1、本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。 第 3 章 复习与思考题 1、设 f C a , b，写出三种常用范数 12| | ,| | ,| | .f f f 答： 1| | | ( ) |baf f x dx 22| | ( )baf f x dx | | m ax | ( ) |a x bf f x 2、 f , g C a , b，它们的内积是什么？如何判断函数族 0, 1, , nC a , b在 a ,b上线性无关？ 解： f , g C a , b，其内积为 ( , ) ( ) ( )baf g f x g x dx 函数族 0, 1, , nC a , b在 a ,b上线性无关
2、，必须满足矩阵 G 的行列式不等于 0 1 1 1 2 12 1 2 2 212( , ) ( , ) . ( , )( , ) ( , ) . ( , ). . . .( , ) ( , ) . ( , )nnn n n nG ， det 0G 。 3、什么是函数 f C a , b在区 a , b上的 n 次最佳一致逼近多项式？ 解： 设 ()npx 为最佳逼近函数，则 f C a , b在区 a , b上的 n 次最佳一致逼近多项式 *| ( ) ( ) | m i n | ( ) ( ) |nf x p x f x p x 取 -范数，则 *| ( ) ( ) | m i n m a
3、x | ( ) ( ) |na x bf x p x f x p x 4、什么是 f 在 a , b 上的 n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据 mif 0 的最小二乘曲线拟合？ 解： 设 ()npx 为最佳逼近函数，则 f C a , b在区 a , b上的 n 次最佳 平方 逼近多项式 * 2 2| ( ) ( ) | m i n | ( ) ( ) |nf x p x f x p x 取 2-范数，则 * 2 2| ( ) ( ) | m i n ( ) ( ) b naf x p x f x p x d x 问题：为什么选择 不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择
4、最有利于求解的范数进行求解。 5、什么是 a , b 上带权 (x)的正交多项式？什么是 -1, 1 上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 解： 设 ()nx 是 a , b 上首系数 0na 的 n 次多项式， ()x 为 a , b 上的权函数，如果多项式序列 ()0n x 满足如下关系式 0( , ) ( ) ( ) ( ) dbj k j k kajkx x x x A jk ， 则称多项式序列 ()0n x 为在 a , b 上带权 ()x 正交，称 ()nx 为在 a , b 的带权 ()x正交多项式 。 当区间为 -1 ,1 ，权函数 ( ) 1x ，由 21, , ,. nx
5、x x 正交化得到的多项式称为勒让德多项式 2!( ) ( 1 )( 2 n) ! n nn nndP x xdx . 主要性质有： 1）正交性 110( ) ( ) 221mnmnP x P x dxmnn 2） 奇偶性 ( ) ( 1) ( )mmmP x P x 3）递推关系 11( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) , 1 , 2 . . . . .n n nn P x n x P x n P x n 4） ()nPx在区间 -1,1上具有 n 个不同的实零点。 6、什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 解： 当区间为 -1 ,1 ，权函数21() 1x x ，由 2
6、1, , ,. nx x x 正交化得到的多项式称为切比雪夫多项式 ( ) c o s ( a rc c o s )nT x n x ， 若零 cos( )x ，则 ( ) cos( )nT x n 重要性质有 1）递推关系 1101( ) 2 ( ) ( ) , 1 , 2 . . . . .( ) 1 , ( )n n nT x x T x T x nT x T x x 2） 正交性 1210( ) ( )0.5 010mnnmT x T xdx n mxnm 3） 2 ()nTx只含 x 的偶次幂， 21()nTx 只含 x 的奇 次幂。 4） ()nTx在区间 -1,1上具有 n 个零
7、点 21c os , 1 , 2 , 32j jx j nn 5） ()nTx的首项 nx 的系数为 12 ,n 1,2,.n 。 7、 用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 答： 切比雪夫插值点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点在横坐标接近区间 -1,1的端点处是密集的；可使得插值区间最大误差最小化；高次插值时可避免龙格现象，保证在整个区间上都收敛。 最大的区别是： 切比雪夫多项式与拉格朗日插值多项式对插值点的要求不一致。 切比雪夫多项式要求插值点为切比雪夫多项式零点。 拉格朗日插值多项式对插值点无特殊要求。 8、什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟
