1、解直角三角形一、选择题1. （2014浙江杭州，第 3 题，3 分）在直角三角形 ABC 中，已知C=90，A=40，BC=3，则 AC=（ ）A3sin40 B3sin50 C3tan40 D3tan50考点： 解直角三角形分析： 利用直角三角形两锐角互余求得B 的度数，然后根据正切函数的定义即可求解解答： 解：B=90A=9040=50，又tanB= ，AC=BCtanB=3tan50故选 D点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系2. （2014浙江杭州，第 10 题，3 分）已知 ADBC，ABAD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上若点
2、 E 与点 B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（ ）A1+tanADB= B2BC=5CF CAEB+22=DEF D4cosAGB=考点： 轴对称的性质；解直角三角形分析： 连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O，根据轴对称性可得 AB=AE，并设为 1，利用勾股定理列式求出 BE，再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE，再求出 BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解解答： 解：如图，连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O，由轴对称性得，AB=AE，设为 1，则 BE= = ，点 E 与点 F 关于 BD 对称，DE=
3、BF=BE= ，AD=1+ ，ADBC，ABAD，AB=AE，四边形 ABCE 是正方形，BC=AB=1，1+tanADB=1+ =1+ 1= ，故 A 选项结论正确；CF=BFBC= 1，2BC=21=2，5CF=5（ 1） ，2BC5CF，故 B 选项结论错误；AEB+22=45+22=67，在 RtABD 中，BD= = = ，sinDEF= = = ，DEF67，故 C 选项结论错误；由勾股定理得，OE 2=（ ） 2（ ） 2= ，OE= ，EBG+AGB=90，EGB+BEF=90，AGB=BEF，又BEF=DEF，4cosAGB= = = ，故 D 选项结论错误故选 A点评： 本
4、题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1 可使求解过程更容易理解3. （2014江苏苏州,第 9 题 3 分）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A4km B2 km C2 km D（ +1）km考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 过点 A 作 ADOB 于 D先解 RtAOD，得出 AD=OA=2，再由ABD 是等腰直角三角
5、形，得出 BD=AD=2，则 AB= AD=2 解答： 解：如图，过点 A 作 ADOB 于 D在 RtAOD 中，ADO=90，AOD=30，OA=4，AD=OA=2在 RtABD 中，ADB=90，B=CABAOB=7530=45，BD=AD=2，AB= AD=2 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km故选 C点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键4. （2014山东临沂,第 13 题 3 分）如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航
6、行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方向上，则 B、C 之间的距离为（ ）A20 海里 B10 海里 C20 海里 D30 海里考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 如图，根据题意易求ABC 是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求 BC 的长度解答： 解：如图，ABE=15，DAB=ABE，DAB=15，CAB=CAD+DAB=90又FCB=60，CBE=FCB，CBA+ABE=CBE，CBA=45在直角ABC 中，sinABC= = = ，BC=20 海里故选：C点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解题的难点是推知ABC 是等腰直角三角形5
7、（2014四川凉山州，第 5 题，4 分）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤高 BC=10m，则坡面 AB 的长度是（ ）A 15m B 20 m C 20m D 10 m考点： 解直角三角形的应用坡度坡角问题分析： 在 Rt ABC 中，已知了坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值，通过解直角三角形即可求出斜面 AB 的长解答： 解： Rt ABC 中， BC=10m， tanA=1： ； AC=BCtanA=10 m， AB= =20m故选 C点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键2.3.4.5.6.7.8.二、填
8、空题1. （2014上海，第 12 题 4 分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i=1：2.4，如果它把物体送到离地面 10 米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题： 应用题分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案解答： 解：如图，由题意得：斜坡 AB 的坡度：i=1：2.4，AE=10 米，AEBD，i= = ，BE=24 米，在 RtABE 中，AB= =26（米） 故答案为：26点评： 此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义2. （2014山东潍坊，第 17 题 3
