1、 解直角三角形 一 .选择题 1.（ 2018江苏苏州 3分）如图，某海监船以 20海里 /小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A处时，测得岛屿 P恰好在其正北方向，继续向东航行 1小时到达 B处，测得岛屿 P在其北偏西 30 方向，保持航向不变又航行 2小时到达 C处，此时海监船与岛屿 P之间的距离（即 PC的长）为（ ） A 40海里 B 60海里 C 20 海里 D 40 海里 【分析】首先证明 PB=BC，推出 C=30 ，可得 PC=2PA，求出 PA即可解决问题； 【解答】解：在 Rt PAB中， APB=30 ， PB=2AB， 由题意 BC=2AB， PB=
2、BC， C= CPB， ABP= C+ CPB=60 ， C=30 ， PC=2PA， PA=ABtan60 ， PC=220 =40 （海里）， 故选： D 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明 PB=BC，推出 C=30 2.（ 2018江苏无锡 3分 ）如图，已知点 E是矩形 ABCD的对角线 AC上的一动点，正方形 EFGH的顶点 G、 H都在边 AD上，若 AB=3， BC=4，则 tan AFE的值（ ） A等于 B等于 C等于 D随点 E位置的变化而变化 【 分析】根据题意推知 EF AD，由该平行线的性质推知 AEH ACD，结合该相似三角形的对应边成
3、比例和锐角三角函数的定义解答 【解答】解： EF AD， AFE= FAG， AEH ACD， = = 设 EH=3x， AH=4x， HG=GF=3x， tan AFE=tan FAG= = = 故选： A 【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求 AFE 的正切值转化为求 FAG的正切值来解答的 3. （ 2018黑龙江 哈尔滨 3 分 ） 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点 O， BD=8，tan ABD= ，则线段 AB的长为（ ） A B 2 C 5 D 10 【分析】根据菱形的性质得出 AC BD， AO=CO， OB=OD，求出 OB
4、，解直角三角形求出 AO，根据勾股定理求出 AB 即可 【解答】解： 四边形 ABCD是菱形， AC BD， AO=CO， OB=OD， AOB=90 ， BD=8， OB=4， tan ABD= = ， AO=3， 在 Rt AOB中，由勾股定理得： AB= = =5， 故选： C 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键 4.（ 2018贵州贵阳 3分）如图 ， A.B.C 是小正方形的顶点 ，且每个小正方形的边长为 1，则 tan BAC的值为（ B ） （ A） 1 （ B） 1 （ C） 2 3 （ D） 3 3 【 解 】 图 解 2.
5、二 .填空题 1.（ 2018江苏无锡 2分 ）已知 ABC中， AB=10， AC=2 ， B=30 ，则 ABC的面积等于 15或 10 【分析】作 AD BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB.AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先在 Rt ABD 中求得 AD.BD 的值，再在 Rt ACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种情况分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得 【解答】解：作 AD BC交 BC（或 BC 延长线）于点 D， 如图 1，当 AB.AC位于 AD 异侧时， 在 Rt ABD中， B=30 ， AB=10， AD=ABsinB=5
6、， BD=ABcosB=5 ， 在 Rt ACD中， AC=2 ， CD= = = ， 则 BC=BD+CD=6 ， S ABC= BCAD= 6 5=15 ； 如图 2，当 AB.AC在 AD的同侧时， 由 知， BD=5 ， CD= ， 则 BC=BD CD=4 ， S ABC= BCAD= 4 5=10 综上， ABC的面积是 15 或 10 ， 故答案为 15 或 10 【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理 2.（ 2018江苏苏州 3分）如图，在 Rt ABC中， B=90 ， AB=2 ， BC= 将 ABC绕点A按逆时
