1、1,2.2 命题逻辑等值演算,2.2.1 等值式与等值演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2.2 联结词完备集 真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词,2,等值式,定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式说明: (1) 是元语言符号, 不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有 无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不
2、在B中出现的命题变项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.,3,真值表法,例2.11 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解,结论: (pq) (pq),4,真值表法(续),例2.12 判断下述3个公式之间的等值关系:p(qr), (pq)r, (pq)r 解,p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值,5,基本等值式,双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB(AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)
3、A,6,基本等值式(续),零律 A11, A00 同一律 A0A, A1A 排中律 AA1 矛盾律 AA0 蕴涵等值式 ABAB 等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位 ABBA 等价否定等值式 ABAB 归谬论 (AB)(AB) A,7,等值演算,等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 若AB, 则(B)(A) 例2.13 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式） (pq)r （结合律） (pq)r （德摩根律） (pq) r （蕴涵等值式）,8,实例,等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值
4、使一个成真, 另一个成假.例2.14 证明: p(qr) (pq) r 方法一 真值表法（见例2.12） 方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.,9,实例,例 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 该式为矛盾式.,10,实例(续),(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 该式为重言式.,11,实例(续),(3)
5、(pq)(pq)r 解 (pq)(pq)r (p(qq)r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的 成假赋值.,总结:A为矛盾式当且仅当A0; A为重言式当且仅当A1 说明:演算步骤不唯一,应尽量使演算短些。,12,真值函数,定义2.12 称F:0,1n0,1为n元真值函数,n元真值函数共有 个 每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式,13,2元真值函数,14,联结词完备集,定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结
6、词完备集定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1=, , , , (2) S2=, , , (3) S3=, , (4) S4=, (5) S5=, (6) S6=, ,AB (AB)(BA),AB AB,AB (AB) (AB),AB (AB),AB (A)B AB,15,复合联结词,与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词pq为真当且仅当p,q不同时为真 pq为真当且仅当p,q同时为假定理2.2 ,是联结词完备集 证 p (pp) pppq (pq) (pq) (pq)(pq) 得证是联结词完备集. 对于可类似证明.,16,2.3 范式
7、,2.3.1 析取范式与合取范式 简单析取式与简单合取式 析取范式与合取范式 2.3.2 主析取范式与主合取范式 极小项与极大项 主析取范式与主合取范式 主范式的用途,17,简单析取式与简单合取式,文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定,18,析取范式与合取范式,析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1A2A
8、r, 其中A1,A2,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式 范式:析取范式与合取范式的统称 定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当 它的每一个简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式,19,范式存在定理,定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, ABABAB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A(AB)AB(AB)AB,20,范式存在定理(续),(3) 使用分配律A(BC)(
9、AB)(AC) 求合取范式 A(BC) (AB)(AC) 求析取范式例2.16 求(pq)r 的析取范式与合取范式 解 (pq)r (pq)r (pq)r 析取范式 (pr)(qr) 合取范式 注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.,21,极小项与极大项,定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式) 中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次， 而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项 (极大项)说明:(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值 (3)
10、用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋 值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.,22,极小项与极大项(续),定理2.6 设mi 与Mi是由同一组命题变项形成的极小项和极 大项, 则 mi Mi , Mi mi,23,主析取范式与主合取范式,主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和 主合取
11、范式, 并且是惟一的.,24,求主析取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的析取范式A=B1 B2 Bs, 其中Bj是简单合取 式 j=1,2, ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极小 项为止 (3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大排列,25,求主合取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的合取范式A=B1B2 Bs, 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, ,s (2) 若
12、某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大 项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列,26,实例,例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式 解 (1) (pq)r (pq)r pq (pq)1 同一律 (pq)(rr) 排中律 (pqr)(pqr) 分配律 m4m5r (pp)(qq)r 同一律, 排中律 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m0 m2 m4 m6 分配律 得 (pq)r m0 m2 m4 m5
13、m6 可记作 (0,2,4,5,6),27,实例(续),(2) (pq)r (pr)(qr)pr p0r 同一律 p(qq)r 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M1M3qr (pp)qr 同一律, 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M3M7 得 (pq)r M1M3M7 可记作 (1,3,7),28,快速求法,设公式含有n个命题变项, 则 长度为k的简单合取式可展开成2n-k个极小项的析取 例如 公式含p,q,rq (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m2 m3 m6 m7长度为k的简单析取式可展开成2n-k个极大项的合取 例如 pr (pqr)(pqr) M1M3,29,实例
