1、1第一章1设 , 的相对误差为 ，求 的误差。0xlnx解：近似值 的相对误差为*re=而 的误差为ln1lnlexx进而有 (*)2设 的相对误差为 2%，求 的相对误差。xn解：设 ，则函数的条件数为()nf()|pxfC又 , 1()nfx1|npx又 *(*)rprC且 为 2()rex0.nr4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .*124x*123x*24/x其中 均为第 3 题所给的数。*1234,x解： *4132*1334*15()0()02()0xx2*124433()(1001.5xx*23*1231324 3()()()11.0.0.8
2、5.60.2385.605xxx *24*24335(3)/()110.56.0.xx5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为 34VR则何种函数的条件数为 234pRCA(*)()(*)rprrVR又 1r故度量半径 R 时允许的相对误差限为 1()0.3r6设 ，按递推公式 （n=1,2,）028Y1780nY计算到 。若取 （5 位有效数字） ，试问计算 将有多大误差？1732.9810Y解： 0n109Y3981730Y71083Y依次代入后，有 1017830Y即 ，107若取 , 832.9102.9* 3100()(.8)Y的误
3、差限为 。327求方程 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ ） 。561x 7832.9解： ，20故方程的根应为 1,2873x故 1.95.82x具有 5 位有效数字211873 0.17863287.95.2x 具有 5 位有效数字28当 N 充分大时，怎样求 ？12Ndx解 12arctn()arctndx设 。arct(),则 n1.N4122arctn()ta1arct()n1NdxNA10设 ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 秒的误差，证明当 t 增加时 S 的St 0.1绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 2,0t(*)()SgA当 增加时， 的绝对误差增加t2
4、*()1()rgttA当 增加时， 保持不变，则 的相对误差减少。t()t*S11序列 满足递推关系 (n=1,2,),若 （三位有效数字） ，ny10ny021.4y计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？10解： 2.4y20(*)又 1ny10(*)()y又 21521(*)0()y.y101028(*)()y计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。10y810212计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？6()f, , ， 。6(21)33(2)9702解：设 ，6(yx若 ， ，则 。*.4*102x若通过 计算 y 值，则61(2)* *7*()61yxyxA若通过
5、 计算 y 值，则3(2)*2*(63yxA若通过 计算 y 值，则31(2)6* *4*71(32)yxyxA通过 计算后得到的结果最好。31(2)13 ,求 的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多2ln(1)fxx(30)f大？若改用另一等价公式。 22ln1ln(1)xx计算，求对数时误差有多大？解, 2()ln1)fxx(30)l89)f设 89,(uyf则 *412故 *310.67yuA若改用等价公式 22ln(1)ln(1)xx则 3089f此时， *7159.83yu第二章 插值法 1，2，4，6，7，8，9，1171当 时， ,求 的二次插值多项式。,2x()03
6、4fx()fx解： 012200102101222,()()3()4;1(2)()6()1)(3fxffxl xxxl x则二次拉格朗日插值多项式为 20()()kLxylx22341()(1)3576llxx2给出 的数值表()lnfxX 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值及二次插值计算 的近似值。l0.54解：由表格知， 0123124.,.5,.6,.7,.8;()9()9.8,0.54xxxfff若采用线性插值法计算 即 ，ln.(.4)f则 0.5.62112212
7、()0(.).5()()()xlxLxflxflx6.93470.6180.5)81(0.54).62018.62019L若采用二次插值法计算 时，ln5412000111202212()()(.).0.(.6)()5(.4).5()()(xl xxl xLflflfl50.960.5(.6)9.3147(0.).605182(0.4).5xxx2(.4).1384.2L4设为互异节点，求证：（1） 0()nkkjxl(0,1);n（2） 0()(nkjjjl(,);k证明（1） 令 ()kfx若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。,01,jn ()fxn0()()nkjLxlx插值余
8、项为(1)1() ()!nnnnfRxfL又 ,k(1)0nfRx0()nkkjl(,1);n9000(2)()()(nkjjjjikikjjinniikjixlClxxl由上题结论可知又 0()nkijxl0()()nikiikCxx原 式得证。5 设 且 求证：2(),fxCab()0,fb21mamx.8xbab解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为01,0101()()xxLff= bafafx1()0Lx又插值余项为 101()()()()2RfxLfxx02fx012210()()()4xxba又1021max()max().8bbff6在 上给出 的等距节点函数表，若用二次
9、插值求 的近似值，要使4exe截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？610解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为,ix1i2 1()()()3!iiiRxfx14ma()6iiixxf设步长为 h，即 1,iiiih434322().67Rxee若截断误差不超过 ，则6106243()70.5xeh7若 ，42,.nnyy求 及解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 n44(1)nnyEy4044040(1)2(1)2jjnjjnjjjjnjnyy1442()nnyEy111422()nnEyy8如果 是 m 次多项式，记 ，证明 的 k 阶差分()
