1、第二章 一阶逻辑,第一节 一阶逻辑基本概念,内容：,个体词，谓词，量词，命题符号化。,重点：,1、掌握个体词，谓词，量词的有关概念，,2、掌握在一阶逻辑中的命题符号化。,一、一阶逻辑(谓词逻辑)研究的内容,例如：判断以下推理是否正确：,凡人都是要死的，,苏格拉底是人，,所以苏格拉底是要死的。,二、个体词，谓词，量词。,1、个体词，谓词 。,例如：王宏是程序员。,是无理数。,小李比小赵高2厘米。,个体域(或称论域)个体变项取值的范围。,个体词,个体常项 用,个体变项 用,表示,表示,个体域可以为有限事物的集合 例如：1，2，3，4a,b,c计算机，2，狮子个体域也可以为无限事物的集合 例如：自然
2、数集合、实数集合等注意：无特殊声明时，将宇宙间的一切事物组成个体域，称为全总个体域.,个体变项x具有性质F，记作F(x)，个体变项x, y具有关系L,记作L(x, y).下文中常称这种个体变项和谓词的联合体F(x), L(x,y)为谓词。在谓词中所包含的个体词数称为元数.,：小王，,：小明，,：小王比小明高。,一元谓词是表示个体词的性质，n元谓词表示个体词之间的关系.,一元谓词,个体常项,个体常项,：李华,：小明,分别表示李华，小明是大学生，,它们是0元谓词。,0元谓词：不带个体变项的谓词-命题.一般说来，谓词 不是命题，它的真值无法确定，必须指定某一谓词常项代替P，同时还用n个个体常项代替n
3、个个体变项。,命题符号化： （1）所有的人都要死的。 （2）有的人活百岁以上。,2、量词表示数量的词。,对应于“一切”“所有的”“任意的”.,对应于“存在着”“有一个”“至少有一个”等.,x表示对个体域里的所有个体. xF(x)表示个体域里的所有个体都有性质F. x表示存在个体域里的个体。 xF(x)表示存在着个体域中的个体具有性质F.,一、个体域D为人类集合（1）符号化为： xF(x),其中F(x)：x是要死的.（2）符号化为： xG(x),其中G(x)：x活百岁以上.,二、个体域D为全总个体域 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 （2）存在着个体，它是人并且活百岁以上。,特性
4、谓词：M(x)：x是人。,使用量词时，应注意以下6点：,2、量词表示数量的词。,使用量词时，应注意以下6点：,一阶逻辑中的命题公式就转化为命题逻辑中的命题公式,2、量词表示数量的词。,全称量词,使用量词时，应注意以下6点：,对于任意的x，存在着y，使得x+y=5。 个体域为实数集，命题符号化为其中，H(x，y): x+y=5，是真命题。 量词的顺序颠倒，存在着y，对任意的x，都有x+y=5，命题符号化为：是假命题。,三、命题符号化。,例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。,(1) 所有的有理数均可表成分数。,解：,因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。,三、命题符号化。,例2.2 在一阶逻
5、辑中将下面命题符号化。,(2) 有的有理数是整数。,解：,例2.4 在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(1) 凡偶数均能被2整除。,(2) 存在着偶素数。,例2.4 在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(3) 没有不吃饭的人。,原命题即：“所有的人都吃饭”。,又可符号化为：,P54,2.3在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(4) 在北京工作的人未必是北京人。,(5) 尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。,例2.15 在一阶逻辑中将下列命题符号化。,第一句为：,或,例2.15 在一阶逻辑中将下列命题符号化。,第二句为：,或,练习： 每个男生都比某些女生高。 某些女生比所有的男生矮。,作业： 2、3,第二
