仰角为 26.6,求小山岗的高 AB(结果取整数:参考数据:sin26.6=0.45,cos26.6=0.89,tan26.6=0.50) 【答案】解:在 RtABC 中, , 。AB3tan=C4BCA在 RtADB 中, ,BD=2AB 。026.5DBDBC=

32、CD=200,2AB =200,解得:AB=300。3答:小山岗的高度为 300 米。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角和坡度坡角问题)【分析】在 RtABC 中根据坡角的正切值用 AB 表示出 BC,在 RtDBA 中用 AB 表示出BD,根据 BD 与 BC 之间的关系列出方程求解即可。6. (2012 广东汕头 9 分)如图,小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tan= ,在与山脚 C 距离200 米的 D 处,测得山顶 A 的仰角为 26.6,求小山岗的高 AB(结果取整数:参考数据:sin26.6=0.45,cos26.6=0.89,tan26.6=0.50) 【答案】解:在 RtABC

33、 中, , 。AB3tan=C4BCA在 RtADB 中, ,BD=2AB 。026.5DBDBC=CD=200,2AB =200,解得:AB=300。3答:小山岗的高度为 300 米。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角和坡度坡角问题)【分析】在 RtABC 中根据坡角的正切值用 AB 表示出 BC,在 RtDBA 中用 AB 表示出BD,根据 BD 与 BC 之间的关系列出方程求解即可。7. (2012 广东湛江 8 分)某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度如图,在距主塔从 AE60 米的 D 处用仪器测得主塔顶部 A 的仰角为 68,已知测量仪器的高 CD=1.3米,求主塔 AE

34、 的高度(结果精确到 0.1 米) (参考数据:sin680.93,cos680.37,tan682.48)【答案】解:根据题意得:在 RtABC 中,AB=BCtan68602.48=148.8 (米) ,CD=1.3 米, BE=1.3 米。AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1 (米) 。主塔 AE 的高度为 150.1 米。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) ,锐角三角函数定义,矩形的性质。【分析】由题意即可得:在 RtABC 中,AB=BCtan68,根据矩形的性质,得 BE=CD=1.3米,即可求得主塔 AE 的高度。8. (2012 广东珠海 7 分)如图,水渠

35、边有一棵大木瓜树,树干 DO(不计粗细)上有两个木瓜 A、B(不计大小) ,树干垂直于地面,量得 AB=2 米,在水渠的对面与 O 处于同一水平面的 C 处测得木瓜 A 的仰角为 45、木瓜 B 的仰角为 30求 C 处到树干 DO 的距离CO (结果精确到 1 米) (参考数据: ,31.7)21.4/ 75- 20 -【答案】解:设 OC=x,在 Rt AOC 中,ACO=45,OA=OC=x。在 Rt BOC 中,BCO=30 , 。3OBCtan0xAB=OAOB= ,解得 。3x=2x3+1.7=45OC=5 米。答:C 处到树干 DO 的距离 CO 为 5 米。【考点】解直角三角形

36、的应用(仰角俯角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】设 OC=x,在 RtAOC 中,由于ACO=45,故 OA=x,在 RtBOC 中,由于BCO=30,故 ,再根据 AB=OAOB=2 即可得出结论。3OBCtan0x9. (2012 浙江丽水、金华 6 分)学校校园内有一小山坡 AB,经测量,坡角 ABC30 ,斜坡 AB 长为 12 米为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡 BD 的坡比是 1:3(即为CD 与 BC 的长度之比) A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度 AD【答案】解:在 RtABC 中,ABC30,AC AB6,BCABcosABC

37、 12 。12362斜坡 BD 的坡比是 1:3,CD 。ADACCD61BC。23答:开挖后小山坡下降的高度 AD 为(6 )米。23【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】在直角ABC 中,利用三角函数即可求得 BC、AC 的长,然后在直角BCD 中,利用坡比的定义求得 CD 的长,根据 ADACCD 即可求解。10. (2012 浙江绍兴 8 分)如图 1,某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米,坡角BAC 为 32。(1)求一楼于二楼之间的高度 BC(精确到 0.01 米) ;(2)电梯每级的水平级宽均是 0.25 米

38、,如图 2小明跨上电梯时,该电梯以每秒上升 2 级的高度运行,10 秒后他上升了多少米(精确到 0.01 米)?备用数据:sin32=0.5299,con32=0.8480,tan32=6249。【答案】解:(1)sinBAC= ,BC=ABsin32=16.500.52998.74 米。BCA(2)tan32= ,级高=级宽tan32=0.250.6249=0.156225级 高级 宽电梯以每秒上升 2 级,10 秒钟电梯上升了 20 级。小明上升的高度为:200.1562253.12 米。【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题) ,锐角三角函数定义 。【分析】 (1)直接根据正弦函数定义