9、 分）如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，并且建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 米考点：解直角三角形的应用 仰角俯角问题分析：根据 AB CD FE，可得 ABG CDG， ABH EFH，可得 CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得 AB 的值，即可
10、解题解答： ABG CDG， CD:AB=DG:BG CD=DG=2， AB=BG ABH EFH， EF:AB=FH:BH， EF=2， FH=4 BH=2AB BH=2BG=2GH GH=DH DG=DF=FH DG=52 2+4=54， AB=BG=GH=54.故答案为：54点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于 GH、 BH 的关系式并求解是解题的关键3 （2014湖南怀化，第 13 题，3 分）如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的直线距离 AB=4 米，此时，他离地面高度为 h=2 米，则这个土坡的坡角A= 30 考点： 解直角
11、三角形的应用-坡度坡角问题分析： 直接利用正弦函数的定义求解即可解答： 解：由题意得：AB=4 米，BC=2 米，在 RtABC 中，sinA= =，故A=30，故答案为：30点评： 本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键落千丈4 （2014四川内江，第 23 题，6 分）如图，AOB=30，OP 平分AOB，PCOB 于点C若 OC=2，则 PC 的长是 考点： 含 30 度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质专题： 计算题分析： 延长 CP，与 OA 交于点 Q，过 P 作 PDOA，利用角平分线定理得到 PD=PC，在直角三角形 OQC 中，利用锐角三角函
12、数定义求出 QC 的长，在直角三角形 QDP 中，利用锐角三角函数定义表示出 PQ，由 QP+PC=QC，求出 PC 的长即可解答： 解：延长 CP，与 OA 交于点 Q，过 P 作 PDOA，OP 平分AOB，PDOA，PCOB，PD=PC，在 RtQOC 中，AOB=30，OC=2，QC=OCtan30=2 = ，APD=30，在 RtQPD 中，cos30= = ，即 PQ= DP= PC，QC=PQ+PC，即 PC+PC= ，解得：PC= 故答案为：点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键5.6.7.8.三、解答题1. （
13、2014四川巴中，第 27 题 9 分）如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶 BC 宽6 米，坝高 20 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：2.5，斜坡 CD 的坡角为 30，求坝底 AD 的长度 （精确到 0.1 米，参考数据： 1.414， 1.732提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）考点：解直角三角形的应用分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可解答：作 BE AD， CF AD，垂足分别为点 E， F，则四边形 BCFE 是矩形，由题意得， BC=EF=6 米， BE=CF=20 米，斜坡 AB 的坡度 i 为 1：
14、2.5，在 Rt ABE 中， BE=20 米， = ， AE=50 米在 Rt CFD 中， D=30， DF=CFcot D=20 米， AD=AE+EF+FD=50+6+20 90.6（米） 故坝底 AD 的长度约为 90.6 米点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义2. （2014山东枣庄，第 21 题 8 分）如图，一扇窗户垂直打开，即 OMOP，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向想内旋转 35到达 ON 位置，此时，点 A、C 的对应位置分别是点 B、
15、D测量出ODB 为25，点 D 到点 O 的距离为 30cm（1）求 B 点到 OP 的距离；（2）求滑动支架的长（结果精确到 1cm参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos550.57，tan551.43）考点： 解直角三角形的应用分析： （1）根据三角函数分别表示出 OE 和 DE，再根据点 D 到点 O 的距离为30cm 可列方程求解；（2）在 RtBDE 中，根据三角函数即可得到滑动支架的长解答： 解：（1）在 RtBOE 中，OE= ，在 RtBDE 中，DE= ，则 + =30，解得 BE10.6cm故 B 点到 OP 的距离
16、大约为 10.6cm；（2）在 RtBDE 中，BD= 25.3cm故滑动支架的长 25.3cm点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题3. （2014山东潍坊，第 21 题 10 分）如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶端 A 的俯角是 450，然后：沿平行于 AB 的方向水平飞行 1.99104米到达点 D处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 600，求两海岛间的距离 AB考点：解直角三角形的应用
