1、2019/11/12,1,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,2,第1章 数值分析与科学计算引论,数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,3,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,1 研究对象 用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现,应用数学,计算数学即数值分析,数值分析（计算方法）的研究对象,(理论与计算结合),插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 非线性方程数值解（7）数值线性代数（5、
2、6、8） 常微与偏微分方程的数值解（9）等,1.1 数值分析的对象、作用与特点,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,4,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,例 考虑线性方程组数值解问题,相关理论与精确解法 根据方程的特点研究算法及相关理论,纯数学,计算数学,3 数值分析特点面向计算机提供有效算法； TSP问题可靠的理论分析（精度、收敛、稳定）;好的计算复杂性（时、空）; 阿基米德、刘徽、祖冲之数值实验 B.C. 3 A.D.3 A.D.5,2 数值分析作用科学研究的手段：科学理论、科学实验与科学计算,2019/11/12,第1章 数值
3、分析与科学计算引论,5,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,1.2 数值计算的误差,1 误差分类,模型误差: 数学模型 实际问题 观测误差: 由观测产生 截断误差/方法误差: 近似解 精确解 舍入误差:计算机字长的限制,(不讨论),2 误差与有效数字,记x为准确值，x* 为 x的一个近似值,定义1 称 为近似值 的绝对误差，简称误差。,强近似值: 当 弱近似值: 当,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,6,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,误差限: 误差绝对值的上界,(不能完全反映近似值的好
4、坏),相对误差:,相对误差限: (可反映出近似程度的好坏),定义2 有效数字 若近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的 第一位非零数 字共有n位，就说 有n位有效数字。,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,7,注: 有效位数与小数点后有多少位无关；m相同情况下，有效位数越多，误差限越小；相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,8,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,3 数值运
5、算的误差估计,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,9,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,1.3 误差定性分析及避免误差危害,概率分析法 向后误差分析法 区间分析法,1. 病态问题与条件数,病态问题,输入(微小的扰动) 输出(相对误差很大),条件数,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,10,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,2. 算法的数值稳定性,定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：
6、P.,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,11,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,12,研究对象作用特点,数值计算误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,3. 误差危害的避免,（1）避免除数的绝对值远远小于被除数绝对值的除法； （2）避免两相近数相减，引起有效数字严重损失； （3） 防止大数吃小数； （4） 简化计算 步骤，减少运算次数； 秦九韶、Horner （5） 数值稳定性。,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,13,研究对象作用特点,数值计算
7、误差,误差分析避免危害,数值计算算法设计,数学软件,算法设计的三种基本技术,（1）化大为小的缩减技术 Zeno悖论 古希腊哲学家结绳记数（13）10=（1101）2 （2）化难为易的校正技术用四则运算计算开方 （3）化粗为精的松弛技术,1. 数值计算中算法设计的技术,周易.系辞下说：“上古结绳而治，后世圣人（伏羲）易之以书契“。,2019/11/12,第1章 数值分析与科学计算引论,14,2019/11/12,第2章 插值法,15,第2章 插值法,引言 拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值,2019/11/
8、12,第2章 插值法,16,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2.1 引言,在科学计算中经常要用较简单的函数来逼近较复杂的函数。按函数逼近问题提法的不同，通常有插值、函数逼近及曲线拟合等三种问题。,（1）插值 设函数,在点,上的函数值分别为,，求一简单函数 ，使,（2.1）,0,2019/11/12,第2章 插值法,17,称点,为插值节点，区间,为插值区间，,为被插值函数，,为,的插值函数。,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,由于多项式具有结构简单，数值计算和理论分析都很方便的优点，因此通常取 为多项式。相应的插值法称
9、为多项式插值。,2019/11/12,第2章 插值法,18,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,（2）函数逼近 设 为定义在区间 上的某类函数构成的线性空间， 为 的子集，对于 ，求 ，使 与 的差在某种度量意义下最小，这就是函数逼近问题。,通常取为连续函数空间，而 通常是多项式、有理函 数或三角多项式函数等。,2019/11/12,第2章 插值法,19,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,20,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2.2 拉格朗日插
10、值,n次插值多顶式：,1 线性插值（一次）,2019/11/12,第2章 插值法,21,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,利用函数的零点及一次多项式性质，由待定系数法可求得,2019/11/12,第2章 插值法,22,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2 抛物插值（二次）,由待定系数法可求得：,2019/11/12,第2章 插值法,23,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,24,3 拉格朗日插值多项式,将线性与抛物型插值推广到一般的情形,引言,拉
11、格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,25,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,26,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,证明 设所求的插值多项式为则由插值条件得关于 的线性方程组,从而线性方程组有唯一解。这就证明了 的存在唯一性。,2019/11/12,第2章 插值法,27,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,4 插值余项与误差估计,2019/11/12,第2章 插值法,28,例2.1
12、 已知 （1）用线性插值及抛物插值计算 的近似值； （2）并问它们各有几位有效数字； （3）求抛物插值的误差。,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,29,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,再用抛物插值计算，取,由抛物插值公式得：,所以,因此用抛物插值所得 的近似值具有4位有效数字。,线性插值仅用两个节点上的信息，精度自然较低，而抛物插值用了三个节点上的信息，精度通常会有所提高。,2019/11/12,第2章 插值法,30,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次
13、样条插值,这又一次说明了用抛物插值所得的近似值具有4位有效数字。,2019/11/12,第2章 插值法,31,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2.3 均差与牛顿插值,一阶均差: 二阶均差: K阶均差:,承袭性,1 均差及其性质,2019/11/12,第2章 插值法,32,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2 牛顿插值公式,可克服Lagrange插值法无承袭性的缺点。,2019/11/12,第2章 插值法,33,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,差商表,2019/11/12,第2章
14、 插值法,34,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,例2.2,解,的表达式中前两项为线性插值，加上第三项后为二次插值，与前例比较结果是相同的。,2019/11/12,第2章 插值法,35,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,前面讨论插值问题只提函数值条件，没有导数条件。有些实际问题不但要求插值函数与被插值函数在节点上函数值相同，即“过点”，而且要求导数值也相同，即“相切”，有时甚至要求高阶导数也相同。满足这种既要求函数值相同也要求导数值相同的插值多项式称为Hermite插值多项式。函数值的个数与导数值的个数可以不等也可以相
15、等，下面分别用基于承袭性方法及基函数方法来讨论。,2.4 埃尔米特插值,2019/11/12,第2章 插值法,36,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,先考虑函数值的个数与导数值的个数不等的情形，以一个具体问题为例进行讨论。问题的提法为已知 ，求二次函数 ，使,这里给出了三个条件，可唯一地确定一个次数不超过二次的多项式。由于前两个条件可确定一个一次函数，正是Lagrange插值函数 ，因此可令,从而,由第三个条件得,2019/11/12,第2章 插值法,37,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,再考虑函数值的个数与导数值的
16、个数相等且具有 个节点的一般情形。,2019/11/12,第2章 插值法,38,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,39,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,定理 满足插值条件的多项式 是存在唯一的。,证明 存在性的证明已由前面的构造而得，下面证明唯一性。 设 也是满足插值条件且次数不超过2n1的多项式，令,。,2019/11/12,第2章 插值法,40,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,与Lagrange插值余项定理类似地有下列Hermite插值
