1、解直角三角形 一、选择题 1 （ 2018山东淄博 4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100米，其铅直高度上升了 15米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（ ） A B C D 【考点】 T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题； T6：计算器 三角函数 【分析】 先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 【解答】 解： sinA= = =0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选： A 【点评】 本题考查了计算器 三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键 2 （ 20
2、18年湖北省宜昌市 3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P， A的距离，可以在小河边取 PA的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米， PCA=35 ，则小河宽 PA 等于（ ） A 100sin35 米 B 100sin55 米 C 100tan35 米 D 100tan55 米 【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度 【解答】解： PA PB， PC=100米， PCA=35 ， 小河宽 PA=PCtan PCA=100tan35 米 故选： C 【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为
3、解直角三角形问题） 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案 3. (2018四川省绵阳市 )一艘在南北航线上的测量船，于 A点处测得海岛 B在点 A的南偏东 30 方向，继续向南航行 30海里到达 C点时，测得海岛 B在 C点的北偏东 15 方向，那么海岛 B离此航线的最近 距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】 B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图
4、如图所示：作 BD AC，取 BE=CE， AC=30， CAB=30 ACB=15 ， ABC=135 ， 又 BE=CE， ACB= EBC=15 ， ABE=120 ， 又 CAB=30 BA=BE， AD=DE， 设 BD=x， 在 Rt ABD中， AD=DE= x， AB=BE=CE=2x， AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， x= = 5.49 ， 故答案为： B. 【分析】根据题意画出图如图所示：作 BD AC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出 BA=BE，AD=DE，设 BD=x， Rt ABD中，根据勾股定理得 AD=DE= x， AB=BE
5、=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案 . 二 .填空题 1. （ 2018重庆 (A) 4分） 如图，把三角形纸片折叠，使点 B、点C都与点 A重合，折痕分别为 DE，FG，得到30 AGE，若23AE EG厘米，则ABC的边BC的长为 厘米。 【考点】 解直角三角形、勾股定理 【解析】 过 E作EH AG于 H。 2 3 , 30 .32 2 c os 30 2 2 3 6.2 AE EG AG EG A AH AE由翻折得2 3 , 6. BE AE G C G A6 4 3. BC BE EG G C【点评】 本题考查了解直 角三角形中的翻折问题
6、，其中包括勾股定理的应用，难度中等 2. （ 2018湖北黄 石 3分）如图，无人机在空中 C处测得地面 A、 B两点的俯角分别为 60 、 45 ，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、 D、 E在同一水平直线上，则 A、 B两点间的距离是 100（ 1+ ） 米（结果保留根号） 【分析】 如图，利用平行线的性质得 A=60 ， B=45 ，在 Rt ACD 中利用正切定义可计算出 AD=100，在 Rt BCD中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可 【解答】 解：如图， 无人机在空中 C处测得地面 A、 B两点的俯角分别为 60 、 45 ，
7、A=60 ， B=45 ， 在 Rt ACD中， tanA= ， AD= =100， 在 Rt BCD中， BD=CD=100 ， AB=AD+BD=100+100 =100（ 1+ ） 答： A、 B两点间的距离为 100（ 1+ ）米 故答案为 100（ 1+ ） 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形 3. （ 2018山东泰安 3分）如图，在 ABC 中， AC=6， BC=10， tanC= ，点 D是 AC 边上的动点（不与点C重合），过 D作
8、DEBC ，垂足为 E，点 F是 BD的中点，连接 EF，设 CD=x， DEF 的面积为 S，则 S与 x之间的函数关系式为 S= x2 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、 CE 的长，求出 BED 的面积即可解决问题 【解答】解：（ 1）在 RtCDE 中， tanC= ， CD=x DE= x， CE= x， BE=10 x， S BED = （ 10 x） x= x2+3x DF=BF ， S= SBED = x2 ， 故答案为 S= x2 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 4（ 2018山东潍坊 3 分）如
