1、1,4.群群的基本概念群的性质群中元素的阶循环群置换群子群陪集与拉格郎日(Lagrange)定理,2,4.群定义1.群(group)设(G, *)是含幺半群。若G中每个元素都有逆元，即 g(gG g-1G)，则称(G, *)为群。注：群就是每个元素都有逆元的含幺半群；验证一个代数系统是群，必须验证以下四点：(1)封闭性;(2)结合律;(3)有幺元;(4)有逆元。例1.(I,), (Mnn, ), (Nm, m ), (2X, ), (Px, )是群吗？,3,例2. (I, +)是一个群。这里： I是整数集合，+是整数加法。例3. (Mnn, +)是一个群。这里： Mnn是nn实矩阵的全体，+是
2、矩阵加法。例4. (Nm, +m)是一个群。这里：Nm 0m, 1m, , m-1m , +m定义如下im ,jmNm, im +mjm (i+j)mod mm。例5. (2X, )是一个群。这里： X是一非空集合，2X是X的幂集，是集合的环和运算，即A B=(AB)(BA)。例6. (Px,+)是一个群。这里： Px是实系数多项式的全体，+是多项式的加法。,4,定义2.交换群(Abel群 加群)。设(G,*)是群。若*运算满足交换律，则称(G,*)是交换群。例7.例2，例3，例4，例5，例6是交换群吗？定义3.群的阶(rank)设 (G,*)是群。称G的势(基数)为群(G,*)的阶。注：群的
3、阶反映群的大小；由定义3知有限群的阶就是G中元素的个数 ；无限群的阶是G的势；群的阶统一记为|G| 。定理1.设(G,*)是群，|G|2 。则(1)G中每个元素的逆元是唯一的;(2)G中无零元。,5,证. (1)由于群有结合律，所以由1定理2可知，逆元唯一；(2)采用反证法：若零元0G ，则对任何元素gG ，都有 0 * g=g * 0=0 (1)由于G是群，每个元都有逆元。设0的逆元为g0，则有0 * g0=g0 * 0=e (2) e为群G的幺元。根据(1) ，特别地有0 * g0=g0 * 0=0 (3)由(2),(3)有 e=0因而对群G的任何元g，都有g=g * e=g * 0=0故
4、此|G|=1。因而与定理所给条件|G|2矛盾。,6,定理2. 设(G,*)是群。则 a,bG，有(1)反身律：(a-1)-1 =a ；(2)鞋袜律：(a*b)-1 = b-1*a-1 。 证. (1)aG， (a-1)-1=(a-1)-1*e =(a-1)-1*(a-1 *a) =(a-1)-1*a-1 ) *a (结合律)=e *a=a ；(2)a,bG， (a*b)-1= (a*b)-1 *e =(a*b)-1*(a * b * b-1 * a-1 ) (结合律)=(a*b)-1*(a * b)* (b-1 * a-1 ) (结合律)=e *(b-1 * a-1 ) =b-1*a-1。,7
5、,定理3 设(G,*)是群，则*运算满足消去律。即x,y,zG,x y = x z y = z ；y x = z x y = z 。 证. 只证第一式。x,y,zG,y = e * y= (x-1*x)* y= x-1*(x* y) (结合律)= x-1*(x* z) (条件：x y = x z )= (x-1*x)* z (结合律)= e* z= z,8,例8.(G,o)是一有限群。这里： G=e,a,b,c, o运算的 运算表如右：(1)封闭性：由表1可得；(2)结合律：留待后证；(3)有幺元：e ；(4)有逆元：e-1=e，a-1=a，b-1=b，c-1=c 。此群一般称为Klein 4
6、-群，又称为几何群或运动群。注：Klein 日耳曼民族，几何学家，我国著名几何学家苏步青是他的晚年弟子。,表1,9,定理4.在有限群(G,*)(设|G|=n)的*运算的运算表中，每一行(每一列)都与G中元素的自然顺序构成一个置换(双射)。即每个元素在每行(列)必出现一次且只出现一次。注：因此n阶有限群的运算表是由G中元素的 (n个行或n个列所形成的) n个置换所构成的。这个性质来源于群中每个元素都有逆元。证. 只证关于第i(1i n)行结论成立。 设G=a1(=e), a2, an构造自然眏射 fi :GG 使得对任何的aG， fi(a)=ai * a 为此，只须证明fi是一双射函数即可。 后
