1、第 2 章 复习与思考题 1、什么是 拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质 答： 形如 0 1() n ini iiikxxlx xx的基函数称为 n 节点的拉格朗日插值基函数。 主要性质有 1）, 0,() 1,n k k iklx ik2） ( ) 1nlx2、什么是牛顿基函数？它与 单 项式基 21, x, x ,., x n 有何不同 答 ： 牛顿差值基函数为 0 0 1 0 1 1 , ( x x ) , ( x x ) ( x x ) , . . . , ( x x ) ( x x ) . . . ( x x ) n 牛顿差值基函数中带有常数项 01, ,. nx x
2、 x ，这有 单 项式基不同。 3、什么是函数的 n 阶均差？它有何重要性质 答： 形如 0 1 n 2 n 0 1 n 2 n - 10 1 n 1 , , . . . , , , , . . . , , , , . . . nnf x x x x f x x x xf x x x xx称为 ()fx的 k 阶均差 具有以下的基本性质 1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性 （拉格朗日插值函数的应用） K 阶均差可以表示为函数值 0()fx ， 1()fx ， n()fx 的线性组合，即 k j0 1 k j0 j 0 j j - 1 j j + 1 j() , , . . . -
3、kfxf x x x x x x x x x x x（ ） . . . ( ) ( ) . . . ( )2） 由性质 1 和 k 阶均差的性质 0 1 0 1 k - 1010 , , . . . , , , . . . , , , . . . kkkf x x x f x x xf x x x xx（分子前项多 xk） 3）若 (x)f 在 a,b上存在 n 阶导数，且节点 0 1 n 2 n, , ., , a , b x x x x，则 n 阶均差与导数的关系为 101 () , , . !nn ff x x x n4、写出 n+1 个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异
4、同 答： n+1 个点的拉格朗日插值多项式 00 0( ) ( )nnn in k k kkk i ikikxxL x y l x y xx， (j 1,2,n) n+1 个点的牛顿插值多项式 01 , ,., kka f x x x, (k 1,2,n) 两者的主要差异是 未知数不一致 。 拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。 牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。 与一般多项式基本相同 。 5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组 Ax y ，其中系数矩阵 A 与使用的基函数有关。 y 包含的是要满足函数值 01( , ,. )Tny y y ，用下列基底作多项式插值时，试描述
5、矩阵 A 中非零元素的分布 。 1）单项式基底 2）拉格朗日基底 3）牛顿基底 答： 1） 单项式基底为 21, x, x ,., x n ，已知数为 0 1 2 , , ,., nx x x x 则未知数为 0 1 2 , , ,., na a a a，则系数矩阵为 120 0 0121 1 1122 2 2121 .1 .1 . . . . .1 .nnnnn n nx x xx x xA x x xx x x，无非零元素 。 2） 拉格朗日基底为 01 ( ), ( ), ., ( )nl x l x l x，已知数为 0 1 2 , , ,., ny y y y 未知数为 01 ( )
6、, ( ), ., ( )nl x l x l x，则系数矩阵为 未找到相关资料。 3 ） 牛 顿 基 底 为 0 0 1 0 1 1 , ( x x ) , ( x x ) ( x x ) , . . . , ( x x ) ( x x ) . . . ( x x ) n，已知数为0 1 2 , , ,., nx x x x，未知数为 0 1 2 , , ,., na a a a，则系数矩阵为 102 0 2 0 2 110 0 101 0 0 . 01 0 . 01 ( ) ( ) . 0. . . . .1 ( ) ( ) . ( )nn n n n jjxxx x x x x xAx
7、x x x x x x x，为下三角矩阵，矩阵的上三角元素为 0。 6、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至高给出排序 答：按照计算工作量，排序如下 ： 牛顿插值 、拉格朗日插值、 多项式插值 7、 给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差 答： 拉格朗日插值多项式余项 11()( ) ( ) ( ) ( )( n 1 ) !nn n nfR f f x L x x，进行误差估计时，对 1()nf 进行适当缩放即可。 牛顿插值多项式余项 0 1 1( ) ( ) ( ) , , . . . , ( )n n n nR f f x P x f x
