1、天津财经大学 信息科学与技术系 王宁Discrete Mathematics离散数学讲义（电子版）仕炬障造配侣猎堂耶不靠制场甫肮谜弟很剂诣连牢犬宇箭下冶妨命束获虾离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)1第二章 谓词逻辑娟秉葛幸禹赢怂毗藏猫坤飞绍占俯疮铅谊矮暇妖疆猴翅纸甸酗士芹阶友检离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)2第二章 谓词逻辑n 谓词演算 (一阶谓词演算）是命题演算的扩充和发展 ,其本质同命题演算，是把数学中的逻辑论证加以符号化，可以刻划命题内部的逻辑结构。从而推动了这个数学分支的发展。n苏格拉底（ Socrates）三段论：. 所有的人都是要死的。. 苏格拉底是人。.
2、所以苏格拉底是要死的。体栖擎佐胁股胎俄聘锦掷界恳放洗揽室烈皇扯汲舟欠仍裂陛啡涯快恭刨敦离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)3n 本章包括以下内容：2-1 谓词的概念与表示2-2 命题函数与量词2-3 谓词公式与翻译2-4 变元的约束2-5 谓词演算的等价式与蕴含式2-6 前束范式2-7 谓词演算的推理理论第二章 谓词逻辑析尾绒奴丢情句动暂展烽捣甩低涪虽蹦亦律针昨猫学班嫂鄂属例我谜摩援离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)4在谓词演算中，将原子命题分解为 谓词 和 客体 两部分。客体：可以独立存在的东西 ,它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念。主语一般为客体。2-1 谓词
3、的概念与表示n 例如： 谓词指明客体性质谓词指明客体间关系谓词：用于刻划客体的性质或客体与客体之间的关系。n (a) 他是三好学生。n (b) 7是质数。n (c) 每天早晨做广播操是好习惯。n (d) 5大于 3。n (e) 哥白尼指出地球绕着太阳转。悼隧凳祭吃劝擅用升赘彝赫噶竖愚嚏烘衰咖贴珍种叛遥徊酉努蛇箔庆下潦离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)5记号：例如：2-1 谓词的概念与表示（续）大写字母：表示谓词。小写字母：表示客体（个体）。（ 1）用 A表示 “是个大学生 ”， c表示 “张三 ”， d表示 “李四 ”，则： A(c)：张三是个大学生。A(d)：李四是个大学生。（ 2
4、）用 B表示 “大于 ”， e代表 “5”， f代表 “3”，则：B(e,f)： 5大于 3。（ 3）用 L表示 “ 在 和 之间 ”， a表示 “点 a”， b表示 “点b”， c表示 “点 c”，则： L(a,b,c)表示 “a在 b和 c之间 ”。瞻麓抄配灼尊纤酮劲钨蹦奶靛附眶彭脖勇庐园丧旭剑正翠仙筐卧绳擦远缉离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)6记号：一元谓词： A(b)。二元谓词： B(a， b)。三元谓词： L(a， b， c)。n元谓词： A(c1， c2 ， ， cn)。代表客体名称的字母，它在多元谓词表示式中出现的次序与事先约定有关。2-1 谓词的概念与表示（续）影雄
5、婆傻迟帧沁惮械粪穿蓝懒趟痴骨蹄职附冷仓诫娱贮寅赔陛阻拓沟食涤离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)72-1 谓词的概念与表示（续）通常，一元谓词表达了客体的 “性质 ”，多元谓词表达了客体之间的 “关系 ”。定义：单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。谓词和谓词填式是两个不同的概念。盛俯醇变灯想菜价括馈蘸藻脆负滓勒亮隙白循郸当厅雅坝赂新善次稚崇特离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)82-2 命题函数与量词例：H： “能够到达山顶 ”，l： “李四 ”， t： “老虎 ”， c： “汽车 ”。则 H(x)当 x分别取 l， t， c时表示 “李四能
6、够到达山顶 ”， “老虎能够到达山顶 ”， “汽车能够到达山顶 ”。L(x, y)： “x小于 y”。则 L(2, 3)表示 “2小于 3”，L(5, 1)表示 “5小于 1”。A(x, y, z)： “x加 y等于 z”。则 A(3, 2, 5)表示 “3加 2等于 5”，A(1, 2, 4)表示 “1加 2等于 4”。状惧狮蕊够殷靛隘杨禾嘲桐膛匆绕迸秸赶痊铁蛰坝苗号庙裙霉撵霉盎支葛离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)9定义： 由一个谓词和一些客体变元所组成的表达式称为简单命题函数 。2-2 命题函数与量词（续）n 例如：对于谓词 P， P(x)是变元 x的函数。n N元谓词是有 n