7、者唯一：aj, akG， aj=ak ai * aj= ai * ak fi(aj)= fi(ak) ；,10,单射：aj, akG， fi(aj)= fi(ak) ai * aj= ai * ak aj=ak (消去律)；满射：ajG,根据群有逆元及运算封闭性知, ak = ai-1 * aj G ,使得fi(ak)= ai * ak= ai *(ai-1 * aj)= ( ai *ai-1 ) * aj (结合律)= e* aj= aj 。,11,定义4.元素的乘幂设 (G,*)是群。G中元素乘幂的定义在半群定义的基础上，增补如下： xG， x0e ； x-n(x-1)n (nN) 。注：
8、将半群中元素的乘幂（在自然数N范围内进行）扩展到群中元素的乘幂是在整数I范围内进行。同样可以由归纳法证明，当指数为整数时，指数定律在群中成立。即任取 xG ， m,nI，有(1)xm xn = xmn = xn xm ；(2)(xm)n = xm n = (xn)m；证明时，固定整数m ，对正整数n使用归纳法，当n是负整数时，就变成x-1的正整数指数运算。,12,例9.在(I,+)群中，取1I，有100, 1nn ； 1-1-1, 1-n-n ； 1n+1-nn-n0 。例10.设X是由方程x41的4个根组成的集合，即X1,-1,i,-i，其中i 。 设是复数乘法，其运算表如表2 。由表2可知
9、：111,121,131,14 1, ； (-1)1-1, (-1)21, (-1)3 -1, (-1)4 1, (-1)5 -1 , ；(i)1i ,(i)2-1, (i)3-i, (i)41, (i)5i , ；(-i)1-i, (-i)2-1,(-i)3i ,(-i)41 ,(-i)5-i ,。注：本例各元素乘幂的结果中，4次乘幂的结果是1，为群的幺元；而这正好说明它们都是四次方程x41的根；群的元素乘幂回归幺元是群的元素一个比较普遍的现象；它在寻找群的子群，元素的求逆，元素性质的探讨等方面都有着广泛的作用。,表2,13,定义5.元素的阶(rank)设(G,*)是群。 gG， 称 k=m
10、inm:mN0gme 为元素g的阶；若这样的k不存在，则称g的阶为无穷。 注：元素g的阶k是使gme成立的最小正整数；由于元素的自乘幂是一次一次乘的，因此这个无穷只能是可数无穷；由定义5可知，么元是群中唯一的一个一阶元素；群的阶和群中元素的阶这样两个阶的概念，这是两个根本不同的概念。例11.在Klein 4-群(G, o)中，幺元e的阶为1；其它元素a,b,c的阶均为2；在例9的群(I,+) 中，么元0的阶为1；其他元素的阶均为无穷；在例10的群(X,*) 中，幺元1的阶为1；-1的阶为2； i和-i的阶均为4。,14,定理5. 设(G,*)是群。 gG，(1)若g的阶为n，则 g1,g2,
11、,gn(=e) 互不相同；(2)若g的阶为无穷，则g0 (=e) , g1 , g2 , gn , 互不相同。 证.采用反证法。(1)否则，设有gi = gj (1ij n)，于是有gj-i = gj+(-i)= gj *g-i (指数律)= gi *g-i (反证假设： gi = gj )=e即有1j-in ，使gj-i = e。这与g的阶为n ，具有最小性，矛盾。故有g1,g2, ,gn互不相同。例12.在例10的群(X,*) 中,元素i的阶为4, 所以有i1,i2,i3,i4互不相同；-i的阶也为4，所以(-i)1, (-i)2,(-i)3 ,(-i)4也互不相同。,15,定理6. 设(
