1、1高考数学压轴题突破训练(下，4 套)高考数学压轴题突破训练 5：函数1. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 ，8xf，及任意的 ，当甲公司投入 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费12xg0xx若小于 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入 万元作f x宣传时，甲公司投入的宣传费若小于 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危xg险. 设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费 y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m0,gf(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应
2、投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入 万元，乙在上述策略下，投12a入最少费用 ；而甲根据乙的情况，调整宣传费为 ；同样，乙再根据甲的情况，调1b整宣传费为 如此得当甲调整宣传费为 时，乙调整宣传费为 ；试问是否存在2, nnb， 的值，若存在写出此极限值（不必证明） ，若不存在，说明理由. limnanli2. 已知三次函数 在 y 轴上的截距是 2，且在cbxaxf23)(上单调递增，在（1，2）上单调递减 .),(,()求函数 f (x)的解析式；()若函数 ，求 的单调区间.)ln(
3、)()(3) mxxfh)(xh2007032823. 已知函数 ，函数 的图象与 的图象关于点15)(2xx)(R)(xfy)(x中心对称。)21,0(（1）求函数 的解析式；)(xfy（2）如果 ， ，试求出使1g)2,)()(1nNxgfnn成立的 取值范围；0)(xx（3）是否存在区间 ，使 对于区间内的任意实数 ，只要E0)(xf x，且 时，都有 恒成立？Nn2gn4已知函数： )(1)( axRxaf 且（）证明：f(x)+2+f(2ax)=0 对定义域内的所有 x 都成立.（）当 f(x)的定义域为a+ ,a+1时，求证：f(x)的值域为3，2；2（）设函数 g(x)=x2+|
4、(xa)f(x)| ,求 g(x) 的最小值 .5. 设 是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 上单调递增，在()fx1,0*x)1,0()fx,0*上单调递减，则称 为 上的单峰函数， 为峰点，包含峰点的区间为含峰区1,*()fx,*间. 对任意的 上的单峰函数 ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.,()f（1）证明：对任意的 ， ，若 ，则 为含峰区间；21,21)(21ff),(2若 ，则 为含峰区间；)(2xff),(（2）对给定的 ，证明：存在 ，满足 ，使得由（1）5.0r,x,0(rx所确定的含峰区间的长度不大于 ；r36. 设关于 的方程 的两根分别为 、 ，函数x022ax
5、14)(2xaf（1）证明 在区间 上是增函数；)(f,（2）当 为何值时， 在区间 上的最大值与最小值之差最小)(xf,7. 已知函数 在 处取得的极小值是 .31()(,)fxaxbR2x43(1)求 的单调递增区间；(2)若 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.4,3x210()3fxmm8. 已知二次函数 设方程 f(x)x 有两个实数根 x1、x 2.),0(1)(2Rbaxxf ()如果 ，设函数 f(x)的对称轴为 xx 0,求证 x01;421()如果 ，且 f(x)x 的两实根相差为 2，求实数 b 的取值范围.0x9. 函数 的定义域为 R，并满足以下条件：对任意 ，有 ；
6、)(xf Rx0)(xf对任意 、 ，有 ； 则yyxff)(.1)3(f（1）求 的值； （4 分） )0(f（2）求证： 在 R 上是单调增函数； （5 分）x（3）若 ，求证：acbca2,且 ).(2)(bfcfa410. 已知函数 在区间0，1上单调递增，在区间1，2上单调14)(23axxf递减；（1）求 a 的值；（2）求证：x=1 是该函数的一条对称轴；（3）是否存在实数 b，使函数 的图象与函数 f(x)的图象恰好有两个交点？1)(2bxg若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由.11. 定义在区间（0， ）上的函 f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数
7、x、q,都有 .)(xqff（1）求证：方程 f(x)=0 有且只有一个实根；（2）若 abc1,且 a、b、c 成等差数列，求证： ；)()(2bfcfa（3） （本小题只理科做）若 f(x) 单调递增，且 mn0 时，有，求证：)2()(nmfnff32m12. 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x2 10x3(单位：万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:（提示：利润 =
8、产值 成本）(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?(3) 边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？13. 已知函数 （ 且 ） 3(1)()xaf01a(1) 试就实数 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；a(2) 已知当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，求 的值0x(,6)(6,)a并写出函数的解析式； (3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线 ，试问是否存在经过原点的直线 ，使得Cl5为曲线 的对称轴？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由lCl(文) 记(