7、针方向旋转 90 得到 ABC ， 连接 BC，则 sin ACB= 【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C作 CM AB 于 M，过 A作 AN CB 于 N，求出 BM 、 CM，根据勾股定理求出 BC ，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可 【解答】解：在 Rt ABC中，由勾股定理得： AC= =5， 过 C作 CM AB 于 M，过 A作 AN CB 于 N， 根据旋转得出 AB=AB=2 ， BAB=90 ，即 CMA= MAB= B=90 ， CM=AB=2 ， AM=BC= ， BM=2 = ， 在 Rt BMC 中，由勾股定理得： BC= = =5， S ABC
8、 = = ， 5AN=2 2 ，解得： AN=4， sin ACB= = ， 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键 3.（ 2018山东济宁市 3分） 如图 ， 在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A， B 两 个观测站 ，B 站在 A 站的正东方向上 ， 从 A 站测得船 C 在北偏东 60 的方向上 ， 从 B 站测得船 C 在北偏东 30 的方向 上 ，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km 【解答】解：过点 C 作 CD AB 于点 D， 根据题意得： CAD=90 60 =30 ， CBD=90 30 =60
9、， ACB= CBD CAD=30 ， CAB= ACB， BC=AB=2km， 在 Rt CBD 中， CD=BCsin60 =2 = （ km） 故答案为： 3. （ 2018广西南宁 3分） 如图，从甲楼底部 A处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30 ，从甲楼顶部 B处测得乙楼底部 D处的俯角是 45 ，已知甲楼的高 AB是 120m，则乙楼的高 CD是 40 m（结果保留根号） 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：由题意可得： BDA=45 ， 则 AB=AD=120m， 又 CAD=30 ， 在 Rt ADC中， tan CDA
10、=tan30= = ， 解得： CD=40 （ m）， 故答案为： 40 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 tan CDA=tan30= 是解题关键 4. （ 2018黑龙江齐齐哈尔 3分 ） 四边形 ABCD中， BD是对角线， ABC=90 ， tan ABD= ，AB=20， BC=10， AD=13，则线段 CD= 17 【 分析】作 AH BD 于 H， CG BD 于 G，根据正切的定义分别求出 AH、 BH，根据勾股定理求出 HD，得到 BD，根据勾股定理计算即可 【解答】解：作 AH BD于 H， CG BD于 G， tan ABD= ， = ， 设 AH=3
11、x，则 BH=4x， 由勾股定理得，（ 3x） 2+（ 4x） 2=202， 解得， x=4， 则 AH=12， BH=16， 在 Rt AHD中， HD= =5， BD=BH+HD=21， ABD+ CBD=90 ， BCH+ CBD=90 ， ABD= CBH， = ，又 BC=10， BG=6， CG=8， DG=BD BG=15， CD= =17， 故答案为： 17 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键 5.（ 2018贵州铜仁 4 分）在直角三角形 ABC 中， ACB=90 ， D.E 是边 AB 上两点，
12、且 CE所在直线垂直平分线段 AD， CD平分 BCE， BC=2 ，则 AB= 4 【分析】由 CE 所在直线垂直平分线段 AD 可得出 CE 平分 ACD，进而可得出 ACE= DCE，由 CD平分 BCE利用角平分线的性质可得出 DCE= DCB，结合 ACB=90 可求出 ACE.A的度数 ，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出 AB的长度 【解答】解： CE所在直线垂直平分线段 AD， CE平分 ACD， ACE= DCE CD平分 BCE， DCE= DCB ACB=90 ， ACE= ACB=30 ， A=60 ， AB= = =4 故答案为： 4 三 .解答题 1.