12、G,*)是群。gG，g与g-1有相同的阶。 证.分两种情况来证：(1)设g的阶有限，为n。从而gn=e。由于(g-1)n = (gn) -1 (指数律)= e-1 (gn=e)= e这说明g-1的阶也是有限的，故可设其阶为m，于是有(g-1)m=e 。从而由阶定义的最小性知m n；其次，又由于gm=( (g-1)m )-1 (指数律)= e-1 (g-1)m =e)= e从而由阶定义的最小性知 nm； 于是(由的反对称性)有n=m，即g和g-1的阶相同。,16,(2)设g的阶无穷，则g-1的阶也必是无穷的。否则， 设g-1的阶是有限的，为m，从而(g-1)m=e 。于是 gm=( (g-1)m
13、 )-1 (指数律)= e-1 (g-1)m =e)= e这说明g的阶也是有限的，故与g的阶为无穷矛盾。因此当g的阶是无穷时， g-1的阶也是无穷的。由(1)和(2)知， g和g-1有相同的阶。例13.在例10的群(X,*) 中,元素i和-i互为逆元，i和-i的阶均为4，相同。,17,定理7. 设(G,*)是群。 gG (1)若g的阶有限，设其为k，从而gk=e 。则(1.1)mN, gme k | m ；(1.2)m,nN, gmgn k | m-n ；(2)若g的阶无限，则 m,nN, gmgn m=n 。证.(1)(1.1)先证)：若gme，则必有k | m 。否则k m ，于是，由带余
14、除法，可设 m=kq+r (0 r k)，故可得 r=m-kq，从而grgm-kq gm+(-kq)gm * (gk)-q (指数律)e * (e)-q (gme, gk=e )e * ee 故与g的阶为k，具有最小性，矛盾。,18,次证):若k | m，则m=kq。于是 gm gkq(gk)q (指数律)eq (gk=e )=e(1.2)gmgn gm * g-n gn * g-n gm+(-n)gn+(-n) (指数律)gm-ne (g0=e) k | m-n (根据(1.1),19,(2)若g的阶无限，则gmgngm * g-n gn * g-n gm+(-n)gn+(-n) (指数律)
15、 gm-ne (g0=e) m-n=0 (g的阶无限，只有g0=e) m=n例14.在例10的群(X,*) 中,元素-1的阶是2,所以(-1)21, (-1)4 1, (-1)6 1 , , (-1)2n 1, ；元素i的阶是4,所以(i)41,(i)81, (i)121, , (i)4n1, ；元素-i的阶是4,所以(-i)41, (-i)8 1,(-i)121, , (-i)4n1 ,。,20,定理8.有限群中每个元素的阶都是有限的。设(G,*)是有限群，|G|n，则G中每个元素的阶n。 证.对任一元素gG ，设其阶为m，则由定理5知g1,g2, ,gm这m个元素互不相同；由群的封闭性知它
16、们同时都在G中；因此有m n。所以群G中每个元素的阶 n 。例15.在例8的Klein 4-群(G, o)中，么元e的阶为1，其他元素a,b,c的阶均为2，均小于群的阶4 ；在例10的群(X,*) 中,么元1的阶为1，-1的阶为2， i和-i的阶均为4，均小于等于群的阶4 。定义6.循环群(cyclic group)设(G,*)是群。若存在着元素 g0G，使得(gG)(nI)(g=g0n),21,则称(G, *)为循环群；同时称 g0 是该循环群的生成元(generating element)。并且将(G, *)记作(g0)。例16.群(I,+)是循环群在群(I,+)中取 1I，由于010,n
17、=1n,-n=(-1)n=(1-1) n =1-n，故I中的每个元素都可表示成1的整数次幂。由循环群的定义知(I,+)是循环群，1是该循环群的生成元。例17.群(Nm,+m)是循环群在群(Nm,+m ) 中，取1m Nm，由于0m=(1m)0, im= (1m)i,故 Nm中的每个元素都可表示成1m 的整数次幂。由循环群的定义知(Nm,+m )是循环群, 1m是该循环群的生成元。,22,定理9. 设(G,*)是循环群， |G|n 。那么 (1)g0是生成元 g0-1是生成元 ；(2)g0是生成元 g0的阶是n 。证. (1) g0是生成元 (gG)(kI)(g=g0k) (gG)(kI)(g=