10、fx()(fxhfx()fx是 次多项式，并且 （ 为正整数） 。0kk10ml解：函数 的 展式为()fxTaylor2() (1)111()()!(!mmfhfhfxfxhfh其中 (,x又 是次数为 的多项式)fm(1)0)(mfxhfx2()11(!mf fxh为 阶多项式)fx2()f为 阶多项式fx2m依此过程递推，得 是 次多项式()kfxk是常数()mfx当 为正整数时，l1()0f9证明 1kkkgfgf证明 1()kkkfff121111()()kkkkkkfgffgfff得证。10证明1 100n nknkfgfgf证明：由上题结论可知 1()kkkfff101100()
11、nkkkknnkkkgffg11010211()()()()nk nnnfffgfgffg 1 100 nknkffgf 得证。11证明1200njnjyy证明11200()njjjj12110()nnyyy得证。12若 有 个不同实根 ，101()nnfxaax 12,nx证明： 110,2;()knjj kf13证明： 有个不同实根()fx12,nx且 01naa 2()()n nfxxx令 1则 11()()kknnj jjjxxfa而 2313)()()n n nxx 12()x 11()()()()njjjjjjjjnxxx 令 ,kgx121,()knjjx则 121,()knjj
12、gxx又 121,()knj njngfa110,;()knjjxf得证。13证明 阶均差有下列性质：（1）若 ，则()Fxcf0101,;nnFxcfx （2）若 ，则()g 01,.nxgx 证明：（1） 120011(),()()jnjjjjjjjnfxfxxx 120011(),()()jnjjjjjjjnFFx 140011()()()jnjjjjjjjncfxxx 0011()()()jnjjjjjjjnfcx 1,nfx得证。(2)()Fxfg00011(),()()jnjjjjjjjnFxxx 0011()()()jjnjjjjjjjnfgx 0011()()jnjjjjjjj
13、nfxx + 0011()()jnjjjjjjjngx 0,nnfx 得证。14 求 及 。74()31,fx0172,F 0182,F解： x若 2,0,8iix则 ()01,!nff (7)01, 1!ffx(8)01, 0!ff15证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)223 11)()/4!,(,)kkkRxfxxx15解：若 ，且插值多项式满足条件1,kx33()()kkHfxf1111,()kxx插值余项为 3()RfH由插值条件可知 1()0kkx且 1()kx可写成R221()kkgxx其中 是关于 的待定函数，()gx现把 看成 上的一个固定点，作函数1,k223 1()()(
14、)kktfHtgxttx根据余项性质，有 1()0,()kkx223 1()()()0kkfxgxHR223 11()()2()()kkkktftxtxtxt kx1()0由罗尔定理可知，存在 和 ，使(,)kx1(,)kx12(),()即 在 上有四个互异零点。x1k根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，()tt故 在 内至少有三个互异零点，()t1,kx16依此类推， 在 内至少有一个零点。(4)t1,)kx记为 使1,kx(4)(4)(4)3!()0fHgx又 ()30t(4) 1,(,)!kfgxx其中 依赖于 (4)221)()!kkfRxxx分段三次埃尔米特插值时，若节点
15、为 ，设步长为 ，即(0,)kn h在小区间 上0,1,kxhn 1x(4)221(4)!1()(kkfRxfx22(4)1()4(4)()()ma!1xax!238kbabaxxfhf16求一个次数不高于 4 次的多项式 P（x） ，使它满足(0),(1)0,(2)PP解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4 的多项式01,xym171130021012()()()(1)j jjHxyxmxx21002)(3)xx021()2323)(1)Hxxx设 0()PA其中，A 为待定常数 322()1(1)xx4从而 21()(3)Px17设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数/fx5x1
16、0n，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。()hIx()hIf解：若 0105,则步长 h0,ixi21()f在小区间 上，分段线性插值函数为1,ix111()()()i ihi iixIff181221()()i ii ixx 各节点间中点处的 与 的值为hIf当 时，4.5x()0.47,()0.486hfxIx当 时，3579当 时，2.x().139,().15hfxIx当 时，150703当 时，0.x().8,().hfxIx误差 1 25ma()ma()8ii hx xfIf又 2fx2324(),1)6()1)fxxf令 (0f得 的驻点为 和)x1,230x1,235(
17、)max4hffIx18求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。2()f,ab()hIx解：在区间 上，,01,0,1,niiixhxn19012max()iinhf函数 在小区间 上分段线性插值函数为1,ix111221()()()i ihi iii iixIffx误差为 1 222max()max()8(),()ax4ii hibhbfIfhffIx A19求 在 上分段埃尔米特插值，并估计误差。()f,ab解：在 区间上，,ab01,0,1,niiixhxn令 01miinh43(),()fxfx函数 在区间 上的分段埃尔米特插值函数为1,i2111211()()()()i ih ii
18、i ii iiiiiiiiIxfxxxfx2042131 132121()()4()()iiiiiiiiiiiiiixhxhxxh误差为 (4)221()41)!max2hiiibfxIxf又 4f(4) 401!2ax()ax6ihbinhfI20给定数据表如下：Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280试求三次样条插值，并满足条件：(1)0.25.,(0.53).68;)SS解： 010234.9.68hx111234,5,47j jj jhh211230100123494,457(), .95.8,7.
