1、 1 直角三角形 要点一：勾股定理及其逆定理一、选择题1 （2009达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ ）A13 B26 C47 D94【解析】 选 C 正方形 A 和正方形 B 的边长分别为 3、5，所以与正方形 E 相邻的直角三形的一直角边的平方为 34，又因为正方形 C 和正方形 D 的边分别为 2、3，所以正方形 E 相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为 13，所以正方形 E 的面积为47.2、 （2009滨州中考）如图，已知 ABC 中，AB17
2、，AC10，BC 边上的高 AD8， 则边 BC 的长为（ ）A21 B15 C6 D以上答案都不对答案：选 A二、填空题3、 （2010义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 (写出一组即可)【解析】只要是勾股数即可。4、(2009湖州中考)如图，已知在 中， ， ，分别以 ，RtABC Rt4ABAC 2 为直径作半圆，面积分别记为 ， ，则 + 的值等于 BC1S212S【解析】因为 ,而 = , = ,22ABC1S4AC2S4BC12所以 + = + =1S2422）（ 2= ;1625.（2009长沙中考）如图，等腰 ABC 中， ， AD是底边上的高，若5cm6cABC
3、，则 D cm【解析】由 ABC， D是底边上的高得 BD=CD=3cm,由勾股定理得cmD4352答案：46.（2009安顺中考）图甲是我国古代著名的 “赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在 RtABC 中，若直角边 AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。 3 【解析】如图， ,6,1352BEBD风车的外围周长=4(13+6)=76答案：767、 （2009宜宾中考）已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积
4、为 答案： 298、 （2008台州中考）如图，四边形 ， EFGH， NMC都是正方形，边长分别为ABCDabc， ，； ABNE， ， ， ， 五点在同一直线上，则 c （用含有，的代数式表示） 答案： 2ab9、 （2007徐州中考）如图，已知 RtABC 中，C=90，AC=4cm ，BC=3cm ，现将ABC 进行折叠，使顶点 A、B 重合，则折痕 DE=_cm 答案： 158三、解答题10、 （2009张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知 2CD，求 A的长 4 【解析】 2BDC， 2B设 Ax，则 x， 2()(
5、x263， 463A11、 （2009白银中考）如图， ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，D 为 AB 边上一点，求证：（1） ；（2） ACEBD 22ABDE证明:（1） ACBED， AD即 B,， ACEBCD（2） AC是等腰直角三角形， 45 ACEBCD， 45CAEB 90ED 22A由（1）知 AEDB ， 22B+=12、 （2009新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为 和一个边长为 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的ab， cc图形（1）画出拼成的这个图形的示意图 5 （2）证明勾股定理【解析】方法
6、一解：（1）如图（2）证明： 大正方形的面积表示为 ,大正方形的面积也可表示为2()ab, ， ，14cab21()4c2acb22即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方法二解：（1）如图 6 （2）证明： 大正方形的面积表示为： ，2c又可以表示为： ,214()2ab， ，2c 2caba即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方213、 （2007聊城中考） （1）如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（2）如图 2， ， ，且 三点共线RttABCDE 90BBCD， ，试证明 ；90E（3）伽菲尔德（ ，1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图
7、2 证Garfield明了勾股定理（1876 年 4 月 1 日，发表在新英格兰教育日志上） ，现请你尝试该证明过程【解析】 （1）这个公式为 22()abab（2） ， ABCDE BACDE90 由于 共线， ，所以 180()1890 7 （3）梯形 的面积为ABDE；2111()()()22abab另一方面，梯形 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成2abc所以， 211()abc即 22c要点二、勾股定理的应用一、选择题1 （2010眉山中考）如图，每个小正方形的边长为 1，A 、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（ ）A90 B60 C45 D30 CBA【解析】：选
