1、第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。近似值的误差 （ 为准确值）：e e=近似值的误差限 ：| |近似值相对误差 （ 较小时约等）：e ee=eex近似值相对误差限 ：=|x|函数值的误差限 ：(x)(x)|(x)| (x)近似值 有 n 位有效数字：=(1.23)10=1210+1=|x|12110+1第二章：插值法1.多项式插值(x)=0+1+其中：(xi)= , =0,1,0+10+0=00+11+1=10+1+=2.拉格朗日插值n()=0()=0 +1()()+1()次插值基函数：()= (0)(1)(+1)()(0)(1)(+1)() , =0,1,引入
2、记号： n+1()=(0)(1)()余项：n()=()()=(+1)()(+1)!n+1() , (,)3.牛顿插值多项式：()=(0)+0,1(0)+0,1,(0)(1)阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：x0,1,1,=x1,1,x0,x1,10余项：()=,0,1,n+1()4.牛顿前插公式（令 ，计算点值，不是多项式）：=0+(0+)=0+0+(1)2! 20+(1)(1)! n0阶差分：nn0=n11n10余项：()=(1)()n+1(+1)! (+1)() , (0,)5.泰勒插值多项式：Pn()=(0)+(0)(0)+f()(0)! (0)阶重节点的均差：x0,x0,x0=
3、1!()(x0)6.埃尔米特三次插值：P()=(0)+0,1(0)+0,1,2(0)(1)+(0)(1)(2)其中，A 的标定为：(1)=(1)7.分段线性插值：()=+1+1+ +1+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于 维空间 ：() ()=02.范数：x=max1| maxa|()|x1=1| |()|x2=( =12)12 (2()123.带权内积和带权正交：(,k)= =0()()() ()()k()(),()=() ()()=04.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（ -范数）逼近多项式 ： ()()()=min()()最佳平方（ -范数）逼近多项式 ：2 (
4、)()()22=min()()22最小二乘拟合（离散点） ：()22=min225.正交多项式递推关系：+1()=()()1()0()=1,1()=0=(),()(),() ,= (),()(1(),1()6.勒让德多项式：正交性： 11()()=0 , 22+1 , =奇偶性：()=(1)()递推关系： (+1)+1()=(2+1)()1()7切比雪夫多项式：递推关系： +1()=2()1()正交性：11()()1-x2=0coscos=0 , 2 , =0 , =0在 上有 个零点：() -1， 1 =cos212,=1,在 上有 个零点：（最优一致逼近）+1() a, +1=b-2 co
5、s2+12(+1)+b+2 ,=0,1,首项 的系数： 218.最佳平方逼近：()()22=min()()()22=()()()()2法方程： =0(,)=(,)正交函数族的最佳平方逼近：k=(,)(,k)9.最小二乘法：22=()=0()()2法方程： =0(,)=(,)正交多项式的最小二乘拟合:=(,)(,k)第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有 次代数精度m求积公式（多项式与函数值乘积的和） ，对于次数不超过 的多项式成立， 不成立m m+1a()=0()2.插值型求积公式n=()=0()()=0()=() ()=()=(+1)()(+1)!+1()3.求积公式代数精度为 时的余项
6、m=() =0()= 1(+1)!+1 =0+14.牛顿-柯特斯公式：将 划分为 等份构造出插值型求积公式a, nn=()=0()()5.梯形公式：当 n=1 时， (1)0=(1)1=12=2 ()+(),()=12()2()6.辛普森公式：当 n=2 时， (2)0=16,(2)1=46,(2)2=16=6 ()+4(+2 )+(),()=180(2 )4(4)()7.复合求积公式： =,=a+,+1/2=+2复合梯形公式：=2()+21=1()+(),()=122()复合辛普森公式：=6()+41=0(+1/2)+21=1()+(),()=180(2)4(4)()8.高斯求积公式（求待定
7、参数 和 ）：k （1 ）求高斯点（ ）：令 与任何次数不超过 的多项式 带权k n+1()=(0)(1)() n p()正交，即则 ，由 个方程求出高斯点 。() ap()n+1()()=0 n+1 0,1（2 ）求待定参数 ： ， 也为次数不超过 的多项式。 a()()=0(x) (x) n9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为 的勒让德多项式 的零点即为求积公式的高斯点。()=1 +1()10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为 的切比雪夫多项式的零点 即为求()=11-x2 =cos2+12+2积公式的高斯点。第五章 解线性方程组的直接方法1.矩阵的从属范数：=max1j=1|(行元素绝
8、对值之和中最大的 )1=max1=1|(列元素绝对值之和中最大的 )2=()2.条件数：()=-1()2= ()(),当 =时 ,()2=|()|()|第六章 解线性方程组的迭代法1.迭代法：x=()=1+1x(+1)=x()+2.迭代法收敛： 存在。limkx()3.迭代法收敛的充分必要条件： ，谱半径()=1|a|8.弱对角占优矩阵：若此矩阵也为不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯- 塞德尔迭代法均收敛。|a|=1|a|其中，可约矩阵：n 阶矩阵 A 有如下型式，否则为不可约矩阵。=(11120 22)9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。x=()=(1)(1+-)=(1),=(
9、1+-)()=1+1=1=()1(+1)=()1(1)+)=1=()1x(+1)=x()+10.最速下降法： 是对称正定矩阵x=令：x(+1)=x()+p()使下式最小：(x(+1)=(x()+()=(x()+(x(),()+22(),()则：=0,=(x(),()(),() =(),()(),()其中：()=(x()=(x()=()故而：x(+1)=x()+()11.共轭梯度法：（1 ）令 ，计算 ，取x(0)=0 (0)=(x(0) (0)=(0)（2 ）对 ，计算=0,1,x(+1)=x()+()=(),()(),()(+1)=()-()(+1)=(+1)+()=(+1),(+1)(),
10、()（3 ）若 或 ，计算停止。()=0 (),()=0第七章 非线性方程与方程组的数值解法1.二分法：1）计算 在有根区间 的端值 ,() a, () ()2）计算区间中点值 (a+b2)3）判断 或者(a+b2)=0 (a+b2)()|2|3|n|任取非零向量 ，构造向量序列，v0 v1=v0,v2=2v0,v+1=+1v0,假设： v0=1x1+2x2+x,10则：v=11x1+22x2+x=11x1+=2i(1)x11x1lim(v+1)(v) =15.收敛速度：=|21|6.幂法改进： u0=00vk=u1,u=vku,u=vklimu= x1x1limu=17.加速方法（原点平移法）：构造矩阵 ，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。=p=|2p1|03.欧拉方法： y+1yx+1=(,) , +1=+(,)4.后退的欧拉法： y+1yx+1=(+1,+1) , +1=+(+1,+1)5.梯形方法：+1=+2(,)+(+1,+1)6.改进欧拉公式：=+(,)=+(+1,)+1=12(+)