39、可求一楼于二楼之间的高度 BC。(2)由每级的水平级宽均是 0.25 米,根据正切函数定义可求每级的级高,从而由电梯以每秒上升 2 级可得电梯上升的级数,因此即可求得小明上升的高度。/ 75- 22 -11. (2012 浙江台州 8 分)如图,为测量江两岸码头 B、D 之间的距离,从山坡上高度为50 米的 A 处测得码头 B 的俯角EAB 为 15,码头 D 的俯角 EAD 为 45,点 C 在线段BD 的延长线上,ACBC,垂足为 C,求码头 B、D 的距离(结果保留整数) 【答案】解:AEBC,ADC=EAD=45。又ACCD,CD=AC=50 。AEBC,ABC=EAB=15。又 ,

40、。ACtanB0AC5=185.2tanB.7taBD185.250135(米) 。答:码头 B、D 的距离约为 135 米。【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题) ,等腰直角三角形的性质,平行的性质,锐角三角函数定义。【分析】由EAB=15,根据平行的性质,可得ABC=EAB=15。从而解直角三角形ABC 可求得 BC 的长。由ADC=EAD=45可得 CD=AC=50。从而由 BD=BCCD 可求得 B、D 的距离。12. (2012 浙江温州 9 分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线 l(如图). 救生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的 B 处有人发出求

41、救信号,他立即沿AB 方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从 C 处入海,径直向B 处游去.甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处,再向 B 处游去.若 CD=40 米,B 在 C 的北偏东 35方向,甲乙的游泳速度都是 2 米/ 秒.问谁先到达 B 处?请说明理由.(参考数据:sin550.82,cos550.57,tan551.43)【答案】解:由题意得BCD=55 ,BDC=90 。 ,BD=CDtan BCD=40tan5557.2。BDtanC , 。cosC 40 7.2cosBDcos5 。 。57.27.2t1038.6t 3.1乙乙 t乙答:乙先

42、到达 B 处。【考点】解直角三角形的应用(方向角问题) ,锐角三角函数定义。【分析】在 RtCDB 中,利用三角函数即可求得 BC,BD 的长,则求得甲、乙的时间,比较二者之间的大小即可。13. (2012 江苏淮安 10 分)如图,ABC 中,C=90 0,点 D 在 AC 上,已知BDC45 0,BD ,AB20,求A 的度数。21【答案】解:在直角三角形 BDC 中,BDC=45 ,BD= ,102BC=BDsinBDC= 。210=C=90,AB=20, 。A=30。BCsinA 02【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】首先在直角三角形 BDC 中,利用 BD 的长和

43、BDC=45求得线段 BC 的长,然后在直角三角形 ABC 中求得A 的度数即可。/ 75- 24 -14. (2012 江苏连云港 10 分)已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2方向,且其到 A 观测点正北方向的距离 BD 的长为 16km,一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行,15min 后达到 C 处,现测得 C 处位于 A 观测点北偏东 79.8方向,求此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长(精确到 0.1km)(参考数据:sin53.20.80,cos53.20.60,sin79.80.98,cos79.80.18,tan26.60.

44、50, 1.41, 2.24)25【答案】解:由路程=速度 时间,得 BC40 10。1560在 Rt ADB 中,sin DBA ,sin53.20.8 ,DBAAB 。B1=2sin0.8如图,过点 B 作 BHAC ,交 AC 的延长线于 H,在 Rt AHB 中,BAH DAC DAB63.63726.6 ,tanBAH ,0.5 ,AH2BH。HA又BH 2AH 2AB 2,即 BH2(2BH) 220 2,BH4 , AH8 。55在 Rt BCH 中,BH 2CH 2BC 2,即(4 ) 2CH 210 2,解得 CH25。5ACAHCH8 2 6 13.4。55答:此时货轮与

45、A 观测点之间的距离 AC 约为 13.4km。【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)锐角三角函数定义,勾股定理。【分析】根据在 RtADB 中,sinDBA ,得出 AB 的长,从而得出 tanBAHDB,求出 BH 的长,即可得出 AH 以及 CH 的长,从而得出答案。BHA15. ( 2012 江苏 南通 8 分) 如图,某测量船位于海岛 P 的北偏西 60 方向,距离海岛 100海里的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 海岛 P 的西南方向上的 B 处求测量船从 A 处航行到 B 处的路程(结果保留根号) 【答案】解:AB 为南北方向,如图,AEP 和BEP 均为直角三角

46、形。在 Rt AEP 中,APE=90 60=30,AP=100 ,AE= AP= 100=50,EP=100cos30=50 。12 3在 Rt BEP 中,BPE=9045=45,BE=EP=50 。3AB=AEBE=5050 。答:测量船从 A 处航行到 B 处的路程为 5050 海里。3【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形,将 AB 分为 AE 和 BE 两部分,分别在 RtBEP 和 RtBEP 中求解。16. (2012 江苏苏州 8 分)如图,已知斜坡 AB 长 60 米,坡角(即BAC)为 30,BCAC ,现计划在斜坡中点 D 处挖去部分

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