1、第六章习题答案2. 设 P = , , ，Q = , , 找出 PQ, PQ, dom(P), dom(Q), ran(P)及 ran(Q)，并证明：dom(P Q) = dom(P) dom(Q)ran(P Q) ran(P) ran(Q)解 P Q =, , , , ，P Q =dom(P)=1, 2, 3，dom(Q)= 1, 2, 4，ran(P) = 2, 3, 4，ran( Q) = 2, 3, 4。x dom(PQ)y ( P Q)y ( P Q)y ( P) y ( Q) x dom(P) x dom(Q) x dom(P) dom(Q)y ran(P Q)x ( PQ)x (
2、 P Q)x ( P) x ( Q) y ran(P) y ran(Q) y ran(P) ran(Q)如上例，ran(P Q) = 4 2, 3, 4 = ran(P) ran(Q)3. 若关系 R 和 S 自反的，对称的和传递的，证明：RS 也是自反的，对称的和传递的。证明 设 R 和 S 是集合 A 上的关系。因为 R 和 S 是自反的，所以，对于 A 中的任意元素 x，有R 和S。因此RS，即 RS 是自反的。因为 R 和 S 是对称的，所以对于任意， RS R S R S RS因此，R S 是对称的。因为 R 和 S 是传递的，所以对于任意和，RS RS R S R S (R R)
3、( S S) R S RS因此，R S 是传递的。5设 A = 1, 2, 3，A 上的关系 R1, R2, R3, R4, R5 分别由图 6.17 给出，试问：R 1, R2, R3, R4, R5 各有哪些性质？解R1：自反、对称、反对称、传递。R2：对称。R3：反自反、反对称。R4：反自反、对称、反对称、传递。R5：自反、传递。8. 设 R1 和 R2 是集合 X = 0, 1, 2, 3上的关系，而R1 = | j = i + 1 或 j = i /2，R 2 = | i = j + 2求复合关系：(1) R1 R2 (2) R2 R1 (3) R1 R2 R1 (4) 21R并给出
4、各复合关系的关系矩阵。解 R1 = , , , , R2 = , R1 R2 = , R2 R1 = , , R1 R2 R1 =, , = , , , , , 01021 RRMM01011221 RR 0012112 RRMM13. 求 R2 的自反、对称、传递闭包的关系图。R 2 及其自反、对称、传递闭包的关系图从左至右排列如下。14. 令 R1, R2 是集合 A 上的二元关系，并设 R1 R2，试证明下列关系式。(3) t (R1) t (R2)证明 R1 R2 t (R2)，t(R 2)是包含 R1 的传递关系，由传递闭包定义知道， t(R1)是包含R1 的最小传递关系，所以，t
5、(R1) t(R2)。15. 设 R1, R2 是 A 上的二元关系，试证明(3) t (R1 R2) t (R1) t (R2)并用反例说明 t (R1R2) = t (R1) t (R2) 不一定成立。证明 因为 R1 R1 R2 ，所以 t(R1) t(R1R2)。因为 R2 R1R2 ，所以 t(R2) t(R1R2)。因此，t (R 1) t (R2) t (R1R2)。令 A =1, 2，R 1 =，R 2 =。因为 R1 是传递的，故 t (R1) = R1。因为 R2 是传递的，故 t(R2)= R2。因此，t (R 1) t (R2) = R1 R2 =, ，而 t (R1R
6、2) = , , , 。18. 对于下列集合上的整除关系，画出哈斯图。(1) A = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24(2) B = 1, 2, 3, 12121326482448 1263712510 911(1) 2, 3, 4没有最大元、最小元，极大元为 3 和 4，极小元为 2 和 3，上界为 12 和 24，上确界为 12，下界为 1，下确界为 1。(2) 2, 3, 4没有最大元、最小元，极大元为 3 和 4，极小元为 2 和 3，上界为 12，上确界为 12，下界为 1，下确界为 1。20. 图 6.21 上给出了集合 A = 1, 2, 3, 4上的四个偏序关系
7、，试画出它们的哈斯图。并判别哪一个是全序或良序关系。(a) 去掉关系图中的自环，没有进入顶点 4 的有向边，将 4 画在最下面，去掉从 4 发出的有向边，没有进入顶点 1 的有向边，将 1 画在第二层，去掉从 1 发出的有向边，剩下两个孤立点 2 和 3，将 2 和 3 画在最上面。连接 4 和 1，1 和 2，1 和 3，得到哈斯图。444111122333323. 令 T 是笛卡尔平面 RR 上的关系，T 的定义如下：T 当且仅当 x1 x2 y1 y2请据此判断下面哪个断言是真哪个是假，如果断言是假，说明理由。(1) T 是偏序的。 (2) T 是线序的。 (3) T 是良序的。答 T 是偏序，不是线序，更不是良序。 和 不可比。422