8、x x x，可以直接求出 。 8、 埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值公式 ？ 答 : 埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数值相等，甚至高阶导数值相等。 泰勒公式 2000 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( )2 ! !n nn f x f xP x f x f x x x x x x xn 就是牛顿插值公式具有 n 重根 0()xx时的特殊形式， 即 0()xx的极限形式。 也是 n 阶导数 值相等 的埃尔米特插值公式。 9、 为什么高次多项式插值不能令人满意？
9、分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优点 ？ 答： 根据龙格（ Ronge） 发现的现象，发现高次多项式插值 ()nLx近似 ()fx的效果并不好。产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。 10、三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。 答：三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数连续。 三次样条插值要求给出各节点的函数值和区间的边界值，具有二阶导数连续。 从上可以看出，三次样条插值更优越，对节点的要求较低，具有二阶导数连续（插值函数更光滑）。 11、判断下列命题是否正确？ （ 1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。 （ 2）如果给定
10、点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。 （ 3） li (x) (i= 0, 1, , n )是关于节点 xi ( i =0, 1, , n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于 n 的多项式 P (x)都有0 ( ) ( ) ( )niii l x P x P x。 （ 4）当 f (x)为连续函数，节点 xi (i= 0, 1, , n )为等距节点，构造拉格朗日插 值多项式Ln (x)，则 n 越大 Ln(x)越接近 f (x). （ 5）同上题，若构造三次样条插值函数 Sn (x)，则 n 越大得到的三次样条函数 Sn (x)越接近 f (x). （ 6）高次拉格朗
11、日插值是很常用的。 （ 7）函数 f (x)的牛顿插值多项式 Pn (x)，如果 f (x)的各阶导数均存在，则当 xi x0 (i= 1, 2, , n ) 时， Pn (x)就是 f (x)在 x0 点的泰勒多项式。 答： 1） 错，因为插值函数唯一 2） 对 3） 对，因为余项等于 0 4） 错，典型的例子是龙格现象 5） 对 ， n 越大，说明步长 0h ，此时 S（ X）， S(X)和 S（ X） 均一致收敛于 f（ X）， f(X)和 f（ X） 。 6） 错。典型的例子是龙格现象 7） 对。 习题 1、 当 1, 1,2x 时， ( ) 0, 3,4fx ，求 )(xf 的二次插
12、值多项式。 1）用单项式基底 2）用拉格朗日插值基底 3）用牛顿插值基底 解： 1）用单项式基底，设 22 1 0a x a x a y，则范德蒙系数矩阵 1200121112221 1 1 11 1 1 11 1 2 4xxA x xxx行列式化简有 1 1 1 0 1 1 1 0| y 1 1 1 3 0 2 0 31 2 4 4 0 1 3 41 1 1 0 1 1 1 00 1 3 4 0 1 3 40 2 0 3 0 0 6 5A解得0127/31.55/6aaa所以 25 1.5 7 / 36 x x y 2）使用拉格朗日插值计算 0 2 0 1120 1 20 1 0 2 1 0
13、 1 2 2 0 2 122( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 1 )0 ( 3 ) 4( 1 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )( 1 ) ( 2) 4( 1 ) ( 1 )0233 2 4(2nx x x x x x x xx x x xL x y y yx x x x x x x x x x x xx x x x x xx x x xx x x22221)33 9 6 8 ( 1 )665 3 76 2 3571.563x x xxxx x