14、,例2 (1) 求 A (pq)(pqr)r的主析取范式 解 用快速求法 (1) pq (pqr)(pqr) m2 m3pqr m1r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1 m3 m5 m7 得 A m1 m2 m3 m5 m7 (1,2,3,5,7),30,实例(续),(2) 求 B p(pqr)的主合取范式 解 p (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) M4M5M6M7pqr M1 得 B M1M4M5M6M7 (1,4,5,6,7),31,主析取范式的用途,(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它
15、们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值 例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111,32,主析取范式的用途(续),(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项,33,实例,例3 用主析取范式判断公式的类型: (1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r 解 (1) A ( pq)q ( pq)
16、q 0 矛盾式 (2) B p(pq) 1 m0m1m2m3 重言式 (3) C (pq)r (pq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m0m1m3 m5m7 非重言式的可满足式,34,主析取范式的用途(续),(3) 判断两个公式是否等值例4 用主析取范式判断下面2组公式是否等值: (1) p与(pq)(pq) 解 p p(qq) (pq)(pq) m2m3(pq)(pq) (pq)(pq) (pq)(pq) m2m3 故 p (pq)(pq),35,实例(续),(2) (pq)r 与 p(qr) 解 (pq)r (pqr)(pqr) (pqr)(pqr)(pq
17、r)(pqr) m1m3m5 m6m7p(qr) (pq)(p r) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m5 m6m7 故 (pq)r p(qr),36,实例,例2.21 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值A=(pr)(qr)(pq)(pq),37,实例(续),求A的主析取范式A=(pr)(qr)(pq)(p
18、q) (pr)(qr)(pq)(pq) (pq)(pr)(rq)(rr)(pq)(pq) (pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq)(pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq) (pqr)(pqr) 成真赋值:101,010 结论: 方案1 派A与C去, 方案2 派B去,38,主合取范式,由主析取范式求主合取范式 设,没有出现的极小项是,其中t=2n-s,于是,39,主合取范式(续),例 求A=(pqr)(pqr)(pqr)的主合取范式 解 A m1m3m7 M0M2M4M5M6矛盾式的主合取范式含全部2n个极大项 重言式的主合取范式不含任何极大项, 记作1,40,古代一位国王和他的
19、张、王、李、赵、钱五位将军一同出外打猎，各人的箭上都刻有自己的姓氏。打猎中，一只鹿中箭倒下，但不知是何人所射。 张说:或者是我射中的，或者是李将军射中的。王说:不是钱将军射中的。李说:如果不是赵将军射中的，那么一定是王将军射中的赵说: 既不是我射中的，也不是王将军射中的。钱说: 既不是李将军射中的，也不是张将军射中的。 国王让人把射中鹿的箭拿来，看了看，说：“你们五位将军的猜测，只有两个人的话是真的。”请根据国王的话，判定谁射中此鹿。 p:张将军射中此鹿。 q:王将军射中此鹿。r:李将军射中此鹿。 s:赵将军射中此鹿。 t:钱将军射中此鹿。,41,2.4 命题逻辑推理理论,2.4.1 推理的形
20、式结构 推理的前提与结论,正确推理 推理定律 2.4.2 自然推理系统P 推理规则 直接证明法, 附加前提证明法, 归谬法(反证法), 归结证明法,42,有效推理,定义2.20 若对于每组赋值, A1A2 Ak 为假, 或者 当A1A2Ak为真时, B也为真, 则称由前提A1,A2, Ak 推B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论定理2.8 由前提A1, A2, , Ak 推出B 的推理正确当且仅当A1A2AkB 为重言式.,43,推理的形式结构,形式(1) A1A2AkB 形式(2) 前提: A1, A2, , Ak结论: B 推理正确记作 A1A2AkB判断推理是否正确的方法: 真值
21、表法 等值演算法 主析取范式法 构造证明法,44,实例,例 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法(pq)pq (pq)p)q (pq)p)q pqq 1 得证推理正确,45,实例(续),(2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设p: 今天是1号, q: 明天是5号. 推理的形式结构为 (pq)qp 证明 用主析取范式法(pq)qp (pq)qp (pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(p
22、q) m0m2m3 01是成假赋值, 所以推理不正确.,46,推理定律重言蕴涵式,A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难,47,自然推理系统P,自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r, pi,qi,ri, (2) 联结词: , , , , (3) 括
23、号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则,48,自然推理系统P(续),49,自然推理系统P(续),50,直接证明法,例2.24 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, ps, s 结论: r(pq) 证明 ps 前提引入 s 前提引入 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论 qr 前提引入 r 假言推理 r(pq) 合取 推理正确, r(pq)是有效结论,51,实例,例 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期四, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不
24、是星期一和星期四. 解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期四，r:我有课， s:我备课 前提: (pq)r, rs, s 结论: pq,52,实例(续),前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三,53,附加前提证明法,欲证明 等价地证明 前提: A1, A2, , Ak 前提: A1, A2, , Ak, C 结论: CB 结论: B,理由: (A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B,54,
25、实例,例 构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, rs 结论: ps 证明 p 附加前提引入 pq 前提引入 q 析取三段论 qr 前提引入 r 析取三段论 rs 前提引入 s 假言推理 推理正确, ps是有效结论,55,归谬法(反证法),欲证明 前提：A1, A2, , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.,理由: A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2AkB)为重言式,56,实例,例 构造下面推理的证明 前提: (pq)r, rs, s, p 结论: q, (pq) 析取三段论 pq 置换 p 析取三段论
26、 p 前提引入 pp 合取 推理正确, q是有效结论,证明 用归缪法 q 结论否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入,57,归结证明法,理由 (pq)(pr)(qr) (pq)(pr)(qr) (pq)(pr)qr (pq)q)(pr)r) (pq)(pr) 1,58,归结证明法(续),在自然推理系统P中只需下述推理规则: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则 (5) 合取引入规则 (6) 归结规则,59,归结证明法的基本步骤,1. 将每一个前提化成等值的合取范式, 设所有合取范式的 全部简单析取式为A1, A2, A
27、t 2. 将结论化成等值的合取范式B1B2Bs, 其中每个Bj 是简单析取式 3. 以A1,A2,At为前提, 使用归结规则推出每一个Bj, 1js 4. 由合取引入规则得到结论B1B2Bs,60,实例,例 用归结证明法构造下面推理的证明: 前提: (pq)r, rs, s 结论: (pq)(ps) 解 (pq)r (pq)r (pq)r (pr)(qr)rs rs(pq)(ps) (pq)(ps) (pq)(ps) p(qs) 推理可表成 前提: pr, qr, rs, s 结论: p(qs),61,实例(续),前提: pr, qr, rs, s 结论: p(qs) 证明 qr 前提引入 rs 前提引入 qs 归结 s 前提引入 s0 置换 r0 归结 pr 前提引入 p0 归结 p 置换 p(qs) 合取引入,