17、仰角俯角问题分析：首先过点 A 作 AE CD 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得 AB=EF， AE=BF由题意可知： AE=BF=100 米， CD=500 米，然后分别在 Rt AEC 与 Rt BFD 中，利用三角函数即可求得 CE 与 DF 的长，继而求得岛屿两端 A、 B的距离解答：如图，过点 A 作 AE CD 于点 E，过点 B 作 BF 上 CD，交 CD 的延长线于点 F，则四边形 ABFE 为矩形，所以 AB=EF， AE=BF， 由题意可知 AE=BF=1100200=900， CD=19900在 Rt AE
18、C 中， C=450, AE=900, 9045tantCA在 Rt BFD 中， BDF=600， BF=900， BF=900 36tBDF AB=EF=CD+DF CE=19900+ 3 900=19000+ 30 答：两海岛之间的距离 AB 是(19000+3003）米 点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用4. （2014山东烟台，第 21 题 7 分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30，AC 长 米，钓竿 AO 的倾斜角是 60，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的
19、夹角为60，求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离考点：解直角三角形的应用分析：延长 OA 交 BC 于点 D先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出 CAD=180 ODB ACD=90，解 Rt ACD，得出 AD=ACtan ACD=米， CD=2AD=3 米，再证明 BOD 是等边三角形，得到 BD=OD=OA+AD=4.5 米，然后根据 BC=BD CD 即可求出浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离解答：延长 OA 交 BC 于点 D AO 的倾斜角是 60， ODB=60 ACD=30， CAD=180 ODB ACD=90在 Rt ACD 中， AD=ACtan ACD= =（米）
20、， CD=2AD=3 米，又 O=60， BOD 是等边三角形， BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米） ， BC=BD CD=4.53=1.5（米） 答：浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1.5 米点评：本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，作出辅助线得到 Rt ACD 是解题的关键5 （2014湖南怀化，第 21 题，10 分）两个城镇 A、B 与两条公路 ME，MF 位置如图所示，其中 ME 是东西方向的公路现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 ME，MF 的距离也必须相等，且在FME 的内部（1）那么点 C 应
21、选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C （不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，且 MN=2（ +1）km，在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60方向，在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45方向，求点 C 到公路 ME 的距离考点： 解直角三角形的应用-方向角问题；作图应用与设计作图分析： （1）到城镇 A、B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点 C（2）作 CDMN 于点 D，由题意得：CMN=30，
22、CND=45，分别在 RtCMD 中和RtCND 中，用 CD 表示出 MD 和 ND 的长，从而求得 CD 的长即可解答： 解：（1）答图如图：（2）作 CDMN 于点 D，由题意得：CMN=30，CND=45，在 RtCMD 中， =tanCMN，MD= = ；在 RtCND 中， =tanCNM，ND= =CD；MN=2（ +1）km，MN=MD+DN=CD+ CD=2（ +1）km，解得：CD=2km点 C 到公路 ME 的距离为 2km点评： 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大6.（2014湖南张家界，第 21 题，8 分）如图：我渔政
23、310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政310 船航向不变，航行半小时后到达 B 点，观测到我渔船 C 在东北方向上问：渔政 310船再按原航向航行多长时间，离渔船 C 的距离最近？（渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 首先作 CDAB，交 AB 的延长线于 D，则当渔政 310 船航行到 D 处时，离渔政船 C 的距离最近，进而表示出 AB 的长，再利用速度不变得出等式求出即可解答： 解：作 CDAB，交 AB 的延长线于 D，则当渔政 310 船航行到
24、D 处时，离渔政船 C 的距离最近，设 CD 长为 x，在 RtACD 中，ACD=60，tanACD= ，AD= x，在 RtBCD 中，CBD=BCD=45，BD=CD=x，AB=ADBD= xx=（ 1）x，设渔政船从 B 航行到 D 需要 t 小时，则 = ， =，（ 1）t=0.5，解得：t= ，t= ，答：渔政 310 船再按原航向航行 小时后，离渔船 C 的距离最近点评： 此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键7. （2014 江西抚州，第 21 题，9 分） 如图 1 所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2.