14、y3）使用牛顿插值计算 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( )P x f x f x x x x f x x x x x x x 均差表 kx ()kfx 一阶均差 二阶均差 1 0 01 , f x x =3/2 0 1 2 , , f x x x =5/6 -1 -3 12 , f x x =7/3 2 4 所以2225( ) 0 1 .5 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )65= 1 .5 ( 1 ) ( 1 )6571 .563P x x x xxxxx从三种插值方法得出的插值函数一致，得证。 2、给出 ( ) lnf x x 的数值表
15、用线性插值及二次插值计算 54.0ln 的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 xln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 解： 由于 未限制插值函数的类型，可以使用单项式插值、拉格朗日插值和牛顿插值。 计算方法同题 1. 本题 线性插值 选用 拉格朗日插值 方法 。 选择接近 0.54 值的两个插值节点 x0=0.5 和 x1=0.6,则 y0=0.693147,y1=0.510826 01010 1 1 0()()()( ) ( )( 0 . 6 ) ( 0 . 5 )( 0 . 6 9 3 1 4 7 ) (
16、 0 . 5 1 0 8 2 6 )0 . 1 0 . 11 . 8 2 3 2 1 - 1 . 6 0 4 7 5 2nxxxxL x y yx x x xxxx从而 ( 0 . 5 4 ) 1 . 8 2 3 2 1 0 . 5 4 - 1 . 6 0 4 7 5 2 = - 0 . 6 2 0 2 7 8nL本题二次插值选用牛顿插值方法 选择接近 0.54 值的三 个插值节点 x0=0.4,x1=0.5 和 x2=0.6,则 y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826 则有均差表 kx ()kfx 一阶均差 二阶均差 0.4 -0.916291 01 ,
17、 f x x =2.23144 0 1 2 , , f x x x =-2.04115 0.5 -0.693147 12 , f x x =1.82321 0.6 -0.510826 2 2( ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 5 )2 . 0 4 1 1 5 4 . 0 4 4 4 4 5 2 . 2 1 7 0 90 . 9 1 6 2 9 1 2 . 2 3 1 4 4 2 . 0 47 115P x x x xxx 2 ( 0 .5 4 ) -0 .6 1 5 3 1 9 8 4P 3、 给出 cosx ,0 90x 的函数表，步长 1 (1/ 60)h ，若函数
18、具有 5 位有效数字，研究用线性插值求 cosx 近似值时的总误差界。 解：拉格朗日插值余项表达式为 11()( ) ( ) ( ) ( )( n 1 ) !nn n nfR f f x L x x 线性插值时 n=1， 总误差界 1 ( ) c os 1| ( ) | | ( ) | | ( ) |( n 1 ) ! 2 2nf x x x由于步长取1 (1/ 60)h ，换算成弧度有 41 ( / 1 0 8 0 0 ) = 2 . 9 0 8 9 1 0h 所以 4( )=0.5 10x 因此，总误差界 1 4( ) c os 1| ( ) | | ( ) | | ( ) | = 0.2
19、5 10( n 1 ) ! 2 2nf x x x 此题解法错误，原因是 使用的方法错误 理解题意错误， “ 函数具有 5 位有效数字 ” ， 表示 500 1 102yy正确解法如下： 总误差 =函数本身的误差 （ 5 位有效数字产生的 误差） +使用插值方法带来的误差。 设插值节点为 0 1 0x x x x h，对应的 xcos 值为 10,yy ，函数表值为 10,yy ，则由题意可知， 500 1 102yy， 511 1 102yy，近似线性插值多项式为011 0 10 1 1 0()xxxxL x y yx x x x，所以总误差为 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
20、( ) ( ) ( )R x f x L x f x L x L x L x 1 1 12010 1 0 0 1 10 1 1 0010 1 0 0 1 10 1 1 0( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) |()= | ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) |2c o s ( )| ( ) ( ) | | ( ) | | | | ( ) | | |2R x f x L x L x L xxxxxf x x x x y y y yx x x xxxxxx x x x y y y yx x x x所以 010 1 0 0 1 10 1 1 055 01010 1 1 01( ) c o