9、图，一艘渔船正以 60 海里 /小时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30 方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M在北偏东 60 方向为了在台风到来之前用最短时间到达 M处，渔船立刻加速以 75海里/小时的速度继续航行 小时 即可到达（结果保留根号） 【分析】 如图，过点 P作 PQ AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M作 MN AB 交 AB延长线于点 N，通过解直角 AQP、直角 BPQ求得 PQ的长度，即 MN的长度，然后通过解直角 BMN求得 BM 的长度，则易得所需时间 【解答】 解
10、：如图，过点 P作 PQ AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M作 MN AB交 AB延长线于点 N， 在直角 AQP中， PAQ=45 ，则 AQ=PQ=60 1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ 90 在直角 BPQ中， BPQ=30 ，则 BQ=PQtan30= PQ（海里）， 所以 PQ 90= PQ， 所以 PQ=45（ 3+ ）（海里） 所以 MN=PQ=45（ 3+ ）（海里） 在直角 BMN中， MBN=30 ， 所以 BM=2MN=90（ 3+ ）（海里） 所以 = （小时） 故答案是： 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航
11、海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 5（ 2018 年江苏省泰州市 3 分）如图， ABC 中， ACB=90 ， sinA= ， AC=12，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90 得到 ABC， P 为线段 AB 上的动点，以点 P 为圆心， PA 长为半径作 P，当 P 与 ABC的边相切时， P的半径为 或 【分析】 分两种情形分别求解：如图 1中，当 P与直线 AC相切于点 Q时，如图 2中，当 P与 AB相切于点 T 时， 【解答】 解：如图 1中，当 P与直线 AC 相切于点 Q时，连接 PQ 设 PQ=PA=r ， PQ CA ，
12、= ， = ， r= 如图 2中，当 P与 AB相切于点 T时，易证 A 、 B 、 T共线， ABT ABC， = ， = ， AT= ， r= AT= 综上所述， P的半径为 或 【点评】 本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 6（ 2018 湖北省武汉 3 分）如图在 ABC 中， ACB=60 ， AC=1， D 是边 AB 的中点， E 是边 BC 上一点若 DE平分 ABC的周长，则 DE的长是 【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN AM
13、于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到 DE= AM，根据等腰三角形的性质求出 ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可 【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN AM 于 N， DE平分 ABC的周长， ME=EB，又 AD=DB， DE= AM， DE AM， ACB=60 ， ACM=120 ， CM=CA， ACN=60 ， AN=MN， AN=ACsin ACN= ， AM= ， DE= ， 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键 题号依次顺延
14、 三 .解答题 1. （ 2018四川凉州 8 分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN，已知 C 点周围200 米范围内为原始森林保护区，在 MN上的点 A处测得 C在 A的北偏东 45 方向上，从 A向东走 600米到达 B 处，测得 C在点 B的北偏西 60 方向上 （ 1） MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据： 1.732 ） （ 2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【分析】（ 1）要求 MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求 C 到 MN 的距离要构造直角三角
15、形，再解直角三角形； （ 2）根据题意列方程求解 【解答】解：（ 1）理由如下： 如图，过 C作 CHAB 于 H 设 CH=x， 由已知有 EAC=45 ， FBC=60 ， 则 CAH=45 ， CBA=30 在 RtACH 中， AH=CH=x， 在 RtHBC 中， tanHBC= ， AH+HB=AB ， x+ x=600， 解得 x= 220 （米） 200（米） MN 不会穿过森林保护区 （ 2）设原计划完成这项工程需要 y天，则实际完成工程需要（ y 5）天 根据题意得： =（ 1+25%） 解得： y=25 经检验知： y=25是原方程的根 答：原计划完成这项工程需要 25
