1、14.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数2014 高考会这样考 1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式复习备考要这样做 1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石1 角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是S | k360 ， kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第
2、几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad .180 (180 )(3)扇形的弧长公式： l| |r，扇形的面积公式： S lr | |r2.12 123 任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，sin y，cos x，tan .三yx个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限2符号 符号 符号 符号sin R co
3、s R tan | k ， k 2Z 4. 三角函数线如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.() ()() ()三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线难点正本 疑点清源1 对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于 90的角”等同于“锐角” ，把“090的角”等同于“第一象限的角” 其实锐角的集合是 |00，tan 0，则 在第三象限，选 C.5 已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ( )A
4、1 B4C1 或 4 D2 或 4答案 C解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则Error! 解得Error!或Error!从而 4 或 1.lr 41 lr 22题型一 角的有关问题例 1 (1)写出终边在直线 y x 上的角的集合；3(2)若角 的终边与 角的终边相同，求在0,2)内终边与 角的终边相同的角；67 3(3)已知角 是第一象限角，试确定 2 、 所在的象限 2思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限解 (1)终边在直线 y x 上的角的集合为 | k ， kZ3 3(2)所有与 角终边相同的角的集合是 | 2 k， kZ，所有
5、与 角终67 67 3边相同的角可表示为 k， kZ. 3 27 23在0,2)内终边与 角终边相同的角有 ， ， . 3 27 2021 3421(3)2 k0 时， r5 t，sin ，cos ，yr 3t5t 35 xr 4t5t 45tan ；yx 3t4t 34当 t0. 0)，所在圆的半径为 R.(1)若 60， R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值 C (C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪：(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于 的函8数解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ，则 60 ， R
6、10， l 10 (cm)， 3 3 103S 弓 S 扇 S 10 102sin 12 103 12 3 50 (cm2)503 5032 ( 3 32)(2)扇形周长 C2 R l2 R R ， R ，C2 S 扇 R2 212 12 ( C2 ) .C22 14 4 2 C22 14 4 C216当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值 .C216探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式： l R ； S lR； S R 2.其中 R 是扇
7、形的半径， l 是弧长，12 12 (00 的 x 的范围用三角函数线求解(2)比较大小，可以从以下几个角度观察： 是第二象限角， 是第几象限角？首先应予以确定sin ，cos ，tan 2 2 2不能求出确定值，但可以画出三角函数线借助三角函数线比较大小 2规范解答解 (1)34sin 2x0，sin 2x0，则可排除 A、C、D，故选 B.3 已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为 ( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 设扇形的半径为 R，则 R2| |2，12 R21， R1，扇形的周长为 2R| |R246，故选 C.4 有下列命题：终边相同的角的同名三角函
8、数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若 sin 0，则 是第一、二象限的角；若 是第二象限的角，且 P(x， y)是其终边上一点，则 cos . xx2 y2其中正确的命题的个数是 ( )A1 B2 C3 D4答案 A解析 正确，不正确，sin sin ，而 与 角的终边不相同 3 23 3 23不正确sin 0， 的终边也可能在 y 轴的非负半轴上12不正确在三角函数的定义中，cos ，不论角 在平面直角坐标系xr xx2 y2的任何位置，结论都成立二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在第_象限答案 二解析 点 P
9、 在第三象限，tan 0， ，即 m .4m264m2 9 125 122 已知点 P 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为 (sin 34， cos 34)( )A. B. C. D. 4 34 54 74答案 D解析 由 sin 0，cos 0)是 终边上一点，则 2sin cos _.答案 25解析 由条件可求得 r5 m，所以 sin ，cos ，35 45所以 2sin cos .255 函数 y 的定义域为_2cos x 1答案 (kZ)2k 3， 2k 3解析 2cos x10，cos x .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示) x (kZ)2k 3
10、， 2k 36 一扇形的圆心角为 120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为_15答案 (74 )93解析 设扇形半径为 R，内切圆半径为 r.则( R r)sin 60 r，即 R r.(1233)又 S 扇 R 2 R2 R2 r2，12 12 23 3 7 439 .S扇 r2 7 439三、解答题7 (13 分)已知 sin 0.(1)求 角的集合；(2)求 终边所在的象限； 2(3)试判断 tan sin cos 的符号 2 2 2解 (1)由 sin 0，知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为 |(2k1)0，cos 0， 2 2 2 2所以 tan sin cos 也取正号 2 2 2因此，tan sin cos 取正号 2 2 2