21、s ( ) ( )21 1 1( ) ( ) 1 0 1 02 2 2xxxxR x x x x x y y y yx x x xxxxxx x x xx x x x其中 01( )( )x x x x 的最值求解如下： 令 01( ) ( )( )f x x x x x 则 当 1 0 0 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0f x x x x x x x x时， 即1 0 0( ) / 2 2hx x x x201( ) ( ) ( ) 4hf x x x x x取最大值 。 利用 基函数 之和等于 1的性质 55 010 1 1 0010 1 0 1111 0 1 0221 0 (
22、) 1 0xxxxx x x xxxxxx x x x 22711 ( ) = / 108 0060 180/ 466 560 000 =0 .211 54 104hh所以 2 5 7 5 51 1 1( ) 1 0 0 . 1 0 5 7 7 1 0 1 0 0 . 5 0 1 0 5 7 7 1 02 4 2 2hRx 总误差限 5( ) 0 .5 0 1 0 5 7 7 1 0Rx 本题的关键在于， 三角函数的变量是弧度，因此 角度必须使用弧度来计算。 有一种解法 （我认为不对） ，将角度未换算成弧度，计算结果为 2 5 5 51 1 1 1 1( ) 1 0 1 0 3 . 4 7 1
23、 02 4 2 2 1 4 4 0 0 2hRx 4、 设 ( 0,1, , )jx j n为互异节点，求证： 1）0 ( ) ( 0 , 1 , , )n kkjjj x l x x k n； 2）0 ( ) ( ) 0 ( 1 , 2 , , )n kjjj x x l x k n； 1） 证： 当 () kf x x 时，利用拉格朗日插值余项公式有 111( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( n 1 ) ! ( n 1 ) !nn n n nfR f f x L x x x 所以 ( ) ( )nf x L x 即0 ( ) ( 0 , 1 , , )n kkjjj x
24、 l x x k n2） 证： 利用式 1，有 000( ) ( )= - ) ( )- , ( = 0 ,2 )- ( = 0 1 ,2 )nkjjjnki i k i ik j jjii i i k iki i kkx x l xC x x l xC x x i kC x i k（ 1 ）（ 1 ） ， ，（ 1 ） ， ， ，现在的问题是如何证明 - = 1( = 0 1 ,2 )iikC i k（ 1） ， ， ， 当 k 为基数时， 1( 1 ) ( 1 ) 0 , ( 0 , 1 , )2i i k i k ikk kC C i 所以0 ( ) ( ) 0n kjjj x x l
25、x当 K 为偶数时， （书上第 28 页有例题，但是该如何证明？） 即得证： 0 ( ) ( ) 0n kjjj x x l x 证法 2： 令 ( ) ( )kf y y x ，0 ( ) ( )n kjjj x x l x是 ()fy 的拉格朗日插值多项式， 令 yx0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0n k k kjj y x l x y x x x。 这种证法难以理解，感觉理论依据不明细 。 5、 设 2( ) ,f x C a b且 ( ) ( ) 0f a f b ，求证 21m a x ( ) ( ) m a x ( )8a x b a x bf x b a f x。 解： 利
26、用 拉格朗日插值11 1 111()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !() ()( 1 ) !nnnnff x l a f a l b f b xnf xn( ) 1| ( ) | | ( - ) ( - ) | | ( ) | ( - ) ( - ) |22ff x x a x b f x a x b其中 ， 令 ( )= ( - )( - )( )= 2 ( )f y y a y bf y y a b当 ( )=0fy 时， a+b= 2y ， | ()|fy取最大值 2()4ba 所以有 22( ) 1m a x | ( ) | | ( - ) ( - ) |