16、天 【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用 2. （ 2018山 西 8分） 祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 ， 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱 组 合 而 成 ， 全 桥 共 设 13 对直线型斜拉索， 造 型 新 颖 ，是 “ 三 晋 大 地 ” 的 一 种 象 征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ” 作 为 一 项 课 题 活 动 ， 他 们 制 订 了 测 量 方 案 ， 并 利 用 课 余 时 间 借 助 该 桥 斜 拉 索 完 成 了 实 地
17、测 量 . 测量结果如下表 . 项 目 内 容 课 题 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 测 量 示 意 图 说 明 ： 两 侧 最 长 斜 拉 索 AC， BC 相 交 于 点 C， 分 别 与 桥 面 交 于 A， B 两 点 ， 且 点 A， B， C 在 同 一 竖 直 平 面 内 . 测 量 数 据 A 的 度 数 B 的 度 数 AB 的长 度 38 28 234 米 . . (1) 请帮 助 该 小 组 根 据 上 表 中 的测 量 数 据 ，求 斜 拉 索 顶端 点 C 到 AB 的 距 离（ 参 考 数 据 sin 38 0.6 ， cos 38 0.8 ，
18、 tan 38 0.8 ， sin 28 0.5 ， cos 28 0.9 ， tan 28 0.5 ）； (2) 该小 组 要 写 出 一 份 完 整 的 课题 活 动 报 告 ， 除 上 表 的 项目 外 ， 你 认 为 还 需 要 补 充哪 些 项 目 （ 写 出 一 个 即可） . 【 考 点 】 三 角 函 数 的 应 用 【 解 析 】 （ 1） 解 ： 过 点 C 作 CD AB 于 点 D. 设 CD= x 米， 在 Rt ADC 中 ， ADC=90 ， A=38 . AD BD AB 234 . 5x 2x 234. 解 得 x 72 . 答 ： 斜 拉 索 顶 端 点 C
19、 到 AB 的 距 离 为 72 米 . （ 2） 解 ： 答 案 不 唯 一 ， 还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师，活 动 感 受 等 . 3. （ 2018山东枣庄 4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31 ， AB的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米（ 2018山东枣庄 结果保留两个有效数字）【参考数据； sin31=0. 515，cos31=0.857 ， tan31=0.601 】 【分析】 根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题 【解答】
20、 解：在 Rt ABC中， ACB=90 ， BC=ABsin BAC=12 0.515=6.18（米）， 答：大厅两层之间的距离 BC的长约为 6.18米 故答案为： 6.18 【点评】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答 4（ 2018四川成都 8分） 由我国完全自主设计、自主建造的 首舰国产航母于 2018年 5月成功完成第一次海上试验任务 .如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80 海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向 .如果航母继续航行至
21、小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长 .（参考数据： ， ， ， ， ， ） 【答案】解：由题知： ， ， .在 中， ， ， （海里） . 在 中， ， ， （海里） . 答：还需要航行的距离 的长为 20.4海里 . 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在 Rt ACD和 Rt BCD中，先求出 CD 的长，再求出 BD的长，即可解答。 5 （ 2018山东菏泽 6分 ） 2018年 4月 12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹 州牡丹园 A 处
22、的俯角为 30 ， B 处的俯角为 45 ，如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、 B、 D 在同一条直线上，则 A、 B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号） 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】 在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可 【解答】 解： EC AD， A=30 ， CBD=45 ， CD=200， CD AB于点 D 在 Rt ACD中， CDA=90 ， tanA= ， AD= ， 在 Rt BCD中， CDB=90 ， CBD=45 DB=CD=200， AB=AD DB=200 20
23、0， 答： A、 B两点间的距离为 200 200米 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用 CD 为直角 ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解分别在两三角形中求出 AD与 BD的长 6 （ 2018江西 8分 ） 图 1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2是其俯视图简化示意图 ，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点 固定，当点 在 上左右运动时， 与 的长度不变 (所有结果保留小数点后一位 ). (1)若 ,求 的长； (2)当点 从点 向右运动 60 时，求点 在此过程中运动的路
