1、2018/10/12,1,第四章 关 系,4.1 二元关系 4.2 关系运算 4.3 关系类型,退出,2018/10/12,2,4.1 二元关系,二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。 1基本概念 定义4.1.1 给定任意集合A和B，若RAB，则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R为A上的二元关系。,2018/10/12,3,可见，R是有序对的集合。若R，则也表为xRy，即RxRy。 若R=，则称R为A到B上空关系；若R=AB，称R为A到B上全域关系。特别当A=B时，称为A上空关系，称R=AA为A上的全域关系。称R=|xA为A上的恒等关系，记为IA。,2018/10/12,4,
2、类似地可定义n元关系。若S Ai，则称S为 Ai上的n元关系。特别A1=A2=An时，称S为A上的n元关系。,2018/10/12,5,定义4.1.2 令RAB，且D(R)=x|(y)(xRy)R(R)=y|(x)(xRy)F(R)=D(R)+R(R) 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。 显然D(R)A，R(R)B。,2018/10/12,6,由于关系是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则RS，RS，R-S，RS和R都分别定义了某一种二元关系，并且可表成： x(RS)yxRyxSy x(RS
3、)yxRyxSy x(R-S)yxRyxSy x(RS)yxRyxSy xR yxRy,2018/10/12,7,2关系矩阵与关系图 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，矩阵和有向图都是得力的工具。 定义4.1.3 给集合A=a1,a2,am和B=b1,b2,bn，且RAB，若1 aiRbj rij=0 否则 则称矩阵MR=(rij)mn为R的关系矩阵。,2018/10/12,8,当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之，若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。具体方法是：用小圆圈“”表示A中的元素，小圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结点，分别标记
4、ai和aj。若R，则用弧线段或直线段把ai和aj连接起来，并在弧线或直线上设置一箭头，使之由ai指向aj；若R，则在结点ai上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。这样得到的有向图叫做关系R的图示，简称关系图，记为GR。,2018/10/12,9,3关系的性质 关系的性质是指集合中二元关系的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质，并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 定义4.1.4 令RAA，若对A中每个x，都有xRx，则称R是自反的，即 A上关系R是自反的x)(xAxRx) 该定义表明了，在自反的关系R中，除其他有序对外，必须包括有全部由每个xA所组成
5、的元素相同的有序对。,2018/10/12,10,在全集U中所有子集的集合中，包含关系是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的。整数集合Z中，关系是自反的，而关系不是自反的。,2018/10/12,11,定义4.1.5 令RAA，若对于A中每个x，有xRx，则称R是反自反的，即 A上关系R是反自反的x)(xAxRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对。,2018/10/12,12,由定义4.1.4 说明中，可知真包含关系是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系是反自反的，而不是反自反的。 应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是反自反的；
6、反之，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。,2018/10/12,13,定义4.1.6 令RAA，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即 A上关系R是对称的 (x)(y)(x,yAxRyyRx) 该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对，则必定还会有有序对。,2018/10/12,14,在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系和都不是对称的。,2018/10/12,15,定义4.1.7 令RAA，对于A中每个x和y，若xRy