27、| ( ) | ( - ) ( - ) |22( ) ( )= | ( ) | m a x | ( ) |88a x ba x bff x x a x b f x a x bb a b af f x得证。 6、在 44 x 上给出 xexf )( 的等距节点函数表，若用二次插值求 xe 的近似值，要使截断误差不超过 610 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？ 解：根据拉格朗日插值余项 4 30 1 2( ) ( )| ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( 1 ) ( 2 ) | | | ( 1 ) ( 2 ) |3 ! 6 6f f eR x x x x x x x t t t
28、 h t t t h令2( ) ( 1 ) ( 2)( ) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 1 )3 6 2f t t t tf t t t t t t ttt当 ()=0ft 时， 3=1 3t ， | ()|ft 取最大值 239 要使其不超过 610 ，则有 4 4 3 62 3 3| ( ) | | | | = 1 06 9 2 7eR x h e h如是 3 4 6 6 69 3 1 0 1 5 . 5 8 8 0 . 0 1 8 3 1 5 1 0 0 . 2 8 5 5 0 4 1 0he223 0 .2 8 5 5 0 4 1 0 = 0 .6 5 8 1 0h 7、 证明
29、 n 阶均差有下列性质： 1） 若 (x)= ( )F cf x ，则 , 1010 nn xxxcfxxxF ； 2）若 )()()( xgxfxF ，则 , 101010 nnn xxxgxxxfxxxF 。 依据均差 性质第 1 条证明 证： 1） 0100000001() , , . ()()()()() , , . njn njjkkkjnjnjjkkkjnjnjjkkkjnFxF x x xxxc f xxxfxcxxc f x x x2） 01000000000 1 0 1() , , . ()( ) ( )()( ) ( )( ) ( ) , , . , , . njn njj
30、kkkjnjjnjjkkkjnnjjnnjjj k j kkkk j k jnnFxF x x xxxf x g xxxf x g xx x x xf x x x g x x x8、 13)( 47 xxxxf ，求 2,2,2 710 f ， 0 1 82 ,2 , ,2 f 。 解： 依据均差性质第 3 条证明 (n )01 () , , . !n ff x x x n ( 7 )0 1 7( 8 )0 1 8( ) 7 ! 1 2 , 2 , . . . , 2 17 ! 7 !( ) 8 ! 0 2 , 2 , . . . , 2 08 ! 8 !ffff9、 证明： 1()k k k
31、 k k kf g f g g f 根据题意，此为 1 阶差分公式证明。使用 前插公式证明 证： 根据差分公式定义（书第 33 页） 1k k kf f f 于是有 11 1 11 1 1 111( ) ( )()k k k kk k k k k kk k k k k k k kk k k kkkf g g ff g g g f ff g f g f g f gf g f gfg10、 110 0 100nnk k n n k kkkf g f g f g g f解：利用上题的结论 对公式进行变换，有 1110101 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 000()( ) ( ) .
32、 ( )nnk k k knk k k kknkkkn n n n n n n n n nnnf g g ff g g ffgf g f g f g f g f g f g f g f gf g f g11、 证明 1 200njnj y y y根据 n 阶差分的定义 证： n 阶差分的公式为 111n n nk k ky y y 因此 ，对公式左端展开，有 1 21 1 2 2 1 1 0 00 ( ) ( ) . . . ( )nj n n n n n nj y y y y y y y y y y y12、 若 nnnn xaxaxaaxf 1110)( 有 n个不同实根 nxxx , 2
33、1 ，证明 1,20,0)(11 nkankxf xnnj jkj 。 利用均差性质 1 和性质 3 证： 根据题意，对 ()fx改写 01( ) ( ) ( ) . . . ( )nnf x a x x x x x x 则10( ) ( ) = ( )nn k j n nkkjf x a x x a x 根据 均差性质 1 令 () kjjF x x 有 010 100() , , . ()()=1()()njnj njnjjjnknjnj jFxF x x xxFxfxaxafx根据 均差性质 2 令 () kjjF x x 有 01 () , , . . . , , !nn FF x x