9、2)中的函数的图像为曲线 ，试问曲线 是否为中心对称图形？若是，C请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由14. 已知函数 和 的图象在()logafx()2log(2),(0,1)axxtatR处的切线互相平行.2x() 求 的值；t（）设 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.)()(xfF1,4()Fx15. 设函数 定义在 上，对任意的 ，恒有 ，且当()fxR,mnR()()fnfmfn时， 。试解决以下问题：1x0（1）求 的值，并判断 的单调性；()fx（2）设集合 ，(,| )0,(,)|2)0,AyfyBxyfaaR若 ，求实数 的取值范围；Ba（3）若 ，满足 ，求
10、证：0b|()|2(|abffbf3b16. （理科）二次函数 f(x)= )(2Rbax、（I）若方程 f(x)=0 无实数根，求证：b0；（II）若方程 f(x)=0 有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(a)=；)1(42a（III）若方程 f(x)=0 有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数 k，使得 .41)(f(文科)已知函数 f(x)= ，其中cbxa2 .,*ZcNba（I）若 b2a,且 f(sinx)(xR)的最大值为 2，最小值为4，试求函数 f(x)的最小值；（II）若对任意实数 x，不等式6恒成立,且存在 成立，求 c 的值。)1(2
11、)4xfx )1(2)000xfx使 得17. 定义在（-1，1）上的函数 f(x)满足：对任意 x、y (-1,1)都有 。（I）求证：函数 f(x)是奇函数；（II）如果当 时，有 f(x)0，判断 f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-12a，且 f（sinx） （xR）的最大值为 2，最小值为4，试求函数 f（x）的最小值；（2）若对任意实数 x，不等式 4xf（x）2（x 21）恒成立，且存在 x0，使得 f（x 0）1 时，m 1，由 得 x 1 时，在（1，2） ， （2，+）上单增；在（m，1）单减.12 分3.解：（1） 25)(xf（6 分）（2）由
12、解得0)()()(2112gxg 1)(0)(1xg或即 505x或解得 （12 分）1051x或或（1） 由 ，0)(xf或又 ，10)15,或11当 时， ， ，)105,(x0)(2xg 0)(5)()(223 xgx对于 时， ，命题成立。（14 分）3,2n)15,(E以下用数学归纳法证明 对 ，且 时，都有 成)0,15(Nn20)(xgn立假设 时命题成立，即 ，),2(Nkn)(xgk那么 即 时，命题也成立。05)() 21 xgfxkkk 1kn存在满足条件的区间 。1,0E4.解：（）证明： xaxafxf 21)2()( 0221 aax结论成立 4 分（）证明： xa
13、xxf 1)()当 12,12121 xaxaa时即 9 分23x,3)(值 域 为f（）解： )(|1|)(2axg（1）当 axgax 43)21(,2时且如果 即 时，则函数在 上单调递增2a ,),a和2min)1()(gx12如果 agxaa 43)21()(,2121min时且即 当当 时， 最小值不存在11 分)(xg（2）当 5)(1122x时如果 4)(3minagxa时即如果 13 分2min)1()(,2 agx上 为 减 函 数在时即当 043120)(45)1(3 22 a 时当时综合得：当 时 g（x）最小值是a且 a43当 时 g（x）最小值是 当 时 g（x）最
14、小值为22)1(a45a当 时 g（x）最小值不存在1a5.解：(1)证明:设 为 的峰点,则由单峰函数定义可知, 在 上单调递增, 在*()fx ()fx0*上单调递减,1*x当 时,假设 ,则 0, P(x)单调递增, 当 12 x2,21xb412ab(5 分)1(4)(2af（III）设 m2a0, .1.2)(2xf(7 分)47)(minxf(2) )1.(4),)1()4,(2 分ffxf., 分即 cabca.0)(4)(2恒 成 立即又 xxf ,4,02cc即 )1.(.,24).(,)( *分或又 分 aNaab2)(0, xfbc时当不存在 .2)(0xfx使当 a=1
15、 时，c=1, .1)(,2xf此时存在 x0,使 )(.)(200 分故 cxf2217.解：(I)证：令 x=y=0，则 f(0)+f(0)=f(0),故 f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)= f(-x)=-f(x)函数 f(x)的奇函数 4（II）设-12 9当 a=0 时， ，原不等式的解集为x|x2 10当-12 中原不等式的解；若 x1,x2，则 a(x-1)2a，故 a1，c2。f（x）x 23x2，最小值为17/4。（2）令 x1，代入不等式 4xf（x）2（x 21）得 f（1）4，即 abc4，从而b4ac。又 4xf（x）恒成立，得 ax2（b4）xc0
16、 恒成立，故（b4）24ac0，ac。又 b0，ac4，c1 或 c2。当 c2 时，f（x）2x 22，此时不存在满足题意的 x0。当 c1 时满足条件，故 c1。20.解：（理） （1） .x1a2ax12)(f 若 时，0a ,0)(,02 xff 在 单调递增，在 单调递减，)x(f, , 1若 时， 对 恒成立.-1a0.0)(xfR 在 上单调递减. )x(fR 6若 ，a1由 ，a21xa1x0ax20)(f 2 由 可得 或 ，)x(f 122 在 单调递减，在（ ，)(f a,a22 a1,225 ， 上单调递减，综上所述：若 时， 在（a121a)x(f）上单调递减.,当