13、 （ 2018湖北随州 8分 ）随州市新水一桥（如图 1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为 258米，宽 32米，为双向六车道， 2018年 4月 3日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图 2所示，索塔 AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC）均在同一水平面内， BC在水平桥面上已知 ABC= DEB=45 ， ACB=30 ， BE=6米， AB=5BD （ 1）求最短的斜拉索 DE的长； （ 2）求最长的斜拉索 AC的长 【分析】（ 1）根据等腰直角三角形的性质计算 DE的长； （ 2）作 AH B
14、C于 H，如图 2，由于 BD=DE=3 ，则 AB=3BD=15 ，在 Rt ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出 BH=AH=15，然后在 Rt ACH中利用含 30度的直角三角形三边的关系即可得到 AC的长 【解答】解：（ 1） ABC= DEB=45 ， BDE为等腰直角三角形， DE= BE= 6=3 答：最短的斜拉索 DE 的长为 3 m； （ 2）作 AH BC于 H， 如图 2， BD=DE=3 ， AB=3BD=5 3 =15 ， 在 Rt ABH中 ， B=45 ， BH=AH= AB= 15 =15， 在 Rt ACH中 ， C=30 ， AC=2AH=30 答：最
15、长的斜拉索 AC 的长为 30m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用 ：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 2. （ 2018湖南郴州 8 分 ）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头 B， C的俯角分别为 EAB=60 ， EAC=30 ，且 D， B， C在同一水平线上已知桥 BC=30米，求无人机飞行的高度 AD（精确到 0.01米参考数据： 1.414， 1.732） 【分析】由 EAB=60 、 EAC=30 可得出 CAD=60 、 BAD=30 ，进而可得出CD= AD.BD
16、= AD，再结合 BC=30即可求出 AD的长度 【解答】解： EAB=60 ， EAC=30 ， CAD=60 ， BAD=30 ， CD=ADtan CAD= AD， BD=ADtan BAD= AD， BC=CD BD= AD=30， AD=15 25.98 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD= AD.BD= AD是解题的关键 3.（ 2018江苏宿迁 10分 ）如图，为了测量山坡上一棵树 PQ的高度，小明在点 A处利用测角仪测得树顶 P的仰角为 450 ，然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 10m到达 B点处，此时测得树顶 P和树底 Q的仰角
17、分别是 600和 300，设 PQ 垂直于 AB，且垂足为 C. （ 1）求 BPQ 的度数； （ 2） 求树 PQ的高度（结果精确到 0.1m， ） 【答案】 （ 1） BPQ=30 ；（ 2）树 PQ的高度约为 15.8m. 【分析】 (1）根据题意题可得： A=45 ， PBC=60 ， QBC=30 ， AB=100m，在 Rt PBC中，根据三角形内角和定理即可得 BPQ 度数； （ 2）设 CQ=x，在 Rt QBC中，根据 30 度所对的直角边等于斜边的一半得 BQ=2x，由勾股定理得 BC= x；根据角的计算得 PBQ=BPQ=30 ，由等角对等边得 PQ=BQ=2x，用含 x
18、的代数式表示 PC=PQ+QC=3x， AC=AB+BC=10+ x，又 A=45 ，得出 AC=PC，建立方程解之求出 x，再将 x值代入 PQ 代数式求之即可 . 【详解】 （ 1）依题可得： A=45 ， PBC=60 ， QBC=30 ， AB=10m， 在 Rt PBC中， PBC=60 ， PCB=90 ， BPQ=30 ； （ 2）设 CQ=x， 在 Rt QBC中， QBC=30 ， QCB=90 ， BQ=2x ， BC= x， 又 PBC=60 ， QBC=30 ， PBQ=30 ， 由（ 1）知 BPQ=30 ， PQ=BQ=2x ， PC=PQ+QC=3x ， AC=A
19、B+BC=10+ x， 又 A=45 ， AC =PC， 即 3x=10+ x， 解得： x= ， PQ=2x= 15.8 （ m）， 答：树 PQ的高度约为 15.8m. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质 、含 30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键 . 4.（ 2018江苏淮安 8 分）为了计算湖中小岛上凉亭 P到岸边公路 l的距离，某数学兴趣小组在公路 l 上的点 A 处，测得凉亭 P 在北偏东 60 的方向上；从 A 处向正东方向行走 200米，到达公路 l上的点 B处，再次测得凉亭 P在北偏东 45 的方向上，如图所示求凉亭