34、 x a bn即 01 0 () , , . , , ( ) !k nn jnn j jx FF x x x a a bf x n 当 02kn 时， ( ) 0nF 当 =n 1k 时， ( ) !nFn 所以 1,20,0)(11 nkankxf xnnj jkj 13、求一个次数小于等于 3 的多项式 )(xP ，使它满足 00( ) ( )P x f x ， 00( ) ( )P x f x ， 00( ) ( )P x f x ， 11( ) ( )P x f x 根据题意，由于涉及到了节点函数值、节点函数导数值相等，故应该使用埃尔米特插值公式进行求导 解： 由已知条件，此插值多项式
35、节点为 2，已知条件数为 4，埃尔米特插值次数不超过 3。 需要构造一个 3 次多项式，但一只节点只有 2 个，设另一个节点为 A，次 数为 3 的变量 系数为 B，有 0 0 1 0 1 0( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )P x f x f x x x x B x A x x x x 当 0xx 时 0 0 0 1 0 0 1( ) ( ) , ( A ) ( )P x f x f x x B x x x 0 0 0 1( ) ( ) ( 2 A )P x f x B x x 所以 01012012 , ()A x xf x xBxx 即所求多项式为 010 0 1 0 0
36、 1 1 0201 , ( ) ( ) , ( ) ( 2 ) ( ) ( )()f x xP x f x f x x x x x x x x x x xxx 14、 求一个次数小于等于 3 的多项式 )(xP ，使它满足 (0) 0P ， (0) 1P ， (0) 1P ， (1) 2P 根据题意，由于涉及到了节点函数值、节点函数导数值相等，故应该使用埃尔米特插值公式进行求导 解：由已知条件，此插值多项式节点为 2，已知条件数为 4，埃尔米特插值次数不超过 3。 需要构造一个 3 次多项式，但一只节点只有 2 个，设另一个节点为 A，次数为 3 的变量系数为 B，有 0 0 1 0 1 0(
37、 ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( 1 )P x f x f x x x x B x A x x x xx B x x A x 当 0x 时 (0) 1 A 1PB 当 1x 时 (1) 1 (1 ) 2P B A 所以 20.5BA32( ) 2 ( 0 . 5 ) ( 1 ) 2 3 2P x x x x x x x x 15、证明 2 点 3 次埃尔米特插值余项是 ( 4 ) 223 1 1()( ) ( ) ( ) , , 4! k k k kfR x x x x x x x 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 两点三次插值是埃尔米特插值的典型例子，书上
38、第 37 页 39 页有证明。在此不在证明。 16、 求一个次数不高于 4 次的多项式 ()Px ，使它满足 (0) (0) 0PP， (1) (1) 1PP，(2) 1P 。 由题意可知，一只函数节点的导数值，使用埃尔米特插值求解。 解： 由已知条件，此插值多项式节点为 3，已知条件数为 5，埃尔米特插值次数不超过 4。 需要构造一个 4 次多项式，但已知节点只有 3 个，设另一个节点为 A，次数为 4 的变量系数为 B，有 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 20 0 1 0 1 2( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 1 ( ) 0.5
39、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.5 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2)P x f x f x x x x f x x x x x x xB x A x x x x x xx x x x x x B x A x x x x x xx x x B x A x x x ( ) 1 0 . 5 ( 2 1 ) ( ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) )P x x B x A x x x 当 0x 时 ( 0 ) 1 .5 ( 3 ) 0P B A 当 1x 时 (1) 0 .5 (1 ) 1P B A 解得： 30.25AB22( ) 0 . 5 ( 1 ) 0
40、. 2 5 ( 3 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )( 3 )4P x x x x x x x xxx 17、 设 )1/(1)( 2xxf ，在 55 x 上取 10n ，按等距节点求分段线性插值函数 )(xIh ，计算各节点中点处的 )(xIh 与 )(xf 的值，并估计误差。 题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计 解： 5 ( 5) 110h 设将 ,ab 划分为长度为 h 的小区间 01 na x x x b ，则当 1,kkx x x ，0,1, 2, , 1kn时 1 11111()( ) ( )kkh k kk k k kk k k kx x x xI x f fx x x