24、径长 . 参考数据： sin50 0.77, cos50 0.64, tan50 1.19, 取 3.14 C BAO图 1 图 2 【解析】 （ 1） 如图，作 OH AB于 H OC=OB=60 CH=BH 在 Rt OBH 中 cos OBC= BH= OB cos50 60 0.64=38.4 AC=AB 2BH 120 2 38.4=43.2 AC的长约为 43.2cm. （ 2） AC=60 BC=60 OC=OB=60 OC=OB=BC=60 OBC是等边三角形 OC 弧长 = =62.8 点 O在此过程中运动的路径长约为 62.8cm. 7（ 2018 湖南省常德 7 分）图
25、1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门的 大小相同（即AB=CD），将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 37 ，将右边的门 CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 45 ，其示意图如图 2，求此时 B与 C之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据： sin37 0.6， cos37 0.8， 1.4） 【分析】 作 BE AD 于点 E，作 CF AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，则 EM=BC，在 Rt ABE、 RtCDF 中可求出 AE、 BE、 DF、 FC 的长度，进而可得出 EF 的长度，再在 Rt MEF 中利用勾股定理即可求
26、出 EM的长，此题得解 【解答 】 解：作 BE AD于点 E，作 CF AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，如图所示 AB=CD， AB+CD=AD=2， HC BAOC BAO AB=CD=1 在 Rt ABE中， AB=1， A=37 ， BE=ABsin A 0.6， AE=ABcos A 0.8 在 Rt CDF中， CD=1， D=45 ， CF=CDsin D 0.7， DF=CDcos D 0.7 BE AD， CF AD， BE CM， 又 BE=CM， 四边形 BEMC为平行四边形， BC=EM， CM=BE 在 Rt MEF中， EF=AD AE DF
27、=0.5， FM=CF+CM=1.3， EM= 1.4， B 与 C 之间的距离约为 1.4米 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出 BC的长度是解题的关键 8（ 2018 湖南省衡阳 8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C出发，沿北偏东 30 的方向行走 2000米到达石鼓书院 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45 方向的雁峰公园 B 处，如图所示 （ 1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰 公园的途中与宾馆之间的最短距离； （ 2）若这名徒步爱好者以 100米 /分的速度从雁
28、峰公园返回宾馆，那么他在 15分钟内能否到达宾馆？ 【解答】 解：（ 1）作 CP AB于 P， 由题意可得出： A=30 ， AP=2000米， 则 CP= AC=1000米； （ 2） 在 Rt PBC中， PC=1000， PBC= BPC=45 ， BC= PC=1000 米 这名徒步爱好者以 100米 /分的速度从雁峰公园返回宾馆， 他到达宾馆需要的时间为 =10 15， 他在 15分钟内能到达宾馆 9.（ 2018 山东 临沂 7分 ）如图，有一个三角形的钢架 ABC， A=30 ， C=45 ， AC=2（ +1） m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的
29、圆形门？ 【分析】过 B作 BD AC于 D，解直角三角形求出 AD= xm， CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可 【解答】解： 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门， 理由是：过 B作 BD AC于 D， AB BD， BC BD， AC AB， 求出 DB长和 2.1m比较即可， 设 BD=xm， A=30 ， C=45 ， DC=BD=xm， AD= BD= xm， AC=2（ +1） m， x+ x=2（ +1）， x=2， 即 BD=2m 2.1m， 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门 【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点
30、，能正确求出 BD的长是解此题的关键 10（ 2018山东青岛 6分）某区域平面示意图如图，点 O在河的一侧， AC和 BC表示两条互相垂直的公路甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45 ，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7 ，测得 AC=840m，BC=500m请求出点 O到 BC 的距离 参考数据： sin73.7 ， cos73.7 ， tan73.7 【分析】 作 OM BC于 M， ON AC 于 N，设 OM=x，根据矩形的性质用 x表示出 OM、 MC，根据正切的定义用 x表示出 BM，根据题意列式计算即可 【解答】 解：作 OM BC于 M， ON AC于