8、合曲线时，当次数 n 较大时为什么不直接求解法方程？ 答： 最小二乘拟合的法方程 0 ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) ) , 0 , 1 , ., .nk j j kj x x a f x x k n 多项式做拟合曲线时，当次数 n 较大时，其法方程系数矩阵 是 高度病态，直接求解法方程是相当困难的。 系数矩阵如下： 1 1 / 2 . 1 / ( 1 )1 / 2 1 / 3 . 1 / ( 2 ). . . .1 / ( 1 ) 1 / ( 2 ) . 1 / ( 2 2 )nnHn n n 9、计算有理分式 Rmn (x)为什么要化为连分式？ 答： 1）在计算量相当的
9、情况下，有理逼近比多项式逼近精度高； 2） 在 计算机上计算有理 逼近 函数，使用连分式，可以节省乘除法的计算次数 ，同时编程简单 。 10、 哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 答： 在模型数据 （如振动） 具有周期性时，用三角函数特别是正弦函数和余弦函数作为基函数更合适。 11、 对序列做 DFT 时，给定数据要有哪些性质？对 DFT 用 FFT 计算时数据长度有何要求？ 答： 1） 要求有周期性。 2） 使用 FFT 计算是，数据长度为 2p 时计算最好。 12、 判断下列命题是否正确？ （ 1）任何 f (x) C a , b都能找到 n 次多项式 Pn (x
10、) Hn，使 | f (x) - Pn (x) | ( 为任给的误差限 )。 （ 2） nn HxP )(* 是 f (x)在 a , b上的最佳一致逼近多项式，则 )()(lim * xfxPnn 对, bax 成立。 （ 3） f (x) C a , b在 a , b上的最佳平方逼近多项式 Pn (x) Hn 则 )()(lim xfxPnn 。 （ 4） )(Pxn 是首项系数为 1 的勒让德多项式， Qn (x) Hn 是任一首项系数为 1 的多项式，则 1122 P ( ) d ( ) dnnx x Q x x。 （ 5） )(Txn 是 -1 , 1上首项系数为 1 的切比雪夫多项
11、式。 Qn (x) Hn 是任一首项系数为1 的多项式，则 .)(m a x)(m a x1111 xQxT nxnx （ 6） 函数的有理逼近（如帕德逼近）总比多项式逼近好 （ 7）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。 （ 8） 三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT，所以他们没有任何区别 。 （ 9） 只有点数 2pN 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大 。 （ 10） FFT 算法计算 DFT 和它的逆变换效率相同 。 答： 1） 使用勒让德等正交函数基进行求解 n 次多项式，不存在病态问题，且一定有解。 因此正确。 2） 最佳一致逼近的表达式为
12、 * m in | |m inm x | a|nnPHPH a x bnnf x P x f x P xf x P x 正确 。 3） 正确 4)根据最小二乘拟合公式判断 2 22000*20m in | m in | | m in | m in |i n iimpimmp n piimpii i n ii n if P f x P xf x P x f x P xf x P x 由于 勒让德多项式比任一首项系数为 1 的多项式拟合更准确。因此。其最小二乘和更小，即 1122 P ( ) d ( ) dnnx x Q x x 因此，正确 。 5）正确。书 P62。 6） 正确，书 P79 7）
13、正确。 8） 当 n|a|-|b| 证： | | m a x | ( ) ( ) | m a x | ( ) | | ( ) |m a x | ( ) | m a x | ( ) | | | | |f g f x g x f x g xf x g x f g 6、 对 1( ), ( ) C a , bf x g x ，定义 1）， ( , ) ( ) ( )baf g f x g x dx 2）， ( , ) ( ) ( ) ( a ) ( a )baf g f x g x d x f g 问他们是否构成内积 本题考查内积的 4 个运算性质 （ 1） ( , ) ( , )f g g f （
14、 2） (a , ) a( , )f g f g （ 3） ( , ) ( , ) ( , )f v g f g v g （ 4） ( , ) 0ff ， 解： 1） ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )bbaaf g f x g x d x g x f x d x g f ( a , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ( , )bbaaf g a f x g x d x a f x g x d x f g ( , ) ( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , )bababbaaf v g f