18、(g0-1)-k ) (指数律) (gG)(mI)(g=(g0-1)m) (这里：m=-k) g0-1是生成元；,23,(2) 由于|G|n ，(G,*)是有限群，由定理8可知g0G的阶有限，不妨设其为m，并且mn 。先证)： 若g0的阶是n，则构造集合 S=e, g0 ,g02, g0n-1根据定理5可知|S|n，并且由群的封闭性知SG ，因此由 |G|n 可知有 S= G 。从而，g0是生成元。,24,次证)：构造集合 S=e, g0 ,g02, g0m-1根据定理5可知|S|m，并且由群的封闭性知SG 。又对任何gG，由于g0是生成元，故存在着整数k，使得g=g0k 。而g0的阶是m，则
19、有g0m = e；根据带余除法，有 k=qm+r (0rm) 从而 g=g0k=g0qm+r=(g0m )q *g0r (指数律)=eq *g0r (因： g0m = e)=e*g0r (因：eq = e)=g0rS (因：0rm)故 GS；从而 S= G ,于是 m= |S|G|n 即g0的阶是n 。,25,定理10. 设(G,*)是循环群， g0是生成元。(1)若g0的阶为m，则(G,*)与(Nm, +m) 同构；(2)若g0的阶为无穷，则(G,* )与 (I,+)同构。证. (1)由条件及定理9知G=e, g0 ,g02, g0m-1Nm=0m, 1m , 2m, , m-1m定义自然映
20、射 h:G Nm ， h(g0k )= km 。由双射函数的定义知h是双射函数。由于 h(g0i *g0j)= h(g0(i+j)mod m)= (i+j)mod mm= im+mjm= h(g0i )+m h(g0j) 故h满足同态公式。由同构的定义知h是从(G,*)到(Nm, +m)的同构函数，即(G,*)和(Nm, +m)同构。,26,(2)由于g0的阶为无穷，故根据定理5的(2)有e(= g00), g0 ,g02, g0n , 互不相同。根据定理6 ，g0和g0-1有相同的阶，故与上同理可得g0-1,g0-2, g0-n , 互不相同。另外与中任何一对元素g0i和g0-j互不相同。否
21、则有i0,j0(故有i+j 0),使得g0i = g0-j ，于是g0i+j =g0i*g0j=g0-j*g0j=e 这说明g0的阶有限，与g0的阶为无穷矛盾。于是有 G=,g0-n ,g0-2,g0-1,e, g0 ,g02, g0n , 定义自然映射 h:G I， h(g0k )= k 。,27,由于kI有原象g0kG ，使h(g0k )= k 。故h是满射的。由于若h(g0i)= h(g0j), 即i=j，则有g0i = g0j ，即h是单射的。于是，由双射函数的定义可知h是双射函数。 由于有 h(g0i *g0j)= h(g0i+j) = i+j = h(g0i )+ h(g0j) 故
22、满足同态公式。 由同构的定义知h是从(G,*)到(I,+)的同构函数，即(G,*)和(I,+)同构。定理11. 循环群一定是交换群。 证.仿3定理2可证。,28,定义7.置换群(permutation group)设所有n次置换构成的集合为Sn ，ASn ,A,是置换的合成运算。若(A, )构成群，则称(A, )为一(n次)置换群。例18.设在三维空间有一矩形方框如图1所示。四个顶点分别标记为1,2,3,4。 用这些标记来表示矩形方框的运动。 令 e:不动 (在平面内绕原点旋转360)a:绕横轴旋转180 (上下翻转)b: 绕纵轴旋转180 (左右翻转),29,c:在平面内绕原点旋转180 这