17、余项定理，其证明方法也相似。,定理,2019/11/12,第2章 插值法,41,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,42,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,例2.3 求满足条件 且次数不超过三的Hermite插值多项式,解,例2.4,证：,2019/11/12,第2章 插值法,43,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2.5 分段低次插值,插值多项式的次数是随着插值节点的增加而升高的，那么插值多项式的次数越高是否意味着逼近效果越好呢？,2019/1
18、1/12,第2章 插值法,44,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,1 分段线性插值用折线来逼近曲线。,2019/11/12,第2章 插值法,45,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,46,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,定理,证明,2019/11/12,第2章 插值法,47,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2 分段三次Hermite插值,2019/11/12,第2章 插值法,48,引言,拉格朗日插值,牛顿
19、插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,49,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2.6 三次样条插值插值,2019/11/12,第2章 插值法,50,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,由定义知在每个小区间上为次数不超过三次的多项式，有4个待定系数，共有n个小区间，故共有4n个待定系数。,1）已知两端点的一阶导数值，即 2）已知两端点的二阶导数值，即 3）S(x)为周期的周期函数时,求S(x)的方法有多种，现以S(x)的二阶导数表达S(x)为例。,2019/11/12,第2章
20、 插值法,51,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,2019/11/12,第2章 插值法,52,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,对第一、第二种边界条件可得方程组,对第三种边界条件可得方程组,2019/11/12,第2章 插值法,53,引言,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,分段低次插值,三次样条插值,例2.4 给定数据表如下：,求满足边界条件 的三次样条插值函数,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,54,第3章 函数逼近与曲线拟合,函数逼近基本概念 正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 曲线拟合的最
21、小二乘法,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,55,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3.1 函数逼近基本概念,1 函数逼近与函数空间函数逼近: 对函数类A中给定的函数f(x)A, 要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x) B, 使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小。 一般A Ca,b ,B通常为多项式、有理函数和分段低次多项式。,基本概念: 线性相关、 线性无关、 基、坐标、n维空间、无限维空间。,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,56,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合
22、最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,57,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2 范数与赋范空间,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,58,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3 内积与内积空间,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,59,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,内积空间X上可引入范数 满足范数的三 条性质,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,60,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲
23、线拟合最小二乘,3.2 正交多项式,1 正交函数族与正交多项式,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,61,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,62,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,63,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2 勒让德（Legendre）多项式,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,64,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼
24、近,曲线拟合最小二乘,性质 1. Legendre多项式 在区间 上带权 正交，并且,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,65,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3 切比雪夫（ Chebyshev ）多项式,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,66,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,性质,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,67,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,4 其它常用正交多项式,1.第二类Chebyshev多项式,2. 拉盖尔
25、（Laguerre）多项式,3. Hermite多项式,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,68,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3.3 最佳一致逼近,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,69,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,70,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3.4 最佳平方逼近,问题可转化为求,法方程,1 概念与计算,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,71,基本概念,正交
26、 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,72,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,73,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,当n较大时，法方程的系数矩阵H是严重病态的，所以通常采用正交函数特别是用正交多项式函数做基，以避免病态方程组的求解问题。,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,74,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2 用正交函数作最佳平方逼近
27、,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,75,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,76,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,77,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,78,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,79,基本概念,正交 多项式
28、,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,3.5 曲线拟合的最小二乘法,1 最小二乘及其计算,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,80,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,81,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,82,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,83,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方
29、逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,84,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,85,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,86,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,87,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2 用正交函数作最小二乘拟合,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,88,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,89,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,2019/11/12,第3章 函数逼近与曲线拟合,90,基本概念,正交 多项式,最佳 一致逼近,最佳 平方逼近,曲线拟合最小二乘,