31、 N， 则四边形 ONCM为矩形， ON=MC， OM=NC， 设 OM=x，则 NC=x， AN=840 x， 在 Rt ANO中， OAN=45 ， ON=AN=840 x，则 MC=ON=840 x， 在 Rt BOM中， BM= = x， 由题意得， 840 x+ x=500， 解得， x=480， 答：点 O到 BC的距离为 480m 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键 11. （ 2018甘肃白银，定西，武威 ） 随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起 .高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式
32、 .如图， ， 两地被大山阻隔，由 地到 地需要绕行 地，若打通穿山隧道，建成 ， 两地的直达高铁，可以缩短从 地到 地的路程 .已知： ， ，公里，求隧道打通后与打通前相比，从 地到 地的路程将约缩短 多少公里？（参考数据： ，） 【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A地到 B地的路程将约缩短 224公里 【解析】【分析】过点 C作 CD AB, 垂足为 D, 在 Rt ADC 和 Rt BCD中，分别解直角三角形即可 . 【解答】如图，过点 C作 CD AB, 垂足为 D, 在 Rt ADC和 Rt BCD中， CAB=30 ， CBA=45 ， AC=640 CD=320， AD= ，
33、BD=CD=320， BC= , AC+BC= ， AB=AD+BD= ， 1088-864=224（公里） 答：隧道打通后与打通前相比，从 A地到 B地的路程将约缩短 224公里 【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键 . 12（ 2018安徽 4分 ） 为了测量竖直旗杆 AB 的高度 ， 某综合实践小组在地面 D处竖直放置标杆 CD， 并在地面上水平放置个平面镜 E， 使得 B， E， D 在同一水平线上 ， 如图所示 .该小组在标杆的 F处通过平面镜 E恰好观测到旗杆顶 A(此时 AEB= FED).在 F处测得旗杆顶 A的仰角为 39.3 ， 平面镜 E的俯角为 45 ，
34、FD=1.8米 ， 问旗杆 AB的高度约为多少米 ? (结果保留整数 )(参考数 据 ： tan39.30.82 ， tan84.310.02) 【答案】旗杆 AB 高约 18米 . 【解析】【分析】如图先证明 FDE ABE，从而得 ，在 Rt FEA中，由 tan AFE= ，通过运算求得 AB 的值即可 . 【详解】如图， FM/BD， FED= MFE=45 ， DEF= BEA， AEB=45 ， FEA=90 ， FDE= ABE=90 ， FDE ABE， ， 在 Rt FEA中， AFE= MFE+ MFA=45+39.3=84.3 ， tan84.3= ， ， AB=1.81
35、0.0218 ， 答：旗杆 AB 高约 18米 . 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到 是解题的关键 . 13.（ 2018株洲 市） 下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线 都垂直，垂足分别为点 A、点 B和点 C，（高速路右侧边缘）， 上的点 M位于点 A的北偏东 30 方向上，且 BM 千米，上的点 N 位于点 M的北偏东 方向上，且 ， MN= 千米，点 A和点 N是城际线 L上的两个相邻的站点 . （ 1）求 之间的距离 （ 2）若城际火车平均时速为 150千米 /小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A到站点 N需要多少小时？（结果用分数
36、表示） 【答案】（ 1） 2；（ 2） 小时 . 【解析】分析： （ 1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM的长即可得出答案； （ 2）利用 tan30= ，得出 AB的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN的长，即可得出答案 详解： （ 1）过点 M作 MD NC于点 D， cos = ， MN=2 千米， cos = ， 解得： DM=2（ km）， 答： l2和 l3之间的距离为 2km； （ 2） 点 M位于点 A的北偏东 30 方向上，且 BM= 千米 ， tan30 = ， 解得： AB=3（ km）， 可得： AC=3+2=5（ km）， MN=2 km， DM=2
37、km， DN= =4 （ km）， 则 NC=DN+BM=5 （ km）， AN= =10（ km）， 城际火车平均时速为 150 千米 /小时， 市民小强乘坐城际火车从站点 A到站点 N需要 小时 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键 14（ 2018株洲 市） 如图，在 Rt ABM和 Rt ADN的斜边分别为正方形的边 AB和 AD，其中 AM=AN. (1)求证： Rt ABM Rt AND (2)线段 MN 与线段 AD相交于 T，若 AT= ,求 的值 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） . 【解析】分析： （ 1）利用 HL证明即可； （ 2）
38、证明 DNT AMT，可得 ， 由 AT=AD，推出 ，在 Rt ABM中， tan ABM= 详解：（ 1） AD=AB， AM=AN， AMB= AND=90 Rt ABM Rt AND（ HL） （ 2）由 Rt ABM Rt AND 易得： DAN= BAM， DN=BM BAM+ DAM=90 ； DAN+ ADN=90 DAM= AND ND AM DNT AMT AT=AD， Rt ABM tan ABM= 点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 15 （ 2018 年江苏省南京市）如图