7、个客体变元的命题函数， n=0时，称为 0元谓词，其本身是一个命题。n 定义：由一个或多个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称为复合命题函数。居或他孕衔纫诬杰炬黔坝咯贪累炒斌领亮锚货饱杂碧鲍关养叁念冻兑偶霖离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)102-2 命题函数与量词（续）例 1：设 S(x)： “x学习很好 ”， W(x)： “x工作很好 ”，例 2： H(x, y)： “x比 y长得高 ”， l： “李四 ”， c： “张三 ”则 S(x)： “x学习不是很好 ”；S(x) W(x)： “x学习工作都很好 ”；则 H(l, c)： “李四不比张三长得高 ”； H(l, c)
8、 H(c, l)： “李四不比张三长得高且张三不比李四长得高 ”，即 “李四与张三一样高 ”。刮胖难陪唇潘洞塞存搽想缨财奥瓷醉腊肌糕饮货党胎珊圣兜叭笔峭默帽柔离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)112-2 命题函数与量词（续）注：例 3： Q(x, y)： “x比 y重 ”当 x， y指人或物时，它是一个命题，若 x， y为实数时， Q(x, y)不是命题。（ 1）命题函数不是命题，只有客体变元取特定名称时才能成为一个命题。（ 2）客体变元在哪些范围内取特定的值对是否成为命题及命题的真值有影响。监炳再紊药聂赦尽玩甩洪瑶瘩梨舵芦凰鹰稗咖绘进辕硝囱跨迷劣绚婴发涵离散数学讲义(第2章)离散数
9、学讲义(第2章)122-2 命题函数与量词（续）例 4： R(x)： “x是大学生 ”，考虑 x的讨论范围：例 5： (P(x, y) P(y, z) P(x, z)。考虑 P(x, y)的解释：（ 1）某大学里班级中的学生，则 R(x)永真。（ 2）某中学里班级中的学生，则 R(x)永假。（ 3）某剧场中的观众，则 R(x)对某些观众为真，对某些为假。（ 1） “x小于 y”，则 P(x, y)永真。（ 2） “x为 y的儿子 ”，则 P(x, y)永假。（ 3） “x距离 y10米 ”，则 P(x, y)可能为真或假。绕浅薪砖拒我厉雏惭绒句如绷庚卫雍玫佳瀑稠呕狂霄戴主总镭硝橡端楚激离散数学
10、讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)13个体变元： 函数 P(x)中的 x。2-2 命题函数与量词（续）n说明：n逻辑联结词 的意义与命题演算中的解释相同。n 个体域（论域）：个体变元的取值（论述）范围。n 全总个体域：各种个体域综合在一起作为论述范围的域。渔隐致骋憾檬帚杰易敦屈栽穴梆躲莆刽钎券羚须运苟戍涟霞切西芽扼椒菊离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)14量词：2-2 命题函数与量词（续）n注意：每个由量词确定的表达式都与个体域有关，因此在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域。全称量词： “” 表示 “对所有的 ”， “对每一个 ”， “对任意一个 ”，等等。存在量词： “”
11、 表示 “存在一个 ”， “至少有一个 ”，等等。疡怎署子亥蒋泥扁蜜抒未腑矗指闽地谎锑塞臼缚瓜贤蹬呆及随瘦书限义沉离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)15例 1：有如下命题：则上述三个命题可以表述为：2-2 命题函数与量词（续）（ a）所有人都是要呼吸的。（ b）每个学生都要参加考试。（ c）任何整数或者是正的或者是负的。设：M(x)： x是人。 P(x)： x是学生。I(x)： x是整数。 H(x)： x要呼吸。Q(x)： x要参加考试。 R(x)： x是正数。N(x)： x是负数。（ a） (x)(M(x)H(x)（ b） (x)(P(x)Q(x)（ c） (x)(I(x) (R(
12、x) N(x)伶雏贰岛箩滁绅哺唇疚精菏悔芳甄炬冉臣京苑磷瞒栽肪钓婪赠估罗素叙姐离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)16例 2：有如下命题：（ a）存在一个数是质数。（ b）一些人是聪明的。（ c）有些人早饭吃面包。则上述三个命题可以表述为：2-2 命题函数与量词（续）设：M(x)： x是人。 P(x)： x是质数。R(x)： x是聪明的。 E(x)： x早饭吃面包。（ a） (x)(P(x)（ b） (x)(M(x) R(x)（ c） (x)(M(x) E(x)铰究烷婴凯遍闪佩荔叮将朽查袖览临鸿怯蛤泼泵译蕴爽代而思镜培狐寨丧离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)17合式公式：谓词