7、且yRx，则x=y，称R是反对称的，即 A上关系R是反对称的 (x)(y)(x,yAxRyyRxx=y) 该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在有序对和，则必定是x=y。或者说，在R中若有有序对，则除非x=y，否则必定不会出现。,2018/10/12,16,在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系和真包含关系都是反对称的，但全域关系不是反对称的。在整数集合Z中，=，和,中R=,。,2018/10/12,17,定义4.1.8 令RAA，对于A中每个x, y, z，若xRy且yRx，则xRz，称R是传递的，即 A上关系R是传递的 (x)(y)(z)(x,y,zAxRyyRz
8、xRz) 该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中，若有有序对和，则必有有序对。,2018/10/12,18,显然，上述提到的关系中，=和，=都是传递的；在直线的集合中，平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的。 通过上面几个实例，看出： 若A上关系R是自反的，则MR中主对角线上元素全为1，而GR中每个结点有有向环；反之亦然。,2018/10/12,19,若A上关系R是反自反的，则MR中主对角线上元素全为0，而GR中每个结点无有向环；反之亦然。 若A上关系R是对称的，则MR是对称矩阵，而GR中任何两结点若有弧必成对出现；反之亦然。,2018/10/12,20,若A上关系R是反对称的，则MR
9、中以主对角线为对称元素不能同时为1，而GR中若两结点间有弧不能成对出现；反之亦然。 若A上关系R是传递的，则MR中若rij=rjk=1，则rik=1，而GR中若有弧和则必有弧；反之亦然。上述是正确的，但不易从MR和GR中判定关系R传递性。,2018/10/12,21,此外，还有： 任何集合上的相等关系=是自反的、对称的，反对称的和传递的，但不是反自反的。 整数集合Z中，关系是自反的、反对称的和传递的，但不是反自反的和对称的。关系是反自反的，反对称的和传递的，但不是自反的和对称的。,2018/10/12,22,非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。空集合上的空关系
10、则是自反的，反自反的，对称的，反对称的和传递的。 非空集合上的全域关系是自反的，对称的和传递的，但不是反自反的和反对称的。,2018/10/12,23,下面给出一个定理，以结束本小节。 定理4.1.1 设RAA，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。,2018/10/12,24,4.2 关系运算,前已述及，关系是有序对的集合，因此可以对关系进行运算。若R, SAB，则RS，RS，R，R-SAB。,2018/10/12,25,1复合运算 定义4.2.1 设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系。经过对R和S实行复合（或合成）运算“”，得到了一个新的从A到C的关系，记为RS，也称RS为关系R和S
11、的复合（或合成）关系；或称RS为R和S的复合运算。形式地表为： RS=|(b)(bBaRbbSc),2018/10/12,26,定理4.2.1 设RAA，则RIA=IAR=R 定理4.2.2 若RAB，S,TBC，WCD，则 R(ST)=RSRT R(ST) RSRT (ST)W=SWTW (ST)W SWTW,2018/10/12,27,定理4.2.3 若RAB，SBC，TCD，则 (RS)T=R(ST) 复合运算是可结合的，但不是可交换的。望读者举例说明。,2018/10/12,28,2幂运算 定义4.2.2 设R是集合A上的二元关系，nN，R的n次幂记为Rn，定义为： (1) R0=IA
12、 (2) Rn+1=RnR 定理4.2.4 若RAA，且m, nN，则 (1) RmRn=Rm+n， (2) (Rm)n=Rmn。,2018/10/12,29,定理4.2.5 令RAA，且|A|=n，则存在i和j，使得Ri=Rj，其中0ij2n2。 定理4.2.6 令RAA，若存在i和j，ij，使得Ri=Rj。且d=j-i，则 (1) 对任意k0,Ri+k=Rj+k。 (2) 对任意k,m0，Ri+md+k=Ri+k。 (3) 设S=R0,R1,R2,Rj+1，对nN，有RnS。,2018/10/12,30,3逆运算 定义4.2.3 设R是从A到B的二元关系，由关系R得到一个新的从B到A的关系
13、，记为R-1，称R-1为R的逆运算，亦称R-1为R的逆关系。形式地表为 R-1=|R 或者 xRyy R-1x 由定义可知，-1=，(AB)-1=BA,2018/10/12,31,定理4.2.7 若RAB，SBC，则(RS)-1=S-1R-1 定理4.2.8 令R，SAB，则 (R-1)-1=R D(R-1)=R(R)，R(R-1)=D(R) (RS)-1= R-1S-1 (RS)-1= R-1S-1 (R-S)-1= R-1-S-1 RSR-1S-1,2018/10/12,32,定理4.2.9 若RAA，则R为对称R=R-1。,2018/10/12,33,4闭包运算 关系的闭包运算是关系上的