25、晾衣架伸缩时，点 在射线 上滑动， 的大小也随之发GDPCE生变化.已知每个菱形边长均等于 20cm ,且 =20cm .AHE图 1 图 2 当 =60时，求 两点间的距离；CEDC、 当 由 60变为 120时，点 向左移动了多少 cm ?(结果精确到 0.1cm)A 设 cm ,当 的变化范围为 60 120(包括端点值)时，求 的取值范Gx x围 .(结果精确到 0.1cm)(参考数据 ，可使用科学计算器).3172解析：(1)如图 1，每个菱形的边长都是 20，且 DE=20, CE=DE,CED=60，CED 是等边三角形，CD=20cm, C、D 两点之间的距离是 20cm.(2
26、)如图 2，作 EHCD 于 H,在CED 中，CE=DE，CED=120ECD=30,EH= CE=10,12CH=10 , CD=20 , 33点 C 向左移动了(20 20),点 A 向左移动了(20 20)343.9cm .3(3)如图 1，当CED=60时， ED=EG, CGD=30，在 RtCGD 中， ，CG=40,DGCcos0DG=20 34.6；3如图 2，当CED=120时， CGD=60,DG= CG=20, 20 34.6.12x8 （2014山东聊城，第 21 题，8 分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观在数学
27、课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段 AC 上的 A，B 两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台 D 进行了测量，分别测得DAC=60，DBC=75又已知 AB=100 米，求观景台 D 到徒骇河西岸 AC 的距离约为多少米（精确到 1 米） （tan601.73，tan753.73）考点： 解直角三角形的应用分析： 如图，过点 D 作 DEAC 于点 E通过解 RtEAD 和 RtEBD 分别求得 AE、BE 的长度，然后根据图示知：AB=AEBE100，把相关线段的长度代入列出关于 ED 的方程 =100通过解该方程求得 ED 的长度解答： 解：如图，过点 D 作 DEAC 于点 E在
28、RtEAD 中，DAE=60，tan60= ，AE=同理，在 RtEBD 中，得到 EB= 又AB=100 米，AEEB=100 米，即 =100则 ED= 323（米） 答：观景台 D 到徒骇河西岸 AC 的距离约为 323 米点评： 本题考查了解直角三角形的应用主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算9.(2014 年贵州黔东南)黔东南州 22 （10 分）某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45，小军站在点 D 测得旗杆顶端 E 点的仰角为 30，已知小明和小军相距（BD）6 米，小明的身高
29、（AB）1.5 米，小军的身高（CD）1.75 米，求旗杆的高 EF 的长 （结果精确到 0.1，参考数据： 1.41， 1.73）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网分析： 过点 A 作 AMEF 于 M，过点 C 作 CNEF 于 N，则 MN=0.25m由小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45，可得AEM 是等腰直角三角形，继而得出得出 AM=ME，设AM=ME=xm，则 CN=（x+6）m，EN=（x0.25）m在 RtCEN 中，由 tanECN= = ，代入 CN、EN 解方程求出 x 的值，继而可求得旗杆的高 EF解答： 解：过点 A 作 AMEF 于 M，
30、过点 C 作 CNEF 于 N，MN=0.25m，EAM=45，AM=ME，设 AM=ME=xm，则 CN=（x+6）m，EN=（x0.25）m，ECN=30，tanECN= = = ，解得：x8.8，则 EF=EM+MF8.8+1.5=10.3（m） 答：旗杆的高 EF 为 10.3m点评： 本题考查了解直角三角形的问题该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些10.（2014遵义 21 （8 分） ）如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i=1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC=25 米
31、，与亭子距离 CE=20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题： 应用题分析： 过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H，根据 CE=20 米，坡度为 i=1： ，分别求出 EF、CF 的长度，在 RtAEH 中求出 AH，继而可得楼房 AB 的高解答： 解：过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H，在 RtCEF 中，i= = =tanECF，ECF=30，EF=CE=10 米，CF=10 米，BH=E
32、F=10 米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米，在 RtAHE 中，HAE=45，AH=HE=（25+10 ）米，AB=AH+HB=（35+10 ）米答：楼房 AB 的高为（35+10 ）米点评： 本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键11.（2014十堰 15 （3 分） ）如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观测灯塔 C 位于北偏西 25方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是 24 海里 （结果精确到个位，参考