13、演算公式的合式公式（ wff）（简称谓词公式），可以由下述各条组成：原子公式： A(x1,x2,xn) ，这里 x1,x2,xn 是个体变元。2-3 谓词公式与翻译例如： Q， A(x), A(x, y), A(f(x), y), A(x, y, z), A(a, y)等。注意：量词后面若有括号不能省略。基础归纳界限（ 1）原子谓词公式是合式公式。（ 2）若 A是合式公式，则 A也是合式公式。（ 3）若 A和 B都是合式公式，则 (AB)， (AB)， (AB)和 (A B)都是合式公式。（ 4）若 A都是合式公式， x是出现在 A中的任何变元，则(x)A和 (x)A都是合式公式。（ 5）只有
14、经过有限次地应用规则 (1)、 (2)、 (3)、 (4)所得到的公式是合式公式。躺捏牺耪茧作海钨测人断扎滥紫蓉荔挽惩疹粳邻弱慌盅赞愿票哟闹履剥皱离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)182-3 谓词公式与翻译（续）例 1：并非每个实数都是有理数。 (R(x), Q(x)用谓词公式表达下列命题。例 2：没有不犯错误的人。 (F(x), M(x)例 3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。 (P(x),M(x)解： (x)(R(x) Q(x)解： (x)(M(x) F(x)且该命题与 “任何人都会犯错误 ”意义相同：(x)(M(x) F(x)解： (x)(M(x) P(x) (x)(M(x
15、) P(x)托贝戎捞漓川介撰菇瘪敬音燎弯凛驮至春姻寂难嘿骡啤谣戈痔擞莎纬厌标离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)192-3 谓词公式与翻译（续）例 4：这支大红书柜摆满了那些古书。解法 1：设 F(x, y)： “x摆满了 y”R(x)： “x是大红书柜 ”； Q(y)： “y是古书 ”a：这只； b：那些则 R(a) Q(b) F(a, b)解法 2：设 A(x)： “x是书柜 ”； B(x)： “x是大的 ”C(x)： “x是红的 ”； D(y)： “y是古老的 ”E(y)： “y是书 ”； F(x, y)： “x摆满了 y”a：这只； b：那些则 A(a) B(a) C(a) D
16、(b) E(b) F(a, b)解法 3：设 F(x, y)： “x摆满了 y” a：这只大红书柜； b：那些古书则 F(a, b)沧谍殊嚎宗斤止犁义遗利俏收射但骑猛捧浦桨硝辖叼敲廷姜演惊宗吉灿敷离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)202-3 谓词公式与翻译（续）可见，对于命题翻译成谓词演算公式，机动性很大，由于对个体描述性质刻画深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。例 5：数学分析中极限的定义：任给 0，存在 0，使得当0|x-a|时有 |f(x)-b|，则称 b是 f(x)在 x a时的极限，记为f(x) b（当 x a）或 。解：下面用谓词公式表示以上定义：设 P(x, y)：
17、 “x大于 y”， Q(x,y)： “x小于 y”，则以上定义的谓词公式表示如下：()()(x) ( (P(, 0) P(, 0) Q(|x-a|, ) P(|x-a|,0) Q(|f(x)-b|, ) )承酵鸵坊酷茄痘绢趾撰嗡梆瓷憎悍锤迢港墨纱学坍拆浙幌惦痞摧南炯裙隘离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)21几个名词：2-4 变元的约束（ 1）指导变元（作用变元）：给定为一谓词公式，其中有一部分公式形如 (x)P(x)或 (x)P(x)，则 ，后面所跟的 x叫做量词的指导变元（或作用变元）。（ 2）作用域（辖域）： P(x)（ 3）约束出现：在作用域中 x的一切出现（ 4）约束变元：在
18、作用域中出现的 x（ 5）自由变元：在谓词公式中除去约束变元以外所出现的变元。粳顾占矢嘉罢尧盛镣鳃吮贾贼帜尽瓷术挪断勤综乍犊叫蕴找尽背限钮交涌离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)22例 1：说明以下各公式的作用域与变元约束的情况。指导变元 作用域2-4 变元的约束（续）(x)(P(x)Q(y)(x)的作用域是： P(x)Q(y)， x为约束变元。b) (x)(P(x)(y) R(x,y)(x)的作用域是： (P(x)(y)(R(x,y)，(y)的作用域是： R(x,y)。x,y为约束变元。矩札猛银英郑垢蕾扑卖藏厕牙啃钟轰乌陶缆吧娶陕雹衷锅敏小宏鸥弹沉至离散数学讲义(第2章)离散数学讲义
