1、第 7 章复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至(),fxCab()b0f()0fx,ab少有一个实根，这时称 为 的有根区间。x2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？()ffP213一般地，对于函数 如果存在实数 c,当 x=c 时，若 ,那么把 x=c 叫做函数()0fx()0fc的零点。解方程即要求 的所有零点。()0fx()0fx假定 在区间（x，y ）上连续，先找到 a、b 属于区间（x ，y） ，使 ，说明在区间 (a,b)内一定有零点，然后求(a)bf,现在假设()/2f()0,f 果 ，该点就是
2、零点，如果 ,则在区间a(a)/20f内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。(b)/, 如果 ，则在区间 内有零点，从开始继续使用中点函a2)0fa,(b)/数值判断。 这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数 的不动点？如何确定 使它的不动点等价于 的零点()0x()x()fxP215.将方程 改写成等价的形式 ，若要求 满足 ，则 ；()f ()*()0f*()反之亦然，称 为函数 的一个不动点。*x()
3、x4.什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点()xP215求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入()0fx()x0x的右端，可求得，如此反复迭代有10()x，,1,2.kk称为迭代函数，如果对任何 ，由 得到的序列()x0,xab1(),01,2.kkx有极限k，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称lim*kx *()xx为不动点迭代法。1(),01,2.k5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定的收敛阶1(),.)kkxP219设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差1()kkx()x*k满足
4、渐近关系式*kex1,0pkCconst则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1 时称为线性收敛， P1 时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 ， 是单根， 是光()0fx(*)0fxf滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法： 1()kkfxx当 时收敛。|()|kf7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法 1.618 小于牛顿法 2计算量弦截法0按二分法计算，略， 。49.*x按牛顿迭代法，其迭
5、代公式为，取初始值 x=4.6，得1 tan()1kkkkfxxxc 4932.*x9. 研究求 的牛顿公式 ，证明对一切 ，a 0),(21xakk ,1k且序列 是递减的。xk,21x证：显然， ，又因为 ，所以0k 02)()(211 kkk xaxa，又 ，所以序列是,2,axk )(1 kkkkx递减的。10. 对于 的牛顿公式 ，证明0)(xf )(/1kkkxff收敛到 ，这里 为 的根。21)/kkkR2)(* *0)(xf证： 2122()/()kkkkkxxff211()/()kkRxxff 111 2 2112()/()/()kkkkkfxffxf 11. 用牛顿法（4.
6、13）和求重根迭代法（4.14）计算方程 2()sin0xfx的一个近似根，准确到 ，初始值 。51002x牛顿法（4.13） ，m=2。1 2sin1co()kkk kkxfxxm 需要计算到 ，取 。503.145926(7)*.895x求重根迭代法（4.14） 2212sin0.5sin0.5cos0.52i.coincs.()()kk kxxxfxf x 需要计算到 ，取 。 。513.1496(13)*.89x注：matlab 编程计算得出的结果。12. 应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收03ax3a敛性。 31 22()1kkk kfxxxx 1 2322()
7、3kkk kkkkfaxa 当 时， ，说明迭代数列递增。30x3120kkx当 时， ，说明迭代数列递减。30a312kkaxx因此，迭代公式 是收敛的。31 22()1kkk kfxaax 13. 应用牛顿法于方程 ，导出求 的迭代公式，并求 的0)(2xf 15值。21 3231()kkkkkafxxxaax 令01234.657.80x14. 应用牛顿法于方程 和 ，分别导出求 的0)(axfn 01)(nxaf na迭代公式，并求 。21/limkknka的迭代公式：0)(xfn1 11()(nkkknkknfxxa nnn knkknk nknknkknk aa xaxx xaxa
8、aax21)(2 )1(2lim)(lim)2(li)1(li)(li 12121 的迭代公式01)(nxf1 11()( nkkknkkfxaxxaxn nkknkkknnk nknnknknka axxaxaxa21)( 2)1(lim)(21lim)()limli)(li(li 212121 15. 证明迭代公式 是计算 的三阶方法。假定初值 充分靠axkk213)(a0x近 ，求 。*x1)/()(limkka解： aaxaxa xxaxkkk kkkkkkk 41)(31lim)3()(lim )3()(li)3(lili 222 22231 16.用抛物线法求多项式 的两个零点，再利用4(0.5.px降阶求出全部零点。17.非线性方程组 在 附近有一个解，构造一个不动2130x(.4,7)T点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 （按 ） 。51018.用牛顿法解方程组 取 。21xy(0).6,2Tx