19、5fxfffx04120110231223423344343(),().6862,.357,6.640,.6(,).150SSxdffhxffxdhfxfdfh由此得矩阵形式的方程组为2 1 M0 5.202 M1 5494372 M2 35.62 M3 7401 2 M4 .15求解此方程组得 01234.78,.607,0.6539M三次样条表达式为112 211()()()6)()(0,1)6j jjjj jjj jxxSMhhxyyn将 代入得01234,223333336.759(0.)4.810(.25)10.69(.3)10.962(.5)2,.19754.3,().8647(0
20、.5)2.4(0.)1.486(0.xxxxxSxxx33)1.962(0.)9,11.6.5.9.53.87.45, xx 0412304(2)()0,.357,.640.Sxdfdf由此得矩阵开工的方程组为 04123924.573605.07M求解此方程组，得 01234,.809.6,.,0MM又 三次样条表达式为3112 211()()()6)()6j jjjj jjj jxxShhxyy将 代入得01234,M23333336.297(0.5)1(.)0.967(.25),3.48118.6.918(0.3),()2.9(0.5)2.86(0.9).4(0.5)9xxxxxSxx3
21、,.14677.5.1., xx21若 是三次样条函数，证明：2()()fCabSx22 21()()()baabaxddfxfxSdx若 ，式中 为插值节点，且 ，则2(0,1iixSn i 01naxb()()bafdxbafSa证明： 222(1)()()()() ()babbaabafxSdxfxSdf x 从而有 22()()()()bbaabafxdSxdfxSdx第四章 数值积分与数值微分 1，2，6，7，8，10，111.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：2410121 120()()()();)(3()2()3)/;4
22、)0/(0);hhhfxdAfhfAfhfffxfxdhafh解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若 101()()()()hfxdAfhfAfh令 ，则f1012hA令 ，则()fx1令 ，则2()fx31hA从而解得 01433Ah令 ，则()fx30hhdx101()()()AffAf故 成立。01()hxhfh令 ，则4()f25451012()()()3hhfxdxAfAfh故此时， 101()()()()hfxdfff故 hAhAh具有 3 次代数精度。
23、（2）若 2101()()()()hfxdfff令 ，则()1f04A令 ，则()fx1h令 ，则2()fx316A从而解得 014383hAh令 ，则()fx2230hhdx101()()()AffAf故 成立。2 01()hxhfh令 ，则4()f2622456()hhfxdx101()()3AfAfh故此时， 2101()()()()hfxdfff因此， 2101()()()()hfAfhfAfh具有 3 次代数精度。（3）若 121()()2()3)/fxdffxf令 ，则f1 12()2()()/xffxf令 ，则f1203x令 ，则()f21x从而解得或120.8956x120.6
24、89x令 ，则3()f110xdx12()2()3)/fff故 不成立。1 12(3)/xxf 因此，原求积公式具有 2 次代数精度。（4）若 20()(0)/(0)hfdfhaffh令 ，则1fx0(),h272(0)/(0)hfahffh令 ，则x200 21() 1/(0)hhfdaffh令 ，则2()fx2300 3211()/(0)hhfdxaffhah故有 321hha令 ，则3()fx340024411()/(0)2hhfdxffhh令 ，则4fx45002551() 1/(0)236hhfdxffhh故此时， 20()()/(),1hfxdf ff因此， 0()0()hfhh具
25、有 3 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：2812011091260(),8;4),0;(3)4sin,6;xdned解： 21(1)8,()84xabhf复化梯形公式为 781()2()0.1khTffxfb复化辛普森公式为 778102()4()()0.1576kkSfafxfxfb2()(2)1,)xenbhf复化梯形公式为 9101()2()1.3948khTfafxfb复化辛普森公式为 9910102()4()()1.576kkSffxfxfb(3),nabhf复化梯形公式为 341()2()17.24khTffxfb复化辛普森公式为 3341022()()()
26、17.36(),4sin6kkSfafxfxfbnbhf复化梯形公式为29561()2()1.03562khTfafxfb复化辛普森公式为 556102()4()()1.0357kkSffxfxfb3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有 5 交代数精度。证明：柯特斯公式为 01234()7()32()()()7()9baafxdfxffxffx令 ，则101234()9732()()()7()baafxdfxffxfba令 ，则()fx2 201234()17()3()7()()9bbaafdaxffxffxba令 ，则2f23 301234()()17()7()9bbaafxdxaffxf
27、fxba令 ，则3()fx34 401234()17()2()7()()9bbaafdxaffxffxba令 ，则4fx3045 501234()()1732()7()()9bbaafxdxaffxffxba令 ，则5()fx56 601234()17()32()7()()9bbaafdxaffxffxba令 ，则6fx012340()7()32()()()7()9hbadfxffxffx 因此，该柯特斯公式具有 5 次代数精度。4。用辛普森公式求积分 并估计误差。10xed解：辛普森公式为 ()4)(62baabSfff此时， 从而有0,1(),xabfe2(4.326Se误差为 4()04()(182.35,0,1baRffe5。推导下列三种矩形求积公式： 23()();()()(;24baba ffxdabafffxdaba证明： 1)(,(,)ffx两边同时在 上积分，得,b