20、 P到公路 l的距离（结果保留整数，参考数据： 1.414 ， 1.732 ） 【分析】作 PD AB于 D，构造出 Rt APD与 Rt BPD，根据 AB的长度利用特殊角的三角函数值求解 【解答】解：作 PD AB于 D 设 BD=x，则 AD=x+200 EAP=60 ， PAB=90 60=30 在 Rt BPD中， FBP=45 ， PBD= BPD=45 ， PD=DB=x 在 Rt APD中， PAB=30 ， CD=tan30AD ， 即 DB=CD=tan30AD=x= （ 200+x）， 解得： x273.2 ， CD=273.2 答：凉亭 P到公路 l的距离为 273.2
21、m 【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊 角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答 5.（ 2018江苏徐州 5分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 0.1m）参考数据： 1.414 ， 1.732 【分析】利用锐角三角函数，在 Rt CDE 中计算出坝高 DE 及 CE 的长，通过矩形 ADEF利用等腰直角三角形的边角关系，求出 BF的长，得到坝底的宽 【解答】解：在 Rt CDE中， sin C= ， cos C=， DE=sin30DC= 14=7 （ m）， CE=cos30DC= 14=7 12.12412
22、.12 ， 四边形 AFED是矩形 ， EF=AD=6m， AF=DE=7m 在 Rt ABF中 ， B=45 ， DE=AF=7m， BC=BF+EF+EC 7+6+12.12=25.1225.1 （ m） 答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7m和 25.1m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用题目难度不大，求 BF 的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数 6.（ 2018江苏无锡 8分 ）如图，四边形 ABCD内接于 O， AB=17， CD=10， A=90 ， cosB= ，求 AD的长 【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出 C=90 ， ABC+ ADC=180 作
23、AE BC于 E，DF AE 于 F，则 CDFE 是矩形， EF=CD=10解 Rt AEB，得出 BE=ABcos ABE= ，AE= = ，那么 AF=AE EF= 再证明 ABC+ ADF=90 ，根据互余角的互余函数相等得出 sin ADF=cos ABC= 解 Rt ADF，即可求出 AD= =6 【解答】解： 四边形 ABCD内接于 O， A=90 ， C=180 A=90 ， ABC+ ADC=180 作 AE BC于 E， DF AE于 F，则 CDFE是矩形， EF=CD=10 在 Rt AEB中， AEB=90 ， AB=17， cos ABC= ， BE=ABcos A
24、BE= ， AE= = ， AF=AE EF= 10= ABC+ ADC=180 ， CDF=90 ， ABC+ ADF=90 ， cos ABC= ， sin ADF=cos ABC= 在 Rt ADF中， AFD=90 ， sin ADF= ， AD= = =6 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判 定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出 AF= 以及 sin ADF= 是解题的关键 7.（ 2018江苏宿迁 10 分 ）如图， AB.AC分别是 O 的直径和弦， ODAC 于点 D，过点 A作O 的切线与 OD 的延长线交于点 P， PC.AB 的延长线交于点 F. （ 1）求
25、证： PC是 O 的切线； （ 2）若 ABC=60 ,AB=10,求线段 CF的长 . 【答案】 （ 1）证明见解析 ；（ 2） CF=5 . 【 分 析】试题分析：（ 1）、连接 OC，可以证得 OAP OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到： OCP=90 ，即 OC PC，即可证得；（ 2）、依据切线的性质定理可知 OC PE，然后通过 解直角三角函数，求得 OF的值，再减去圆的半径即可 试题解析：（ 1）、连接 OC， OD AC， OD经过圆心 O， AD=CD， PA=PC， 在 OAP和 OCP中， ， OAP OCP（ SSS）， OCP= OAP P