23、样就将方框的运动用置换的方式表示出来了。令A=e,a,b,c， 为置换的合成运算。下面用置换的合成来定义旋转的复合运动。a b意味着先旋转a再旋转b。于是得到A上的置换合成表如下：例如a b= =c,表3,30,由表3知，这正是 在前面例8所讲的Klein 4-群。 由于置换的合成运算就是关系的合成运算o，故运算满足结合律。这正好回答了前面例8所遗留的问题。由于Klein 4-群(A, )是由几何形刚体在空间的运动所产生的，这正是 把它称为几何群、运动群的原因。另外由表3明显得知，这个置换群还是一个交换群。 注：在例18中可以看到刚体在空间的运动可以由4次置换来描述；但并不是任何4次置换都表示
24、刚体在空间中的运动。如在例18中，置换就不代表任何刚体运动。由于4个元素的置换应有4!= 24个，而在例18中只取了其中的4个置换，没有取完，所以AS4 。,31,定理12.n个元素的非空集合X上的所有n次置换构成的集合Sn，在置换的合成运算下构成一置换群(Sn,)。 称为n次对称群(group of symmetry),简记为Sn 。 证.(1)封闭性：因为任意两个n次置换Pi , Pj的合成PiPj仍为一个n次置换，且结果唯一， 即Pi,Pj , PiSnPjSn PiPjSn ；(2)结合律：置换的合成运算满足结合律；(3)有幺元；关于运算的幺元是n次恒等置换I，即ISn , PSn ,
25、 IP=PI =P(4)有逆元；由于任一n次置换P的逆置换P-1仍是一n次置换，即P-1Sn ，故Sn中任一元素P都有逆元P-1，即PSn , P-1Sn , PP-1=P-1 P =I 。,32,例19. 此例讨论一个由所有置换构成的群。为了简单起见，取X=1,2,3，3个元素的置换有3！=6个。S3 =1, 2,3, 4, 5, 6=e, , 2 , , , 2用轮换的形式写出来是1= =(1)=e= 3 = 2 2= =(12)= 3= =(13)= 2 4= =(23)= 5= =(123)= ,33,6= =(132)= 2其运算表如下：由表4知(1) 是S3上的二元运算,具有封闭性
26、；,表4,34,(2) 置换的合成运算满足结合律； (3) e是关于运算的幺元； (4) e, , 2, 的逆元是其本身； , 2互为逆元。 由群的定义可知(S3,)是群，因而是置换群。 称其为三次六阶对称群。由表4易知其不是交换群，因而它是最小的非交换群。 (S3,)实际上可看作是由两个较小的置换群(H1,)和(H2,)的乘积得到的，这里： H1 =e, ， H2 =e, , 2 。这就引出了子群及Lagrange定理，还有群的构造等问题。,35,定理13.(Cayley定理)任何n阶有限群(G,*)都与一n次置换群同构。 证.设|G|n，G=a1(=e),a2,an。则令A=P1,P2,P
27、n，其中：显然P1,P2,Pn是*运算的运算表中n个列置换，由本节定理4知，它们是n个互不相同的n次置换，即|A|n 。 是置换的合成运算，则：(一)(A,)是一n次置换群(1)封闭性：对任何Pi , PjA，对应着ai,ajG，由群(G,*)的封闭性知，存在着akG，使 ai*aj = ak 。而ak对应着列置换PkA 。于是对任何xG，都有,36,(PiPj)(x)= Pj(Pi(x)=(x*ai)*aj=x*(ai*aj)=x*ak=Pk(x) 所以 PiPj=PkA。故合成运算关于置换集合A封闭；(2)结合律：置换的合成运算满足结合律；(3)有幺元； P1A是关于运算的幺元；因为，对任
28、何PiA ,都有 对任何xG，都有(P1Pi)(x)=Pi(P1(x)=(x*a1)*ai=x*(a1*ai)=x*(e*ai)=x*ai=Pi(x)(PiP1)(x)=P1(Pi(x)=(x*ai)*a1=x*(ai*a1)=x*(ai*e)=x*ai=Pi(x) 所以 P1Pi=Pi = PiP1 故P1A是关于运算的幺元；(4)有逆元；对任何PiA，对应着aiG，由群(G,*)有逆元知，存在着ajG，使 ai-1 = aj 。而aj对应着列置换,37,PjA 。于是对任何xG，都有(PiPj)(x)=Pj(Pi(x)=(x*ai)*aj=x*(ai*aj)=x*e=x*a1=P1(x)(