6、节 一阶逻辑合式公式及解释,内容：,重点：,(1) 掌握合式公式的概念，,一般：,(1) 换名规则，代替规则，,(2) 解释的概念，,(3) 代换实例。,了解：,(1) 闭式的概念，,(2) 判断合式公式的类型。,一、一阶逻辑中的合式公式。,1、字母表。,(1) 个体常项：,(2) 个体变项：,(3) 函数符号：,(4) 谓词符号：,一、一阶逻辑中的合式公式。,1、定义2.1 字母表。,(5) 量词符号：,(6) 联结词符：,(7) 括号和逗号：( ，)， ， 。,2、定义2.2 项的递归定义。,(1) 个体常项和变项是项。,(3) 只有有限次地使用(1)、(2)生成的符号串才是项。,例如：,
7、等都是项。,3、定义2.3 原子公式。,4、定义2.4 合式公式的递归定义。,(1) 原子公式是合式公式；,4、定义2.4 合式公式的递归定义。,5、定义2.5 约束出现，自由出现。,在辖域中,x的所有出现称为约束出现. A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现.,(1),(2),(3),换名规则指导变项，约束变项换名,例如：,换成,代替规则自由变项代替,例如：,换成,二、合式公式的解释。,二、合式公式的解释。,1) 个体域为自然数集合,(1),真值为0,真值为1,(2),1) 个体域为自然数集合,真值为1,(3),1) 个体域为自然数集合,真值为0,(4),真值为不确定(不是命题),(5
8、),有一些公式，可以利用命题公式的结论。,例如：,(1),由以上，原公式是逻辑有效的。,(2),所以原公式是逻辑有效的。,所以原公式是逻辑有效的。,(3),(4),所以原公式是矛盾式。,第三节 一阶逻辑等值式,内容：,一阶逻辑等值式，前束范式。,重点：,一般：,使用基本等值式进行等值演算。,了解：,前束范式的定义和求法。,一、一阶逻辑等值式。,1、量词否定等值式。(定理2.1),(1),(2),2、量词辖域收缩与扩张等值式。(定理2.2),(1),(2),(4),(3),1、量词否定等值式。,(1),(2),2、量词辖域收缩与扩张等值式。,(5),(6),(8),(7),3、量词分配等值式。(
9、定理2.3),(1),(2),例1、,3、量词分配等值式。,(1),(2),例1、,注意：,4、多个量词间的次序排列等值式。(定理2.4),(1),(2),二、前束范式。(定义2.11P47),前束范式：形式,例如：,4、多个量词间的次序排列等值式。,(1),(2),二、前束范式。,前束范式：形式,例如：,例2.11、求下列公式的前束范式。,(1),解：,量词否定等值式,例2.11、求下列公式的前束范式。,(2),解：,量词否定等值式,换名规则,量词辖域的扩张,第四节 一阶逻辑推理理论,一、一阶逻辑推理的概念。,1、概念。,2、量词分配定律。,(1),(2),(3),(4),二、推理规则。,1
10、、全称量词消去规则,二、推理规则。,2、全称量词引入规则,二、推理规则。,3、存在量词引入规则,二、推理规则。,4、存在量词消去规则,：苏格拉底。,例1、证明：苏格拉底三段论：,前提：,结论：,证明：,前提引入,前提引入,假言推理,例2、构造下面定理的证明：,前提：,结论：,证明：,前提引入,置换,置换,例2、构造下面定理的证明：,前提：,结论：,证明：,前提引入,假言三段论,第二章 小结与例题,一、一阶逻辑的基本概念。,1、基本概念。,2、应用。,在一阶逻辑中将命题符号化。,二、一阶逻辑合式公式及解释。,1、基本概念。,2、应用。,(1) 求某些公式在给定解释下的真值。,(2) 判断某些简单
11、公式的类型。,三、一阶逻辑等值式。,基本概念。,等值式，常用等值式；前束范式。,四、一阶逻辑推理理论。,三、一阶逻辑等值式。,基本概念。,等值式，常用等值式；前束范式。,四、一阶逻辑推理理论。,2、应用。,用构造法证明某些简单的推理。,例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(1) 每一个有理数都是实数。,(2) 并非每一个实数都是有理数。,例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(3) 会叫的狗未必会咬人。,例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。,(4) 任何金属均可溶解于某种液体中。(P56.2.3),真值0。,真值0。,真值0。,真值1。,(1),(2),(1),解,（2),解,（3),解,例5、构造下面推理的证明,证明：,