26、A是 O的切线， OAP=90 OCP=90 ，即 OC PC PC是 O的切线 （ 2）、 AB 是直径， ACB=90 ， CAB=30 ， COF=60 ， PC是 O的切线， AB=10， OC PF， OC=OB=AB=5， OF= =10， BF=OF OB=5 【点睛】（ 1）、切线的判定与性质；（ 2）、解直角三角形 9.（ 2018山东烟台市 8分） 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40千米 /小时数学实践活动小组设计了如下活动：在 l上确定
27、A， B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在 l 外取一点 P，作 PC l，垂足为点 C测得PC=30米， APC=71 ， BPC=35 上午 9时测得一汽车从点 A到点 B用时 6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据： sin350.57 ， cos350.82 ，tan350.70 ， sin710.95 ， cos710.33 ， tan712.90 ） 【分析】先求得 AC=PCtan APC=87.BC=PCtan BPC=21，据此得出 AB=AC BC=87 21=66，从而求得该车通过 AB 段的车速，比较大小即可得 【解答】解：在 Rt APC中， AC=
28、PCtan APC=30tan71302.90=87 ， 在 Rt BPC中， BC=PCtan BPC=30tan35300.70=21 ， 则 AB=AC BC=87 21=66， 该汽车的实际速度为 =11m/s， 又 40km/h11.1m/s ， 该车没有超速 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键 10.（ 2018山东济宁市 8 分） 随着我市农产品整体品牌形象 “ 聊 胜一筹 !” 的推出，现代农业得到了更快发展某 农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图 1线段 AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，
29、AC表示保温板的长已知墙高 AB为 2米，墙面与保温板所成的角 BAC=150 ，在点 D处测得 A点、 C点的仰角分别为 9 ， 15.6 ，如图 2求保温板 AC的长是多少米？（精确到 0.1米） （参考数据： 0.86 ， sin90.16 ， cos90.99 ， tan90.16 ， sin15.60.27 ，cos15.60.96 ， tan15.60.28 ） 【分析】作 CE BD.AF CE，设 AF=x，可得 AC=2x、 CF= x，在 Rt ABD 中由 AB=EF=2 知BD= ， DE=BD BE= x， CE=EF+CF=2+ x，根据 tan CDE= 列出关于
30、 x的方程，解之可得 【解答】解：如图所示，过点 C作 CE BD 于点 E，过点 A作 AF CE 于点 F， 则四边形 ABEF是矩形， AB=EF、 AF=BE， 设 AF=x， BAC=150 、 BAF=90 ， CAF=60 ， 则 AC= =2x、 CF=AFtan CAF= x， 在 Rt ABD中， AB=EF=2， ADB=9 ， BD= = ， 则 DE=BD BE= x， CE=EF+CF=2+ x， 在 Rt CDE中， tan CDE= ， tan15.6= ， 解得： x0.7 ， 即保温板 AC 的长是 0.7米 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问
31、题，解题的关键是理解题意，构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用 11.（ 2018山东东营市 8分） 关于 x的方程 2x2 5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中 A是锐角三角形 ABC的一个内角 （ 1）求 sinA的值； （ 2）若关于 y的方程 y2 10y+k2 4k+29=0的两个根恰好是 ABC的两边长，求 ABC的周长 【分析】（ 1）利用判别式的意义得到 =25sin2A 16=0，解得 sinA= ； （ 2）利用判别式的意义得到 100 4（ k2 4k+29） 0 ，则（ k 2） 20 ，所以 k=2，把k=2代入方 程后解方程得到 y1=y2=5，则 AB
32、C是等腰三角形，且腰长为 5 分两种情况：当 A 是顶角时：如图，过点 B作 BD AC于点 D，利用三角形函数求出 AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出 BC即得到 ABC的周长； 当 A是底角时：如图，过点 B作 BD AC于点 D，在 Rt ABD中， AB=5，利用三角函数求出AD得到 AC的长，从而得到 ABC的周长 【解答】解：（ 1）根据题意得 =25sin2A 16=0， sin2A= ， sinA= 或 ， A为锐角， sinA= ； （ 2）由题意知，方程 y2 10y+k2 4k+29=0有两个实数根， 则 0 ， 100 4（ k2 4k+29） 0 ， （ k 2）