14、一元运算，是包含该关系且具有某种性质的最小关系。,2018/10/12,34,定义4.2.4 设R是A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是关系R1，则 R1是自反的（对称的、传递的） RR1 对任何自反的（对称的、传递的）关系R2，若RR2，则R1R2。 R的自反、对称和传递闭包分别记为r(R)、s(R)和t(R)。,2018/10/12,35,定理4.2.10 若RAA，则 R是自反的iff r(R)=R R是对称的 iff s(R)=R R是传递的iff t(R)=R,2018/10/12,36,证明 只证明，余下自证。 若R是自反的，则由定义4.2.4可知，R具有对R1所要求的性质
15、，故r(R)=R；反之，若r(R)=R，则由定义4.2.4知，R是自反的。 由闭包的定义可以知道，构造关系R的闭包方法就是向R中加入必要的有序对，使其具有所希望的性质。下面定理体现了这一点。,2018/10/12,37,定理4.2.11 令RAA，则 r(R)=RIA s(R)=RR-1 t(R)=,2018/10/12,38,定理4.2.12 若RAA，|A|=n，则t(R)= 。 定理4.2.13 若RAA，则 rs(R)=sr(R) rt(R)=tr(R) st(R)ts(R),2018/10/12,39,5关系运算的矩阵表示 关系运算是可以用关系矩阵表示的。 设R，SAB，TBC，MR
16、=(aij)mn，MS=(bij)mn，MT=(cij)np，dij表示运算后所得新关系之关系矩阵的元素，则,2018/10/12,40, MRS=MRMS dij=aijbij 1im，1jn MRS=MRMS dij=aijbij 1im，1jn dij=aji 1im，1jn,2018/10/12,41, MR-S=MR dij=aij(bij) 1im，1jn =MRT dij=aij 1im，1jn MRT=MRMT dij= (aikckj) 1im，1jn,2018/10/12,42,4.3 关系类型,关系类型在本书中主要讨论有四种，它们是等价关系，偏序关系，相容关系和次序关系。
17、 1等价关系 定义4.3.1 设R是集合A上二元关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。若R，或aRb，称a等价b，记ab。 由于R是对称的，a等价b即b等价a，反之亦然，a与b彼此等价。,2018/10/12,43,鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般讨论非空集合上的等价关系。 模m等价是Z或其子集上的等价关系，并且是一类重要的等价关系。,2018/10/12,44,定义4.3.2 设m为一正整数而a, bZ。若存在m，使a-b=km，则称a与b是模m等价，记为ab(mod m)。 定理4.3.1 模m等价是任何集合AZ上的等价关系R。,2018/
18、10/12,45,定义4.3.3 设R为非空集合A上的等价关系，对aA，令 aR=x|xAaRx 称aR为a关于R的等价类，简称a的等价类，简记为a。 显然，等价类aR非空，因为aaR。,2018/10/12,46,定理4.3.2 设R是非空集合A上的等价关系，则 a, bA，若aRb，则a=b。 a, bA，若aRb，则ab=。 =A 利用非空集合A及其上等价关系可以构造一个新集合商集。,2018/10/12,47,定义4.3.4 设R是非空集合A上的等价关系，以及 A/R=aR|aA 则称A/R为A对R的商集。 该定义表明了，商集A/R是以R的所有等价类为元素的集合。 与商集有密切联系的概
19、念是集合的划分。下面给出划分的定义。,2018/10/12,48,定义4.3.5 设A是非空集合，若B=A1,A2,An，且Ai，AiAj=，ij， =A，则称B是A的划分。称B中元素为A的划分块。 可见，商集A/R就是A的一个划分，并且不同的商集对应于不同的划分。反之，任给A的一个划分，B=A1,A2,An，如下定义A上的关系R：,2018/10/12,49,R= 或 R=|(Ai)(AiBa, bAi) 则不难证明R是A上的等价关系，且A/R就是划分B。因此，非空集合A上的等价关系与A的划分是一一对应的。,2018/10/12,50,2偏序关系 定义4.3.6 设R是非空集合A上的关系，若
20、R是自反的，反对称和传递的，则称R为A上的偏序关系。称有序对为偏序集。 若R是偏序，常记为，为便于书写，将通常记为，读作“小于或等于”，因为“小于或等于”也是一种偏序，故不会产生混乱。所以，R是偏序，aRb就表成ab。,2018/10/12,51,若R是A上的偏序，则R-1也是A上偏序。若用表示R，则用表示R-1；和都是偏序集，并且互为对偶。 注意，ab是指在偏序关系中的顺序性，是将a排在b的前边或者a即是b。根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释，如包含关系是偏序关系，AB（一般写成AB）是指A包含于B；整除关系是偏序关系，36（通常记为3|6）是指3整除6等等。,2018/10/12,52
21、,定义4.3.7 设R是非空集合A上的偏序关系，定义 a, bA，a中，对a, bA，有 ab(或ba)，a=b，a与b不可比,2018/10/12,53,三种情况发生，例如A=1,2,3，是A上的整除关系，则有 1的哈斯(Hass)图。为了给出其画法，首先定义偏序集中元素的盖住关系。,2018/10/12,54,定义4.3.8 设为偏序集。a,bA，若a的哈斯图时，首先适当排列A中元素的顺序。对于a, bA，若ab，则将a画在b的下方；其次考虑b是否盖住了a，若b盖住a，则用一条线段连接a和b。,2018/10/12,55,定义4.3.9 设为偏序集，BA，bB， 若(x)(xBbx)为真，