33、数据： 1.4 ， 1.7， 2.4）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 作 BDAC 于点 D，在直角ABD 中，利用三角函数求得 BD 的长，然后在直角BCD中，利用三角函数即可求得 BC 的长解答： 解：CBA=25+50=75作 BDAC 于点 D则CAB=（9070）+（9050）=20+40=60，ABD=30，CBD=7535=45在直角ABD 中，BD=ABsinCAB=20sin60=20 =10 在直角BCD 中，CBD=45，则 BC= BD=10 =10 102.4=24（海里） 故答案是：24点评： 本题主要考查了方向角含义，正确求得CBD 以及CAB 的度
34、数是解决本题的关键12.（2014娄底 22 （8 分） ）如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60，测得 B 的方位角为南偏东 45，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据： 1.41， 2.45）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 先过点 C 作 CPAB 于 P，根据已知条件求出PCB=PBC=45，CAP=60，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 RtPCB 中，根据勾股定理求出 B
35、P=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据 AB=AP+PB，即可求出答案解答： 解：过点 C 作 CPAB 于 P，BCF=45，ACE=60，ABEF，PCB=PBC=45，CAP=60，轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时，BC=90，BC 2=BP2+CP2，BP=CP=45 ，CAP=60，tan60= = ，AP=15 ，AB=AP+PB=15 +45 =152.45+451.41100（km） 答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是
36、解答此题的关键13.（( 2014 年河南) 19.9 分）在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为300位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯角为 680.试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin6800.9, cos6800.4, tan6802.5. 3 1.7)解：过点 C 作 CD AB,交 BA 的延长线于点 D.则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度根据题意得 ACD=300， BCD=680设 AD=x.则 BD BA 十 AD=1000 x.在 Rt ACD 中，CD= 0=
37、3tantanADC4 分在 Rt BCD 中， BD=CDtan6881000+ x= 3xtan688 7 分 x= 011038.725tan6潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米。9 分14. （2014江苏徐州,第 25 题 8 分）如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的南偏西 15且点 A 相距 100km 的点 B 处，再航行至位于点 A 的南偏东 75且与点 B 相距 200km的点 C 处（1）求点 C 与点 A 的距离（精确到 1km） ；平30680DBAC（2）确定点 C 相对于点 A 的方向（参考数据： 1.414， 1.732）考点： 解直角三
38、角形的应用-方向角问题菁优网分析： （1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定ABC 为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点 C 相对于点 A 的方向解答： 解：（1）如右图，过点 A 作 ADBC 于点 D由图得，ABC=7510=60在 RtABD 中，ABC=60，AB=100，BD=50，AD=50 CD=BCBD=20050=150在 RtACD 中，由勾股定理得：AC= =100 173（km） 答：点 C 与点 A 的距离约为 173km（2）在ABC 中，AB 2+AC2=1002+（100 ） 2=40000，BC2=2002=
39、40000，AB 2+AC2=BC2，BAC=90，CAF=BACBAF=9015=75答：点 C 位于点 A 的南偏东 75方向点评： 考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想15. （2014江苏盐城,第 23 题 10 分）盐城电视塔是我市标志性建筑之一如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度 AB小明在 D 处用高 1.5m 的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，然后向电视塔前进 224m 到达 E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为 60求电视塔的高度 AB （ 取 1.73，结果精确到 0.1m）考点： 解