17、时， 在 单调递减，01)x(f a1,a22在（ 和 ）单调递减，a,2,12当 时， 在 单调递增，在 单调递减.0a)x(f,00,21.解：（1）f(x)=x 2+4ax3a 2=(x3a)(xa),由 f(x)0 得：a3a，则函数 f(x)的单调递增区间为（a, 3a） ，单调递减区间为（，a）和（3a，+）列表如下：x (，a) a (a, 3a) 3a (3a,+ )f(x) 0 + 0 f(x) a3+b4b函数 f(x)的极大值为 b，极小值为 a3+b 7 分（2） 上单调递2,1)(,)2(4)( 222 axfxxxf 在减，因此 4,1)(minma ff不等式|f
18、(x)|a 恒成立， 即 a 的取值范围是5:,41解 得 542622.解：(1) 方法一： x1 , ，01x)4(68x)(f22当且仅当 x=4 时，取等号，故函数 f(x)的最小值为 0；方法二： x1， 9)(1x9)(f 当且仅当 即 x=4 时，取等号，故函数 f(x)的最小值为 0.1x9方法三：求导（略） 4 分（2）由于 h(x)=(1x)f(x)+16= 28设 F(x)=g(x)h(x)= ( 且 )，则mxln601x，6 分)3(2x)(F令 得 x=3 或 x=1（舍）又 ， ，0 (Fli0x )(Flix，F（3）6ln315+m7m)(li1x根据导数的符
19、号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下：11 分由此可得：当 或 时，h(x)的图象与 g(x)73ln615的图象恰有 1 个交点；当 时，h(x)的图象与 g(x)的图象恰有 2 个交点；lm当 时，h(x)的图象与 g(x(的图象恰有 3 个交点.23.解：（I）由图形 知： ， 081,1640802cbaabc解 之 得 ：函数 f（x）的解析式为 4 分xxf)(2（）由 yt82得 ,8,0)(212 txttx0t2xy(3, 6ln3-15+m)(1, m-7)O 3127直线 l1与 f（x）的图象的交点坐标为（ 6 分)8,2tt由定积分的几何意义知： 0 222
20、2 )()()8()() t dxtxdxttS 23102 838 ttxt 9 分4160342tt（）令 .ln68)()(2mxxfxg因为 x0，要使函数 f（x）与函数 g（x）有且仅有 2 个不同的交点，则函数的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点mln68)(2 )0(3)1(682 xxx当 x（0，1）时， 是增函数；)(,0)( x当 x（1，3）时， 是减函数当 x（3，+）时， 是增函数)(,)( x当 x=1 或 x=3 时， 0x ;7)1()(mx极 大 值 为12 分153ln6极 小 值 为又因为当 x0 时， )(x当 x时 ，所以要使 有且仅有两
21、个不同的正根，必须且只须0)()1(3)(令28即 07153ln6153ln607mm或m=7 或 .l当 m=7 或 时，函数 f（x）与 g（x）的图象有且只有两个不同交点24.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,f因为 f(x)单调递增，所以 (x)0，f即 3x 2-4x+10,解得，x1, 或 x ,2 分31故 f(x)的增区间是(-， )和1,+ . 3 分(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.f当 x-1，1时，恒有| (x)| .4 分f23故有 (1) ，23f (-1) ， (0) ,5f即 6.23 ab,23 ab)(2
22、+，得ab ，8 分29又由，得ab= ，3将上式代回和，得29a+b=0,故 f(x)=x3 x. 9 分2(III) 假设 ,OAB即 = = st+f(s)f(t)=0, 10 分 )(,)(tfsf(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,st-(s+t)a+a2st-(s+t)b+b2=-1, 11 分由 s，t 为 (x)=0 的两根可得，fs+t= (a+b), st= , (0ab),331从而有 ab(a-b)2=9. 12 分这样(a+b) 2=(a-b)2+4ab= +4ab2 =12，ab96即 a+b2 ,3这样与 a+b2 矛盾. 13 分故 与 不可能垂直.
23、OAB25.解：(1)g(x)= . 222 41)(,lnxmxgxm即 m 时，g(x)0,g(x)在 ,2上单调递减，411g(x) max=g( )=2m- -ln2.2所以 m 时，g(x) max=2m- ； 4121ln(2)因为函数 y=log 8-f(x)在1，+）上是单调减函数，则其导数在1，+）上恒小3于等于零.所以 xmexffey 2231/31/ 8log)(8log恒成立.0l23130因为 log e0，所以 在1，+）恒成立.即 在1，+）恒成31082mx 082mx立.因为 在1，+）上不恒成立,所以 在1，+）上恒成立.082x,m02x,得 在1，+）上恒成立. 所以-1m9.（本题也可用复合函数进行处理）高考数学压轴题突破训练 6:三角函数1. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B、C 三点满足 123OCAB（1）求证：A、B、C 三点共线；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）已知 ，,cos1sin,co0,2xx、的最小值为 ，求实数 的值23fxOmABA1m2. 且(sin,co),(s20,in),axb已 知 cos(10)cos(10)abxx求 的值t