15、x v x g x dxf x g x v x g x dxf x g x dx v x g x dxf g v g 2( , ) ( )baf f f x dx 令： 2()bay f x dx 利用积分中值定理 有 2222()( ) 1( ) 1( ) ( )0bababay f x dxf x dxf dxb a f其中 2( ) 0 , ( ) 0b a f ， 当 ( ) 0, ,f a b 时，取等号。 ( ) 0 0 , ,bbaaf f d x d x a b 因此。 ( , ) ( ) ( )baf g f x g x dx 是内积函数。 2） ( , ) ( ) ( )
16、( a ) ( a )baf g f x g x d x f g ( , ) ( ) ( ) ( a ) ( a ) ( ) ( ) ( a ) ( a ) ( , )bbaaf g f x g x d x f g g x f x d x g f g f ( a , ) ( ) ( ) ( a ) ( a ) ( ( ) ( ) ( a ) ( a ) ) a ( , )bbaaf g a f x g x d x a f g a f x g x d x f g f g ( , ) ( , ) ( , )f v g f g v g ( , ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( a ) (
17、a ) ) ( a )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a )( ( ) ( ) ( a ) ( a ) ( ) ( ) ( a ) ( a )( , ) ( , )babbaabbaaf v g f x v x g x dx f v gf x g x dx v x g x dx f g v gf x g x dx f g v x g x dx v gf g v g 22( , ) ( ) ( a ) 0baf f f x d x f 其中 2( ) 0baf x dx ,当 ( ) 0, ,f a b 时，取等号。 此时 ( ) 0 0 , ,bba
18、af f d x d x a b 所以 22( , ) ( ) ( a )000baf f f x d x f因此， ( , ) ( ) ( ) ( a ) ( a )baf g f x g x d x f g 构成内积。 7、 令 * ( ) (2 1) , 0 ,1 nnT x T x x ，试证 *()nTx是在 0,1上带权21()x xx 的正交多项式，并求 *0()Tx， *1()Tx， *2()Tx， *3()Tx。 本题考查 带权多项式的求法 ()nTx表示切比雪夫多项式 。考查 *()nTx， ()nTx的区别 。 首先需要将区间进行变换 至 切比雪夫多项式 的区间 -1,1
19、. 解： 由 ( ) ( 2 1) , 0 ,1nnT x T x x 可知，令 1 , 1,12 txt ，则 1( ) ( ), 1,12nntT T t t 这题不会做。 8、 对权函数 2( ) 1xx ，区间 -1,1,试求首项系数为 1 的正交多项式 ()nx ， n=0,1,2,3 利用施密特正交化公式求解。 10( ( ) , ( ) )( ) ( )( ( ) , ( ) )nn jnnjj jjx x xx x xxx 解： 0( ) 1x 1311 11( ( ) , 1 )()(1 , 1 )xxxxx x x xdx 2222112 2 2 22 11112112(
20、( ) , 1 ) ( ( ) , )()(1 , 1 ) ( , )(1 ) (1 )13x x x x xx x xxxx x x x xxxd x x d xx 3 3 3 2323 221 1 13 2 3 2 3 2 2321 1 11 1 12 2 21 1 13( ( ) , 1 ) ( ( ) , ) ( ( ) , )()( 1 , 1 ) ( , ) ( , )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1()31()365x x x x x x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x xd x x d x x d xxx 可以验算 101 1( (
21、), ( ) 0x x xdx 1 2302 1 11 1 1 2 2( ( ) , ( ) ) 013 3 3 3 3x x x d x x x 1 3 4 203 1 16 1 3( ( ) , ( ) ) 015 4 5x x x x d x x x 1 3 4 212 1 16 1 3( ( ) , ( ) ) 015 4 5x x x x d x x x 1 4 2 5 313 1 16 1 1( ( ) , ( ) ) 015 5 5x x x x d x x x 1 2 3 6 4 223 1 11 6 1 1 1( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) 013 5 6 1 2