29、PjPi)(x)=Pi(Pj(x)=(x*aj)*ai=x*(aj*ai)=x*e=x*a1=P1(x) 所以 PiPj=P1 = PjPi 故Pi-1 = Pj A是Pi关于运算的逆元；由群的定义知(A,)是群。因此(A,)是n次置换群。(二)群(G,*)与n次置换群(A,)同构定义自然映射 h:GA对任何aiG，h(ai)= Pi(1)h是双射函数：由定义显然；(2)h满足同态公式：对任何ai,ajG，由群(G,*)的封闭性知，存在着akG，,38,使 ai*aj = ak 。于是 对任何xG，都有h(ai*aj)(x)=h(ak)(x)= Pk(x)=x*ak=x*(ai*aj)= (x
30、*ai)*aj=Pj(Pi(x)=(PiPj)(x)=(h(ai)h(aj)(x) 所以 h(ai*aj)=h(ai)h(aj) ；因此(G,*)与(A,)同构。,39,定义8.子群(subgroup)若群(G,*)的子代数系统(S,*)也是群，则称(S,*)是(G,*)的子群。注：验证子群，除了验证子代数系统的(1)SG ；(2)S ；(3)*运算关于S封闭； 还应该验证(4)有幺元(并与群G 中的幺元重合)；(5)有逆元(并与群G 中的同一元的逆元重合) ； 而结合律则不须验证，因为根据本章1定理3可知，遗传。群(S,*)是群(G,*)的子群， 简记为SG ；,40,定理14.设(G,*)
31、是群， SG 且S 。那么(S,*)是(G,*)的子群(1)封闭性：ab(aSbSa*bS)(2)有逆元：a(aSa-1S) 证.先证)：由于(S,*)是(G,*)的子群，故(S,*)是群。因而(1)有封闭性：ab(aSbSa*bS) 这就证明了条件(*) (1) ；(2)有幺元：暂设其为es ；(3)有逆元：即对任何aS ，都存在着bS ，使b*aa*b=es ；,41,下面 来证两点：(a) es =e，即子群(S,*)的幺元es与大群(G,*)的幺元e重合；从而说明eS。(b) b= a-1，即任一元素aS在子群(S,*)中的逆元b与其在大群(G,*)中的逆元a-1重合；从而说明a-1S
32、，这就证明了条件(*) (2) 。首先，由于es, eG，因此有es*e = es (因e是群(G,*)的幺元)es*es = es (因es是群(S,*)的幺元) 故有 es*es = es*e 于是由群(G,*) 的消去律可得es =e ；其次 b=b *e,42,=b*(a*a-1)=(b*a)*a-1 (结合律)=e*a-1 (b是a在子群(S,*)中的逆元且es =e )=a-1 次证)：只需验证(S,*)是群即可(1)封闭性：条件(*) (1)保证；(2)结合律：遗传；(3)有幺元：由于S，故必至少有某一元素a0S，于是由条件(*) (2)有a0-1S，从而由条件(*) (1)有e
33、=a0*a0-1S ；(4)有逆元：条件(*) (2)保证；故(S,*)是群；所以(S,*)是(G,*)的子群。,43,定理15.设(G,*)是群， SG 且S 。那么(S,*)是(G,*)的子群(混合)封闭性：ab(aSbSa*b-1S) (*) 证. 证明：定理15条件(*)定理14条件(*)先证)：(1)有逆元：由于S，故必至少有某一元素a0S，于是重复有a0S，从而由条件(*) 有e=a0*a0-1S因此，对任何aS，由于eS已证，故由条件(*) 有 a-1 = e*a-1S这样，定理14条件(*)(2)得证；(2)封闭性：对任何a,bS，由已证(1)有逆元有b-1S,44,从而由条件