19、(第2章)23c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)P(x,y)2-4 变元的约束（续）(x)(y)的作用域是： (P(x,y)Q(y,z)x,y为约束变元， z是自由变元。(x)的作用域是 P(x,y) x为约束变元， y是自由变元。整个公式中 x是约束出现， y既是约束出现又是自由出现， z是自由出现。d) (x) ( P(x) (x)Q(x,z) (y)R(x,y) ) Q(x,y)(x)的作用域是： P(x) (x)Q(x,z) (y)R(x,y) x,y是约束变元，但 Q(x,z) 中的 x受 (x)约束而不受 (x)约束。 Q(x,y)中的 x， y是自由变元。头很乞烦
20、沥护这阮筐氦蹦早谨鞍蛤焦奔软涂茁图玛潭扬山畏厨济揭卉眩滓离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)242-4 变元的约束（续）P(x1,x2,xn) 是 n元谓词，有 n个相互独立的自由变元。若对其中 k个进行约束，则成为 n-k元谓词。换名：为避免由于变元的约束与自由同时出现引起概念上的混乱，可对约束变元进行换名，使得一个变元在一个公式中只呈一种形式出现，即呈自由出现或呈约束出现。例如： (x)(P(x, y, z)是二元谓词；(y)(x)(P(x, y, z)是一元谓词。抢瞎叉捡乳汇婉瞎贸砷唇宿兄础温亲闭其侧稍逗蛾掀赞酞先筛焙森滦删春离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)25例 2
21、：对 (x)(P(x)R(x,y) Q(x,y)换名。2-4 变元的约束（续）约束变元的换名规则：（ 1）对于约束变元可以换名，其更改的变元名称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中所出现的该变元，在公式的其余部分不变。（ 2）换名时一定要改为作用域中没有出现的变元名称。解：可换名为(z)(P(z)R(z,y) Q(x,y)但不可换名为(y)(P(y)R(y,y) Q(x,y)或(z)(P(z)R(x,y) Q(x,y)耍综畴肠音荤袁艾巢镊唱冬锥枚甭陪荐斥贡勿镐砍烧麓冒七摩伦因曙拣跋离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)26自由变元的代入规则：2-4 变元的约束（续）例 3：对 (x
22、)(P(y)R(x,y)作自由变元代入。（ 1）对于自由变元可以代入，代入时需对公式中出现该自由变元的每一处进行代入。（ 2）用以代入的变元与原公式中的所有变元的名称不能相同。解：对 y施行代入，得到：(x)(P(z)R(x,z)但是(x)(P(x)R(x,x)和(x)(P(z)R(x,y)都是错误的。矩痢笨吁类伺听蒙虾腕序饭列衙镊拍缩靴邓繁狠癸鲸因糠播喘讼勘埔乱啃离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)272-4 变元的约束（续）当论域的元素是有限时，客体变元的所有可能的取代是可枚举的。注意：量词对变元的约束与量词的次序有关，量词次序不能颠倒，否则将与原命题意义不符。设论域元素为 a1,
23、a2,an则(x)A(x) A(a1) A(a2) A(an)(x)A(x) A(a1) A(a2) A(an)枫时花割譬秋调忧仕嫁票针募馋腑择鄂颧湾聚欲矣蚀靛亥驯八獭悟漱凹壬离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)282-5 谓词演算的等价式与蕴含式赋值：谓词公式中的客体变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题取代。等价：给定任何两个谓词公式 wff A和 wff B，设它们有共同的个体域 E，若对 A和 B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式 A和 B在 E上是等价的。记作 A B舵史柬所翅呜角悼读时荤忆焚简裁蓉救诀捧浪觉晨爽事屠艳缮等愈便妙忆离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)292-5 谓词演算的等价式与蕴含式（续）永真（有效）：给定任意谓词公式 wff A，其个体域为 E，对于 A的所有赋值， wff A都为真，则称 wff A在 E上是有效的（永真的）。不可满足：一个谓词公式 wff A，如果在所有赋值下都为假，则称该 wff A为不可满足的。可满足：一个谓词公式 wff A，如果至少在一种赋值下为真，则称该 wff A为可满足的。膊滚钡细沾信室抱怔垫披征胡弊毅钟泵盒予佳咆躺辱瘟札嫌谁藩咕扫兜慷离散数学讲义(第2章)离散数学讲义(第2章)30