33、 20 ， （ k 2） 20 ， 又 （ k 2） 20 ， k=2， 把 k=2代入方程，得 y2 10y+25=0， 解得 y1=y2=5， ABC是等腰三角形，且腰长为 5 分两种情况： 当 A是顶角时：如图，过点 B作 BD AC 于点 D，在 Rt ABD中， AB=AC=5 sinA= ， AD=3， BD=4 DC=2， BC= ABC的周长为 ； 当 A是底角时：如图，过点 B作 BD AC 于点 D，在 Rt ABD中， AB=5， sinA= ， A D=DC=3， AC=6 ABC的周长为 16， 综合以上讨论可知： ABC的周长为 或 16 【点评】本题考查了根的判别
34、式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与 =b2 4ac有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程无实 数根也考查了解直角三角形 12.（ 2018上海 10分）如图，已知 ABC中， AB=BC=5， tan ABC= （ 1）求边 AC的长； （ 2）设边 BC的垂直平分线与边 AB的交点为 D，求 的值 【分析】（ 1）过 A作 AE BC，在直角三角形 ABE中，利用锐角三角函数定义求出 AC的长即可； （ 2）由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，利用勾股定理求出 BD
35、的长，进而求出 AD的长，即可求出所求 【解答】解：（ 1）作 A作 AE BC， 在 Rt ABE中， tan ABC= = ， AB=5， AE=3， BE=4， CE=BC BE=5 4=1， 在 Rt AEC中，根据勾股定理得： AC= = ； （ 2） DF垂直平分 BC， BD=CD， BF=CF= ， tan DBF= = ， DF= ， 在 Rt BFD中，根据勾股定理得： BD= = ， AD=5 = ， 则 = 【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 13. （ 2018达州 6分）在数学实践活动课上，老师
36、带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在 A处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30 ，再往雕塑方向前进 4米至B处，测得仰角为 45 问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略 不计，结果不取近似值） 【分析】过点 C作 CD AB，设 CD=x，由 CBD=45 知 BD=CD=x米，根据 tanA= 列出关于x的方程，解之可得 【解答】解：如图，过点 C作 CD AB，交 AB延长线于点 D， 设 CD=x米， CBD=45 ， BDC=90 ， BD=CD=x米， A=30 ， AD=AB+BD=4+x， tanA= ，即 = ， 解得： x=2+2 ， 答：该雕塑的高度为（ 2+2
37、 ）米 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用 14. （ 2018遂宁 10 分）如图，某测量小组为了测量山 BC的高度，在地面 A 处测得山顶 B的仰角 45 ，然后沿着坡度为 =1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B的仰角为 60 ，求山高 BC（结果保留根号） 【分析】作 DF AC于 F解直角三角形分别求出 BE.EC即可解决问题； 【解答】解：作 DF AC于 F DF： AF=1： ， AD=200米， tan DAF= ， DAF=30 ， DF= AD= 200=1
38、00 ， DEC= BCA= DFC=90 ， 四边形 DECF是矩形， EC=BF=100（米）， BAC=45 ， BC AC， ABC=45 ， BDE=60 ， DE BC， DBE=90 BDE=90 60=30 ， ABD= ABC DBE=45 30=15 ， BAD= BAC 1=45 30=15 ， ABD= BAD， AD=BD=200米， 在 Rt BDE中， sin BDE= ， BE=BDsin BDE=200 =100 ， BC=BE+EC=100+100 （米） 【点评】本题考查解直角 三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
39、构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 15. （ 2018资阳 9分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 30 角，线段 AA1 表示小红身高1.5米 （ 1）当风筝的水平距离 AC=18米时，求此时风筝线 AD的长度； （ 2）当她从点 A跑动 9 米到达点 B处 时，风筝线与水平线构成 45 角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离 CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 C1D 【分析】（ 1）在 Rt ACD中，由 AD= 可得 答案； （ 2）设 AF=x米，则 BF=AB+A