34、(*) 有a*b=a*(b-1)-1S故定理14条件(*)(1)得证。次证)：对任何a,bS，根据定理14条件(*)(2)有逆元有b-1S,在根据定理14条件(*)(1)封闭性有a*b-1S故条件(*) (混合)封闭性得证。定理16.设(G,*)是有限群， |G|n， SG且S 。那么 (S,*)是(G,*)的子群封闭性：ab(aSbSa*bS) (*) 证.先证)：由于(S,*)是(G,*)的子群，故(S,*)是群。因而具有封闭性：ab(aSbSa*bS)这就证明了条件(*) 。,45,次证)：只需验证(S,*)是群即可(1)封闭性：条件(*) 保证；(2)结合律：遗传；(3)有幺元：由于S
35、，故必至少有某一元素a0S，由SG知a0G ；由|G|n，根据定理8知a0的阶有限，设其为k，kn，则有a0k = e，于是由已证之封闭性有e=a0kS ；(4)有逆元：对任何aS，由SG知aG ；由|G|n，根据定理8知a的阶有限，设其为m，mn，则有am = e ；于是由已证之封闭性有am-1S ，从而有a*am-1am = e am-1*aam = e ；所以 a-1 = am-1S ； 故(S,*)是群；所以(S,*)是(G,*)的子群。,46,例20.平凡子群。设 (G,*)是群，则 (e,*) 和 (G,*) 是 (G,*)的两个子群。由于每个群都有这样的子群，且这两个子群对问题的
36、研究价值不大。故称这两个子群是 (G,*) 的平凡子群。例21.循环群的子群是循环群。即若(G,*)是循环群且(S,*)是(G,*)的子群，则(S,*)是循环群。 证.由子群的定义知(S,*)是群。下证(S,*)是循环群。设g0是(G,*)的生成元，于是由SG 知S中的每个元素都可表示成g0n ， nI。设m是S诸元素中方次最小的正方幂。下证g0m是S的生成元。,47,任取xS，则有kI 使x=g0k 。根据带余除法，有k=qm+r (0rm) 于是有 g0r =g0k-qm=g0k *(g0m )-q (指数律) 由于g0k=xS，并且由g0m S 可知，(g0m )-q S，故由 群(S,
37、*) 的封闭性可得g0r S 。而m是S中诸元素的最小正方幂，故有r=0。即有x= g0k = g0qm = (g0m)q 即g0m是(S,*)的生成元。于是由循环群的定义知(S,*)是循环群。例22. 设(G,*)是群。令S = c:cG(gG)(c*g=g*c) 则(S,*)是(G,*)的子群。称此子群(S,*)是群(G,*)的中心。,48,证. (1)SG ：由S的定义显然；(2)S：有幺元eG，使得(gG)(e*g=g*e)，故有 eS；(3)(混合)封闭性：ab(aSbSa*b-1S)对于任何的a,bS ，则有a,bG ，且对任何gG ，a*g=g*a ，b*g=g*b对后一等式左右
38、两边，前后同乘b-1G ， 得到g*b-1 = b-1*g 即 b-1*g =g*b-1 因此有a*b-1G，使得 对任何gG (a*b-1) *g = a*(b-1*g) (结合律) = a*(g*b-1) (b-1*g =g*b-1) = (a*g)*b-1 (结合律) = (g*a)*b-1 (a*g=g*a)= g*(a*b-1) (结合律),49,因此 a*b-1S ；所以，根据定理15可知，(S,*)是(G,*)的子群。,50,陪集和Lagrange定理定义9.陪集(coset)设(G,*)是群，(H,*)是(G,*)的子群。对于任何元素aG，(1)由a所确定的H在G中的左陪集(l
39、eft coset)定义为aH=a*h:hH(2)由a所确定的H在G中的右陪集(right coset)定义为Ha=h*a:hH 称元素a是左陪集aH及右陪集Ha的代表元素，简称代表 元。,51,例23.已知(S3,)是三次六阶置换群。其中S3 =(1),(12),(13),(23),(123),(132) (H1,)是(S3,)的子群。其中 H1=(1),(12)=e,则 H1的左陪集：(1)H1 ,(12)H1；(13)H1 ,(132)H1 ；(23)H1 ,(123)H1 ； H1的右陪集： H1(1) , H1(12)；H1(13), H1(123)；H1(23) , H1(132)