40、直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 设 AG=x，分别在 RtAFG 和 RtACG 中，表示出 CG 和 GF 的长度，然后根据DE=224m，求出 x 的值，继而可求出电视塔的高度 AB解答： 解：设 AG=x，在 RtAFG 中，tanAFG= ，FG= ，在 RtACG 中，tanACG= ，CG= = x， x =224，解得：x193.8则 AB=193.8+1.5=195.3（米） 答：电视塔的高度 AB 约为 195.3 米点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法16. (
41、2014年山东东营,第 22 题 8 分)热气球的探测器显示，从热气球底部 A 处看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球 A 处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（ 1.732，结果保留小数点后一位）？考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网分析： 过 A 作 ADBC，垂足为 D，在直角ABD 与直角ACD 中，根据三角函数即可求得BD 和 CD，即可求解解答： 解：过 A 作 ADBC，垂足为 D在 RtABD 中，BAD=30，AD=120m，BD=ADtan30=120 =40 m，在 RtACD 中，CAD=60，AD=120m，CD=ADta
42、n60=120 =120 m，BC=40 =277.12277.1m答：这栋楼高约为 277.1m点评： 本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算17 （2014四川遂宁，第 22 题，10 分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1= 1 ； sin2A2+sin2B2= 1 ； sin2A3+sin2B3= 1 （1）观察上述等式，猜想：在 Rt ABC 中， C=90，都有 sin2A+sin2B= 1 （2）如图，在 Rt ABC 中， C=90， A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，利用三角
43、函数的定义和勾股定理，证明你的猜想（3）已知： A+ B=90，且 sinA= ，求 sinB考点： 勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形分析： （1）由前面的结论，即可猜想出：在 Rt ABC 中， C=90，都有 sin2A+sin2B=1（2）在 Rt ABC 中， C=90利用锐角三角函数的定义得出 sinA=， sinB=，则sin2A+sin2B= ，再根据勾股定理得到 a2+b2=c2，从而证明 sin2A+sin2B=1；（3）利用关系式 sin2A+sin2B=1，结合已知条件 sinA= ，进行求解解答： 解：（1）1（2）如图，在 Rt ABC 中， C=90
44、sinA=， sinB=， sin2A+sin2B= ， ADB=90， BD2+AD2=AB2， sin2A+cos2A=1（3） sinA= ， sin2A+sin2B=1， sinB= = 点评： 本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单18 （2014四川泸州，第 22 题，8 分）海中两个灯塔 A、 B，其中 B 位于 A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 C 处测得灯塔 A 在西北方向上，灯塔 B 在北偏东 30方向上，渔船不改变航向继续向东航行 30 海里到达点 D，这是测得灯塔 A 在北偏西 60方向上，求灯塔 A、 B
45、 间的距离 （计算结果用根号表示，不取近似值）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出 AN， NC 的长进而求出 BN 即可得出答案解答： 解：如图所示：由题意可得出： FCA= ACN=45， NCB=30， ADE=60，过点 A 作 AF FD，垂足为 F，则 FAD=60， FAC= FCA=45， ADF=30， AF=FC=AN=NC，设 AF=FC=x， tan30= = = ，解得： x=15（ +1） ， tan30= ， = ，解得： BN=15+5 ， AB=AN+BN=15（ +1）+15+5 =30+20 ，答：灯塔 A
46、、 B 间的距离为（30+20 ）海里点评： 此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出 NC 的长是解题关键19 （2014四川内江，第 20 题，9 分）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点 A 俯角为 30方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止） 为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为 45的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时（点 A、B、C 在同一直线上） ，竖直高度 CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值： 1.7）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 易得 BC=CF，那么利用 30的正切值即可求得 CF 长