8、 C.根据勾股定理可知 AC2= =5, BC2= =5, 121AB2= =10,AC=BC AC2BC 25+510AB 2 31ABC 是等腰直角三角形且ACB90 ，ABC=BAC=452、 （2009衡阳中考）如图所示， A、B 、C 分别表示三个村庄，AB1000 米，BC600 米，AC800 米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（ ）AAB 中点 BBC 中点CAC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点【解析】选 A 因为 AB1000 米，BC600 米，AC800 米，所以,所以三
9、角形 ABC 为直角三角形，所以其斜边上的中线等于斜边的22CB 8 一半；故选 A；3、(2009恩施中考) 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 离点 的距离为BC5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ A）A B25 C D211053552015 10CAB【解析】选 B 将面 AC 沿正方体的一条棱展开，得 AC= ；25012所以线段 AB=25；二、填空题4、 （2009滨州中考）某楼梯的侧面视图如图所示，其中 米， ，4AB30C，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 90CBCA 30【解析】因为
10、且 ，所以地毯的长度为30BC9答案：（2+2 ）米；324-162-212 35、 （2009内江中考）已知 RtABC 的周长是 ，斜边上的中线长是 2，则 SABC_.【解析】 因为ABC 斜边上的中线长为 2，又因为ABC 为直角三角形，所以其斜边长为 4，又因为周长为 ，所以两条直角边之和为 ，3434所以两直角边的积为 16，所以 SABC 8；答案：8； 9 6、 （2009青岛中考）如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 圈到
11、达点 B，那么所用细线最短需要 ncm【解析】由题意得：细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，其最短长度为将长方体的四个侧面展开即可构成一个直角边分别为 8cm 和 6cm 的直角三角形，所以细线的最短长度应为 10cm；当细线绕四个侧面缠绕 n 圈时，到达点 B 最短长度为（或 ）cm；2916n2364n答案：10cm， （或 ）cm；9123647、 （2008株洲中考）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树干底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.【解析】如图，由勾股定理得 ，这棵树折断之前的高度 3+5=8（米）5432AB答
12、案：88、 （2007扬州中考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米） ，却踩伤了花草 10 【解析】路 （m ）,他们仅仅少走了(3+4-5)2=4 步路.5432答案：49、 （2007怀化中考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 ，高为 ，若一只小虫从2点出发沿着圆柱体的侧面爬行到 点，则小虫爬行的最短路程是 （结果保留根AC号）. 答案： 2二、解答题10、 （2009临沂中考）如图， A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离 AC1km，B 村到公路 l 的
13、距离 BD2km，B 村在 A 村的南偏东 方向45上（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法） 【解析】 （1）方法一：设 与 的交点为 ，根据题意可得 ABCDO45AB和 都是等腰直角三角形ACO 11 ， 2AO2B两村的距离为 （km ） ， 232AOB方法二：过点 作直线 的平行线交 的延长线于 lCE易证四边形 是矩形，CDBE2在 中，由 ，可得 RtA 453BA（km）23两村的距离为 kmB，BACD lNMOP（2）作图正
14、确，痕迹清晰作法：分别以点 为圆心，以大于 的长为AB，12A半径作弧，两弧交于两点 ，N作直线 ；MN直线 交 于点 ，点 即为所求lP11、 （2009牡丹江中考）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m， 8 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长【解析】在 RtABC 中， 906ACB， ， 由勾股定理有：10，扩充部分为 tD ， 扩充成等腰 D ， 应分以下三种情况：如图1，当 时，可求 6,得 的周长为 32m如图 2，当D时，可求 4,由勾股定理得： 45,得 A 的周长为2045m如图 3，当 AB为底时，设 Bx， 则 6C， 由勾股定理 12 得： 253x,得 ABD 的周长为 80m312、 （2008广东中考）如图，在 ABC 中，AB=AC=10 ， BC=8用尺规作图作 BC 边上的中线 AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） ，并求 AD 的长 【解析】 （1）作图略（2）在ABC 中，AB=AC ，AD 是ABC 的中线，ADBC ， 1842BDC.在 Rt ABD 中，AB 10，BD 4， 22ADB， 22101A. ， ，709BC