22、 5x x x x x d x x x x 9、 试证明由（ 2.16）式给出的第二类切比雪夫多项式族 ()nux 是 -1,1上的带权2( ) 1xx 的正交多项式 。 这题不会做。 10、 证明对每一个切比雪夫多项式 ()nTx，有 2121() 21nTx dxx 这题不会做。 11、用 3()Tx 的零点做插值点，求 ()xf x e 在区间 -1,1上的二次插值多项式，并估计其最大误差界 。 解： 3()Tx在区间 -1,1上有 3 个零件。 21c o s , 1 , 2 , 32k kxkn 所以 12313cos633cos 0653cos63xxx 拉格朗日二次插值有 0 1
23、20 2 0 11220 1 0 1 1 0 1 2 2 0 1 13333 22222( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 1 23 3 33( 3 3 ) 3 1 ( )21( 3 1.1.7813 +0.5614732 ) (x xxx x x x x x x xx x x xL x e e ex x x x x x x x x x x xx x x x x xeexxe x x x exxx 22=8.6246.732)32.5990 112xxx x 其误差估计为 (
24、 1 )1 0 1 22()( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ! 633( ) ( )6 3 31()63nnnfeR f w x x x x x x xnex x xexx 转而求 2 1()3y x x在 区间 -1,1上 的极值 3211( ) 3 033y x x x ，解得 1 1,13x 所以 2 1 2 1m a x | | | ( ) | ,3 27 3y x x x 2() 6 2 7 8 0 . 0 3 3 5 51 8 8 1 91xn e e e eRf 12、设 2( ) 3 2 , 0 ,1f x x x x ，试求 ()fx在 0,1 上关于 (
25、) 1x ， (1, )span x 的最佳平方逼近多项式，若取 2(1, , )span x x ，那么最佳平方逼近多项式是什么？ 解： 当 (1, )span x 时， 1011dx ， 10 12xdx， 1 20 13x dx,0 21 32 1 3 2323 2 6dxxx ，10 2( 3 2) 191144dxx x x 可知， 1 2312611 923 4ab 写成增广矩阵有 1 2311 1 92 3 41 2312614012 12所以 11,46ab 所以 11( ) 4 , 0 ,16g x x x 当 2(1, , )span x x 时， 其实就是本身，求解如下：
26、 1011dx ， 10 12xdx， 1 20 13x dx, 1 30 14x dx, 1 40 15x dx0 21 32 1 3 2323 2 6dxxx ， 10 2( 3 2) 191144dxx x x 1022( 3 21 3 2549760)3x x x dx可知， 1 1 2312 3 61 1 1 92 3 4 497111603 4 5abc 写成增广矩阵有 1 1 2 312 3 61 1 1 92 3 4 41 1 1 9 73 4 5 6 01 1 2 312 3 61 1 101 2 1 2 31 4 6 101 2 4 5 1 8 01 1 2 312 3 6
27、1 1 101 2 1 2 311001 8 0 1 8 0 所以 2, 3, 1a b c 即为原方程。 13、求 3()f x x 在区间 -1,1上关于 ( ) 1x 的最佳平方逼近二次多项式 2(1, , )span x x 解： 1112dx ， 11 0xdx ， 1 21 23x dx , 1 31 0x dx , 1 41 25x dx ， 1 51 0x dx 有 210032200352 2 0035abc 写成增广矩阵有 21 0 0322003522003521 0 0322003520 0 045所以 无解。 14、 求函数 ()fx在指定区间上对 (1, )span
28、 x 的最佳平方逼近多项式 1(1) ( ) , 1, 3 ( 2 ) ( ) , 0 ,1(3 ) ( ) c o s , 0 ,1( 4 ) ( ) ln , 1, 2 xfxxf x ef x xf x x解： （ 1），区间为 1,3 3112dx ， 31 4xdx ， 3 21 263x dx, 31 1 ln3dxx ，可知 24 ln 326 243ab 写成增广矩阵有 2 4 ln 3264232 4 ln 320 2( ln 3 1)3所以 11 l n 3 6 , 3 (l n 3 1 )2ab 其它的类似求解，注意区间的变化 ，其中 10 lnx xdx、 10 cos
29、x xdx以用分部积分进行求解。 不再进行计算 ，有时间再补充。 1011dx ， 10 12xdx， 1 20 13x dx, 10 1 lndx xx ， 10 2( 3 2) 191144dxx x x 15、 ( ) sin 2f x x ，在区间 -1,1上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式 由题意，为求 3 次最佳平方逼近 ，则 23 1 , , ( 3 1 ) / 2 , ( 5 3 ) / 2 s p a n x x x x 则有 1112dx ， 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 2 . 2 2 . 4 2 . 6 2 . 8 30 . 20 .