41、 xx x f x x f 则 111( ) ( )22kkh k kxxI f f 误差估计为 112 1m a x | ( ) ( ) | m a x | ( ) ( ) |2k k k kh k kx x x x x xMf x I x x x x x 取 12kkxxx 有1 1 12 212 2 2()m a x | ( ) ( ) | m a x | | m a x | |2 4 8 8k k k k k kkkhx x x x x x x x xxxM M Mf x I x h 区中2 55m ax | ( ) |xM f x 而 )1/(1)( 2xxf 求其 3阶导数，令其等
42、于零。解得 x，进而解得 2阶导数的最大值。 则222 2 2 2 32 3 2 3 3 2 4( ) 2 / ( 1 )( ) 2 ( 1 ) 8 ( 1 )( ) 8 ( 1 ) 1 6 ( 1 ) 4 8 ( 1 ) 0f x x xf x x x xf x x x x x x x 解题麻烦，不再进行。 18、 求 2()f x x 在 a， b上的分段线性插值函数 ()hIx,并估计误差 。 题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计，解法与上题一致 解： 设将 ,ab 划分为长度为 h 的小区间 01 na x x x b ，则当 1,kkx x x ，0,1, 2, , 1kn时 ，
43、 有 111111()( ) ( )kkh k kk k k kkkkkx x x xI x f fx x x xx x x xffhh其误差估计： 1 1 12 2212 2 2()m a x | ( ) ( ) | m a x | | m a x | |2 4 8 8k k k k k kkkhx x x x x x x x xxxM M Mf x I x h h 2 m a x | ( ) | m a x | 2 |a x b a x bM f x 所以 121m a x | ( ) ( ) | 4kk hx x x f x I x h 19、 求 4()f x x 在 a， b上的分段
44、埃尔米特插值 ， 并估计误差 。 由已知条件， 4()f x x ，则 3( ) 4f x x 为连续可导函数，对任何一个节点，其函数值和函数导数值均可认为已知。因此可以使用第 2 个典型的埃尔米特插值公式进行计算。 解： 设将 ,ab 划分为长度为 h 的小区间 01 na x x x b ，则当 1,kkx x x ，0,1, 2, , 1kn时 ， 令 101m ax ( )kkknh x x ， 有 221111 1 1 12211111( ) ( ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 )( ) ( ) ( ) ( )k k k kh k kk k k k k k k kkkk k
45、k kk k k kx x x x x x x xI x f fx x x x x x x xx x x xx x f x x fx x x x 其误差估计为 14 ( 4 )m a x | ( ) ( ) | m a x | ( ) |384kk hx x x a x bhf x I x f x (4)( ) 4!fx 所以1444!m a x | ( ) ( ) | 3 8 4 1 6kk hx x xhhf x I x 20、 给定数据表如下 jx 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 jy 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条函
46、数 ()Sx ，并满足条件： 1） 6868.0)53.0(,0000.1)25.0( SS ； 2） 0)53.0()25.0( SS 。 本题 做了一部分，在使用矩阵求解 M 时 未 往下做。 直接使用网上的答案。 解 由 0 0.05h ， 1 0.09h ， 2 0.06h ， 3 0.08h ，及（ 8.10 ）式11111, ( 1 , , 1 )6 , , jjjjjjjjj j j jhhhhjnhhd f x x x 可知，1 914，2 25，3 47， 1 514，2 35，3 37， 1 2.111d ， 2 2.413d ， 3 1.7871d 从而 1）矩阵形式为： 7 8 7 1.14 1 3.21 1 1 2.26 8 6 8.0730 8 1 4.24 1 3.20 0 0 0.11497 5 4 1.227405325201452321mmm，解得 6570.08278.09078.0321mmm ，从而 nj jjjj xmxyxS 0 )()()( 。 下题直接使用网上答案 2）此