39、，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD，标杆的高是 2m，在DB 上选取观测点 E、 F，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、 A的仰角分别为 58 、 45 从 F测得 C、 A的仰角分别为 22 、 70 求建筑物 AB的高度（精确到 0.1m）（参考 数据： tan22 0.40， tan58 1.60，tan70 2.75） 【分析】在 CED中，得出 DE，在 CFD中，得出 DF，进而得出 EF，列出方程即可得出建筑物 AB 的高度； 【解答】解：在 Rt CED中， CED=58 ， tan58= ， DE= ， 在 Rt CFD中， CFD=22 ， tan2
40、2= ， DF= ， EF=DF DE= ， 同理： EF=BE BF= ， ， 解得： AB 5.9（米）， 答：建筑物 AB的高度约为 5.9米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题 16（ 2018年江苏省南京市）结果如此巧合 ! 下面是小颖对一道题目的解答 题目：如图， Rt ABC的内切圆与斜边 AB 相切于点 D， AD=3， BD=4， 求 ABC的面积 解：设 ABC的内切圆分别与 AC、 BC 相切于点 E、 F， CE的长为 x 根据切线长定理，得 AE=AD=3， BF=BD=4， CF=CE=x 根据勾股定理，得（ x+3
41、） 2+（ x+4） 2=（ 3+4） 2 整理，得 x2+7x=12 所以 S ABC= ACBC = （ x+3）（ x+4） = （ x2+7x+12） = （ 12+12） =12 小颖发现 12 恰好就是 3 4，即 ABC的面积等于 AD 与 BD 的积这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索 已知： ABC的内切圆与 AB 相切于点 D， AD=m， BD=n 可以一般化吗？ （ 1）若 C=90 ，求证： ABC的面积等于 mn 倒过来思考呢？ （ 2）若 ACBC=2mn，求证 C=90 改变一下条件 （ 3）若 C=60 ，用 m、 n表示 ABC的面积 【分析】（ 1）由
42、切线长知 AE=AD=m、 BF=BD=n、 CF=CE=x，根据勾股定理得（ x+m） 2+（ x+n） 2=（ m+n） 2，即x2+（ m+n） x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得； （ 2）由由 ACBC=2mn得（ x+m）（ x+n） =2mn，即 x2+（ m+n） x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可； （ 3）作 AG BC，由三角函数得 AG=ACsin60= （ x+m）， CG=ACcos60= （ x+m）、 BG=BC CG=（ x+n） （ x+m），在 Rt ABG中，根据勾股定理可得 x2+（ m+n） x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得 【
43、解答】解：设 ABC的内切圆分别与 AC、 BC 相切于点 E、 F， CE的长为 x， 根据切线长定理，得： AE=AD=m、 BF=BD=n、 CF=CE=x， （ 1）如图 1， 在 Rt ABC中，根据勾股定理，得：（ x+m） 2+（ x+n） 2=（ m+n） 2， 整理，得： x2+（ m+n） x=mn， 所以 S ABC= ACBC = （ x+m）（ x+n） = x2+（ m+n） x+mn = （ mn+mn） =mn， （ 2）由 ACBC=2mn，得：（ x+m）（ x+n） =2mn， 整理，得： x2+（ m+n） x=mn， AC2+BC2=（ x+m） 2+
44、（ x+n） 2 =2x2+（ m+n） x+m2+n2 =2mn+m2+n2 =（ m+n） 2 =AB2， 根据勾股定理逆定理可得 C=90 ； （ 3）如图 2，过点 A 作 AG BC于点 G， 在 Rt ACG中， AG=ACsin60= （ x+m）， CG=ACcos60= （ x+m）， BG=BC CG=（ x+n） （ x+m）， 在 Rt ABG中，根据勾股定理可得： （ x+m） 2+（ x+n） （ x+m） 2=（ m+n） 2， 整理，得： x2+（ m+n） x=3mn， S ABC= BCAG = （ x+n） （ x+m） = x2+（ m+n） x+mn
45、= （ 3mn+mn） = mn 【点评】本题主要考查圆的综合问题， 解 题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点 17（ 2018株洲 市） 如图，在 Rt ABM和 Rt ADN的斜边分别为正方形的边 AB和 AD，其中 AM=AN. (1)求证： Rt ABM Rt AND (2)线段 MN 与线段 AD相交于 T，若 AT= ,求 的值 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） . 【解析 】分析： （ 1）利用 HL证明即可； （ 2）证明 DNT AMT，可得 ， 由 AT=AD，推出 ，在 Rt ABM中， tan ABM= 详解：（ 1） AD=AB， AM=AN， AMB= AND=90 Rt ABM Rt AND（ HL） （ 2）由 Rt ABM Rt AND 易得： DAN= BAM， DN=BM BAM+ DAM=90 ； DAN+ ADN=90 DAM= AND ND AM DNT AMT AT=AD， Rt ABM tan ABM= 点睛：本题考 查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活