40、注：eH，因为(H,)是子群；a=a*eaH， a=e*aHa，代表元在它所代表的陪集之中；一般地，aHHa，例如，在上例中 (123)H1 =(23),(123)(13),(123)= H1(123)如果(aG)(aH=Ha)，则称(H,*)是(G,*)的正规子群或不变子群，记为H G。,52,定理17.设(H,*)是群(G,*)的子群。令(1)Sl=aH: aG(2)Sr=Ha: aG 则Sl ，Sr均是G的划分。 证.只证Sl构成G上的划分。为证Sl是G的划分，根据划分的定义，应证明如下两点：(a) =G ； (b)(aG)(bG)(aH=bH aH bH=) ；,53,先证(a) =G
41、 ；对于任何aHSl ，都有aG ，HG ，从而由群(G,*)的封闭性得到aHG ，故此，由并是包含关系的上确界可得 G ；又对于任何的aG ，有 aaH ，故有G ；所以，由包含关系的反对称性， 得到=G ；,54,次证(b)(aG)(bG)(aH=bH aH bH=) ；对任何a,bG，若aH bH=，则问题已证；否则若aH bH，则必至少有一元素x0aH bH ，从而 x0aH bH x0aH x0bH x0 =a*h1 x0 =b*h2 (这里h1, h2H) a*h1=b*h2 a=b*h2*h1-1 b= a*h1*h21 (*)下面 来证：aH=bH 。为此，要分证： aH bH
42、 ； bH aH ；只证 ；同理可证 ；,55,对任何元素y ，yaH y =a*h (这里hH) y =b*h2*h1-1 *h (由(*) ：a=b*h2*h1-1 ) y =b *h (由H的封闭性 ： h=h2*h1-1 *hH) ybH所以 aHbH ；所以，由包含关系的反对称性， 得到aH=bH 。所以，左陪集全体Sl是G的一个划分。,56,定理18.设(H,*)是群(G,*)的子群。则有(1) (aG)(|aH|H|)；(2) (aG)(|Ha|H|)； 证.只证(1) 建立自然映射 f : HaH 使得对任何hH ， f(h)=a*h 于是后者唯一：由*运算的结果唯一性可得；满
43、射：对任何 yaH，有x = hH，使得y =a*h，于是，有 f(x)= f(h)=a*h = y ；单射： f(h1)= f(h2) a*h1 = a*h2 h1= h2 (群有消去律 ) 。,57,定理19.群(G,*)的子群(H,*)的不同左陪集的个数等于它的不同右陪集的个数。即|Sl|Sr| 。 证.建立映射 f : Sr Sl 使得对任何 HaSr ， f(Ha)=a-1H于是(1)后者唯一：对任何Ha,HbSr ，若Ha=Hb ，须证：f(Ha)= f(Hb)，即要证： a-1H = b-1H ；为此，要分证： a-1H b-1H ； b-1H a-1H ；只证 ；同理可证 ；,
44、58,对任何元素y ， y a-1H y =a-1*h1 (这里h1H) y -1= (a-1*h1)-1 = h1-1 *a (鞋袜律，反身律) y -1Ha (因为群有逆元故h1-1H ) y -1Hb (条件Ha=Hb ) y -1= h2 *b (这里h2H) y = (y -1) -1 (反身律)= (h2 *b) 1= b1 *h21 (鞋袜律) yb-1H (因为群有逆元故h2-1H )所以 a-1H b-1H ；所以，由包含关系的反对称性， 得到a-1H = b-1H 。,59,(2)满射：对任何 aHSl ，有Ha-1Sr ，使得f(Ha-1)= (a -1)-1H = aH ；(3)单射：对任何Ha,HbSr ，若f(Ha)= f(Hb) ，即a-1H = b-1H ，须证： Ha=Hb ；为此，要分证： HaHb ； HbHa ；只证 ；同理可证 ；对任何元素y ， yHa y =h1*a (这里h1H) y -1= (h1*a)-1 = a-1*h1-1 (鞋袜律),
