1、第三节 反比例函数一、选择题1若y(a 1)xa 22是反比例函数，则a的取值为( A )A1 B1 C1 D任意实数2当x0时，函数y 的图象在( D )5xA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3如图，O是坐标原点，菱形 OABC的顶点A 的坐标为( 3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y (x0)的kx图象经过顶点B，则k的值为( C )A12 B 27 C32 D364已知点A(1 ， y1)，B(2，y 2)，C(3，y 3)都在反比例函数y 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )6xAy 30)的图象和矩形 ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且kxAB2
2、， AD4，点A的坐标为 (2，6)(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的表达式解：(1)B(2，4)，C(6，4)，D(6，6) ；(2)如图，矩形ABCD 平移后得到矩形 ABCD，设平移距离为a，则A(2，6 a)，C(6，4a) ，点A ，点 C在y 的图象上，kx2(6a)6(4a), 解得a3，点A(2，3)，反比例函数的表达式为y .6x13如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点
3、B的坐标是(m，4)，连接AO ，AO 5，sinAOC .35(1)求反比例函数的表达式；(2)连接OB ，求 AOB的面积解：(1)过点A作 AEx轴于点E.设反比例函数表达式为y .kxAEx轴，AEO 90 .在Rt AEO中，AO 5，sinAOC ，35AEAO sinAOC3，OE 4，点A的坐标为(4，3)AO2 AE2点A( 4，3)在反比例函数 y 的图象上，kx3 ，解得k12.k 4反比例函数表达式为y ；12x(2)点B(m，4) 在反比例函数y 的图象上，4 ，解得m3，12x 12m点B的坐标为(3，4)设直线AB的表达式为yaxb，将点A( 4，3)，点B(3，
4、4)代入yaxb中，得解得3 4a b， 4 3a b， ) a 1，b 1， )一次函数表达式为yx1.令一次函数yx1中y0，则0x1，解得x1，即点C的坐标为 (1，0)SAOB OC(yAy B) 13( 4) .12 12 7214如图，一次函数yx4的图象与反比例函数y (k为常数，且k0) 的图象交于A(1，a)，B两点kx(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)在x轴上找一点P ，使PAPB的值最小，求满足条件的点 P的坐标及PAB 的面积解：(1)把点A(1，a)代入一次函数yx4，得a14，解得a 3，A(1， 3)，将点A(1 ，3) 代入反比例函数y ，得k3，k
5、x反比例函数的表达式y ，3x两个函数表达式联立列方程组得 y x 4，y 3x， )解得 或 点B坐标(3，1) ；x1 1，y1 3) x2 3，y2 1， )(2)如图，作点B 作关于x轴的对称点D ，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P ，连接PB，此时PAPB 的值最小D(3， 1)，设直线AD的表达式为ymx n，把A ，D两点代入得， m n 3，3m n 1， )解得 m 2，n 5， )直线AD的表达式为y2x5，令y0，得x ，点P坐标 ，52 (52， 0)S PAB S ABD S PBD 22 2 2 .12 12 12 12 3215如图，已知直线yx3与x轴交于点
6、A ，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”)(1)类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的表达式；(2)如图，双曲线y 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点) ，过点D作x轴的kx平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P.试求PAD 的面积的最大值；探索：在点D运动的过程中，四边形 PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由解：(1)函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x3；由题意，得A点坐标为(3，0)分两种情况：i)x3时，显然yx3；ii)
7、当x3时，设其表达式为ykxb.在直线yx3中，当x4时，y1，则点(4，1)关于x轴的对称点为(4，1)把(4，1) ，(3，0)代入ykxb，得 解得 yx3. 4k b 1， 3k b 0， ) k 1，b 3， )综上所述，新函数的表达式为y x 3（x 3）， x 3（x 3）；)(2)点C(1，a) 在直线yx3上，a134.点C(1，4)在双曲线y 上，kxk144，y .4x点D是线段AC上一动点(不包括端点)，可设点D的坐标为(m，m3)，且3m1.DPx轴，且点P 在双曲线上，P ，PD m ，(4m 3， m 3) 4m 3S PAD (m3) m2 m2 ，12( 4m 3 m) 12 32 12(m 32)2258a 0，12当m 时，S有最大值，为 ，32 258又3 1，32PAD 的面积的最大值为 ；258在点D运动的过程中，四边形 PAEC不能为平行四边形理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为(1，2)，此时P 点的坐标为(2，2)，E点的坐标为( 5，2)，DP3，DE4，EP与AC不能互相平分，四边形PAEC不能为平行四边形