40、F=9 +x，在 Rt BEF中求得 AD=BE= =18+ x，由cos CAD= 可建立关于 x的方程，解之求得 x的值，即可得出 AD的长，继而根据 CD=ADsin CAD求得 CD从而得出答案 【解答】解：（ 1） 在 Rt ACD中， cos CAD= ， AC=18. CAD=30 ， AD= = = =12 （米）， 答：此时风筝线 AD的长度为 12 米； （ 2）设 AF=x米，则 BF=AB+AF=9 +x（米）， 在 Rt BEF中， BE= = =18+ x（米）， 由题意知 AD=BE=18+ x（米）， CF=10 ， AC=AF+CF=10 +x， 由 cos
41、CAD= 可得 = ， 解得： x=3 +2 ， 则 AD=18+ （ 3 +2 ） =24+3 ， CD=ADsin CAD=（ 24+3 ） = ， 则 C1D=CD+C1C= + = ， 答：风筝原来的高度 C1D为 米 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三角形间的关联 16. （ 2018乌鲁木齐 10分）如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在 A处仰望楼顶，测得仰角为 37 ，再往楼的方向前进 30 米至 B处，测得楼顶的仰角为 53 （ A， B， C三点在
42、一条直线上），求楼 CD的高度（结果精确到 0.1米，小强的身高忽略不计） 【分析】设 CD=xm，根据 AC=BC AB，构建方程即可解决问题； 【解答】解：设 CD=xm， 在 Rt ACD中， tan A= ， AC= ， 同法可得： BC= ， AC=BC=AB， =30， 解得 x=52.3， 答：楼 CD的高度为 52.3米 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键 17. （ 2018嘉兴 10 分 ） 如图 1,滑动调节式遮阳伞的立柱 垂直于地面 ,为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 ,为 中点 , , . ,
43、 .当点 位于初始位置 时 ,点 与 重合（图 2） .根据生活经验 ,当太阳光线与 垂直时 ,遮阳效果最佳 . （ 1）上午 10:00时 ,太阳光线与地面的夹角为 （图 3） ,为使遮阳效果最佳 ,点 需从 上调多少距离 ? （结果精确到 ） （ 2）中午 12:00时，太阳光线与 地面垂直（图 4） ,为使遮阳效果最佳 ,点 在（ 1）的基础上还需上调多少距离 ? （结果精确到 ） （参考数据： ， ， ， ， ） 【答案】 （ 1） 点需 从 上调 ；（ 2）点 在（ 1）的基础上还需上调 【解析】 【分析】 （ 1）如图 2，当点 位于初始位置 时， . 10:00时，太阳光线与地面
44、的夹角为 ，点 上调至 处，. , 为等腰直角三角形，即可求出点 需从 上调的距离 . （ 2）中午 12:00时，太阳光线与 ，地面都垂直，点 上调至 处，过点 作 于点 ， ，根据 即可求解 . 【解答】 （ 1）如图 2，当点 位于初始位置 时， . 如图 3， 10:00时，太阳光线与地面的夹角为 ，点 上调至 处， ， ， ， . ， . ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即点 需从 上调 . （ 2）如图 4，中午 12:00时，太阳光线与 ，地面都垂直，点 上调至 处， . ， . ， . ，得 为等腰三角形， . 过点 作 于点 ， ， ， ， 即点 在（ 1）的基础上还需上
45、调 . 【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键 .可以数形结合 . 18. （ 2018贵州 安顺 10分 ） 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 是米，坡面 的倾斜角 ，在距点 米处有一建筑物 .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 的倾斜角 ，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（ 计算最后结果保留一位小数） . （参考数据： ， ） 【答案】该建筑物需要拆除 . 【解析】分析：根据正切的定义分别求出 AB.DB的长，结合图形求出 DH，比较即可 详解：由题意得， 米， 米， 在 中， ， ， 在 中， ， ， （米）， 米 米， 该建筑物需要拆除 . 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用 -坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特