30、 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 911 21 23x dx 2 2 4 252111111( 3 1 ) / 4 ( 9 1 6 )221419()455dx dx x x xx x x 3 2 6 2 417 3 5111( 5 3 ) / 4 ( 2 5 9 3 0 )362141 2 5()477x x x x xd x dxxxx11 si n 0222 c o sdxxx 1111111111s i n c os22c os c o22()()2sis222nc os22x dx x dx dxxxdxxxxx1221221211111112111121
31、c os1( 3 1 ) / 2 sin ( 3 1 )22( 3 1 ) c os c os ( 3 1 )22c os ( 3 1 )2c os2222136sin6sin sin0x x x xx x x xxxxdx ddddxddxxxx x x x 1111111111111111331331322121( 5 3 ) / 2 si n ( 5 3 )22( 5 3 ) c os c os ( 5 3 )22c os1c os1()111( 3 )16(s( 5 3 )2( 15 3 ) c os215 c os c os2215 c o n22isx x x x x xx x x
32、 x x xx x xx x xx x xdx dddddd xxxx d xx 122112212122212)2 12( si n )30 12()60 1152si n 2 si n72222xxxdx dx x x利用正交性有 11 0xdx 211 (3 1) / 2 0dxx 311 (5 3 ) / 2 0dxxx 11 2(3 1) / 2 0dxxx 11 3(5 3 ) / 02xx dxx 1 31 2( 3 1 ) ( 5 3 4 0)/ dxx x x 所以有 220223205 7227abcd 有：22520 , 3 , 0 ,a b c d 22( ) ( 3
33、1 ) ( 5 3 )22cdp x a bx x x x ,，即为所求。 使用 Matlab 作图不正确。 16、观察物体的直线运动， 得出以下数据： 时间 t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s（米） 0 10 30 50 80 110 求运动方程。 解： 设运动方程为 2()f x a bx cx 有 2(1, , )span x x 所以 61)(),( 6 111 iii xx 612 1( ) , ( ) 1 4 .7i i iix x x 6 21 3 2 2 1( ) , ( ) ( ) , ( ) 5 3 . 6 3i i i i iix x x x
34、x 6 323 1( ) , ( ) 2 1 8 . 9 0 7i i iix x x 6 433 1( ) , ( ) 9 5 1 . 0 3 2 3i i iix x x 61 1( ) , ( ) 2 8 0i i iix f x y 。 62 1( ) , ( ) 1 0 7 8i i i iix f x y x ， 6 23 1( ) , ( ) 4 5 3 3 .2i i i iix f x y x 。 故法方程为2.453310782800323.951907.21863.53907.21863.537.1463.537.146cba，解得2488.20814.115837.0c
35、ba 。 故直线运动为 22488.20814.115837.0)( xxxf 。 17、已知试验数据如下： x 19 25 31 38 44 Y 19.0 23.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 3y a bx 的经验公式，并计算均方误差。 解：算法同上。 有 3(1, )span x 511 1( ), ( ) 1 5ii ixx 6 312 1( ) , ( ) 6 8 5 9 1 5 6 2 5 2 9 7 9 1 5 4 8 7 2 8 5 1 8 4 1 9 2 3 3 1i i iix x x 5 61 3 2 21( ) , ( ) ( ) , ( )470
36、45881 244140625 887503681 3010936384 7256 313856=1 144 594 042 7i i i i iix x x x x 51 1( ) , ( ) 2 6 2 .4i i iix f x y 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5- 2 0020406080100120 5321( ) , ( )1 9 6 8 5 9 2 3 . 3 1 5 6 2 5 4 9 2 9 7 9 1 7 3 . 3 5 4 8 7 2 9 7 . 8 8 5 1 8 41 3 0 3 2 1 3 6 4 0 6 2 .
37、5 1 4 5 9 7 5 9 4 0 2 2 1 1 7 . 6 8 3 3 0 9 9 5 . 214307255. 3i i i iix f x y x 故法方程为 5 1 9 2 3 3 1 2 6 2 . 41 9 2 3 3 1 1 1 4 4 5 9 4 14307255. 30427 ab ，解得 12.43630.001041ab 。 3( ) 1 2 .4 3 6 3 0 .0 0 1 0 4 1f x x18、 某化学反应中 ， 由实验分解物浓度与实践的关系如下： 时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度 0 1.27 2.16 2.
38、86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 用最小二乘法求 ()y f t 。 解：根据数据点的分布情况， 使用勒让德多项式求二次最小二乘拟合。 可使用与 16 题和 17 题相同的方法求解。 即 21, , span x x 有 15 20 25 30 35 40 45102030405060708090100110 1211 1( ) , ( ) 1 1 2ii ixx 1212 1( ) , ( ) 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 3 3 0i i iix x x 12 22 2 1 31(
39、 ) , ( ) ( ) , ( )25 100 225 400 625 900 122 5 160 0 202 5 250 0 302 512650i i i i iix x x x x 63231( ) , ( )0 1 2 5 1 0 0 0 3 3 7 5 8 0 0 0 1 5 6 2 5 2 7 0 0 04 2 8 7 5 6 4 0 0 0 9 1 1 2 5 1 2 5 0 0 0 1 6 6 3 7 5= 5 4 4 5 0 0i i iix x x 6 433 1( ), ( )i i iix x x 计算量大，不再求解。 19、用辗转相除法将 222 23666xxR xx 化为连分式 解： 0 10 20 30 40 50 6000 . 511 . 522 . 533 . 544 . 55222 23666 12 3x x xRxxxxx 20、求 ( ) sinf x x 在 0x 处的（ 3,3）帕德逼近 33R 参考例 12 进行。 21、 参考例 12 进行。 22、 参考例 12 进行。 23、 24、