22、则称b为B的最小元。 若(x)(xBxb)为真，则称b为B的最大元。 若(x)(bxxb)为真，则称b为B的极小元。 若(x)(bxbx)为真，则称b为B的极大元。,2018/10/12,56,从本定义可知，最小元与极小元是有区别的，最小元是B中最小的元素，它与B中其他元素都可比；而极小元不一定与B中元素都可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集B，极小元一定存在，且可能有多个，但最小元不一定存在，若存在则必唯一。若B中只有一个极小元，则它一定是B的最小元。类似地可讨论极大元与最大元之间区别。,2018/10/12,57,定义4.3.10 设为偏序集，BA，bA， 若(x)(xBb
23、x)为真，则称b为B的下界。 若(x)(xBxb)为真，则称b为B的上界。,2018/10/12,58, 若b是一下界且对每一个B的下界b有bb，则称b为B的最大下界或下确界，记为glb。 若b是一上界且对每一个B的上界b有bb，则称b为B的最小上界或上确界，记为lub。,2018/10/12,59,由本定义可知，B的最小元一定是B的下界，并且也是B的最大下界；但反之不一定正确，B的下界不一定是B的最小元，因为它可能不是B中的元素；类似地，讨论B的最大元与其上界的关系。 B的上界，下界，最小上界，最大下界都可能不存在。若存在，最小上界和最大下界是唯一的。,2018/10/12,60,如果是偏序
24、关系，或ab，或ba，则说a和b是可比的。但偏序集中的元素不一定是都可比的，所以才称“偏序”。下面介绍的都是可比的情况。,2018/10/12,61,定义4.3.11 设为偏序集，若对任意a,bA，a与b都是可比的，即 a,bAabba 则称为A上全序（或线序）关系，这时称为全序集，或线序集，或链。 由本定义可以看出，全序集的哈斯图为一竖立的结点序列，或者说所有结点位于竖线上。,2018/10/12,62,定义4.3.12 设为全序集，若A的任意非空子集都有最小元，则称为A上的良序关系，称为良序集。 可以证明：是良序集。,2018/10/12,63,3相容关系 定义4.3.13 设R是非空集合
25、A上的二元关系，若R是自反的和对称的，则称R为A上的相容关系。 显然，等价关系必定是相容关系，相容关系较之等价关系是更为普遍的二元关系。,2018/10/12,64,与相容关系有密切关系是覆盖的概念，下面给出覆盖的定义。 定义4.3.14 设A为非空集合，且B=A1,A2,Am，若 =A，则称B为A的覆盖。 显然，A的划分是A的覆盖，但A的覆盖未必是个划分。,2018/10/12,65,定义4.3.15 设R是非空集合A上的相容关系，CA，若对C中任意两元素a,b有aRb，称C是由R产生的相容类。 由本定义可知，A中任意元素a，它可以组成R的相容类。于是，可以作成不同的相容类集合，使其覆盖集合
26、A。 对于前两个相容类，都可加入新元素组成新的相容类；而后一相容类，加入任一新元素，就不再组成相容类，称它为最大相容类。,2018/10/12,66,定义4.3.16 设R是非空集合A上的相容关系，C是R产生的相容类，若A-C中的元素没有与C中所有元素都有相容关系，则称C为R的最大相容类，记为CR。,2018/10/12,67,定义4.3.17 设R是非空集合A上的相容关系，其最大相容类集合称为集合A的完全覆盖，记为CR(A)。 显然，对于相容关系R，只能对应唯一的完全覆盖。 利用关系图和关系矩阵都可找出所有最大相容类，这里只介绍利用关系矩阵构成所有最大相容类，其步骤如下：,2018/10/1
27、2,68, 只与自身相容的元素，能够分别单独地构成最大相容类，因此从矩阵中删除这些元素所在行和列。 从由简化的矩阵最右一列开始向左扫描，发现1时，以相应的行号和列号组成一相容类。,2018/10/12,69, 往左继续扫描，发现1时，以相应的行号和列号组成相容类，将它与前面已有的相容类比较，若可合并到已有相容类中去则合并；若与已有的相容类中的部分元素相容，则另列新相容类，然后删除已被包含在任何相容类中的那些相容类，保留未被合并的相容类。 重复步骤直至扫描完所有列。 将求得的最大相容类和孤立元素自身构成的最大相容类合在一起，构成所有最大相容类。,2018/10/12,70,定理4.3.3 给定集
28、合A的覆盖A1,A2,Am，由它确定的关系R= 是相容关系。,2018/10/12,71,定理4.3.4 集合A上相容关系R与其完全覆盖CR(A)存在一一对应。 证明 因为由集合A上相容关系R可产生最大相容类集合，这是唯一的，即该最大相容类集合就是其完全覆盖CR(A)；反之，由定理4.3.3可知，由完全覆盖CR(A)确定的相容关系也是唯一的，综上可知，集合A上相容关系R与其完全覆盖CR(A)是一一对应的。,2018/10/12,72,4准序关系 定义4.3.18 设R是集合A上的二元关系，若R是反自反的和传递的，则称R为A上的准序关系，或拟序关系，通常记为为准序集。 准序关系是反对称的，可有下面定理：,2018/10/12,73,定理4.3.5 若R是非空集合A上的准序关系，则R是反对称的。 准序集与偏序集是密切相关，唯一区别是恒等关系IA。下面定理表明这一点。,2018/10/12,74,定理4.3.6 设R是非空集合A上的关系， 若R是准序关系，r(R)=RIA是偏序关系。 若R是偏序关系，则R-IA是准序关系。,
