1、第一章 基本知识（一）,一 绪论 二 误差的来源 三 误差危害的防止,2018/12/6, Wuhan University Confidential,2,提问：数值分析是做什么用的？,这门课程的主要内容是研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法，(要求方法能在计算机上实行，计算机只能做加减乘除和逻辑运算)对求得解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。,2018/12/6, Wuhan University Confidential,3,2018/12/6, Wuhan University Confidential,4,方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个2
2、0 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运算;而用克莱姆法则要进行2010 7 . 9 次运算,如用每秒1 亿次乘法运算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。,2018/12/6, Wuhan University Confidential,5,误差来源,模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差,2018/12/6, Wuhan University Confidential,6,来源一 : 模型误差,模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。,2018/12/6, Wuhan Universi
3、ty Confidential,7,来源二: 观测误差,测量工具精度与测量方法限制,2018/12/6, Wuhan University Confidential,8,来源三:方法误差（截断误差),计算方法本身的原因,若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差,2018/12/6, Wuhan University Confidential,9,来源四: 舍入误差,计算机长有限,2018/12/6, Wuhan University Confidential,10,上述几种误差都会影响计算结果的精确性,因而了解和研究这些误差对数值计算是有帮助的.但是研究
4、前俩种误差对计算结果的影响往往不是计算工作者所能独立完成的,所以我们一般只研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.这俩种误差在数值计算中会产生什么样的影响?这是我们这门课要重视的问题.,We should think much of the influence of these four errors!,2018/12/6, Wuhan University Confidential,11,误差的表示方法,绝对误差绝对误差限 相对误差相对误差限 有效数字,2018/12/6, Wuhan University Confidential,12,绝对误差（限）,定义：准确值 x, 近似值 x*,
5、则e*= x*- x 称为近似值x* 的绝对误差，简称误差。注意：误差可正可负，有量纲（有效数字后面举例）。定义： |x*-x|*，*绝对误差限。例:,e-2.718=0.00028180.0003,2018/12/6, Wuhan University Confidential,13,Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value.,2018/12/6, Wuhan University
6、Confidential,14,相对误差(限),定义:为近似值x* 的相对误差. 经常用 代替相对误差 （ 条件是 较小 ） 为相对误差限 注意:相对误差比绝对误差更能反映出误差的特征,因此在误差分析中,相对误差比绝对误差更重要.,2018/12/6, Wuhan University Confidential,15,有效数字,在实际应用中当准确数 的位数很多时, 我们常用四舍五入的办法来减少位数得到它的近似数.如 若按四舍五入原则分别取四位和五位小数时, 则得其绝对误差不超过末位数的半个单位, 即,2018/12/6, Wuhan University Confidential,16,若近似
7、值 的误差限是其某一位上的半个单位时,我们就称其准确到这一位,且从该位起直到左起第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字.抽象为数学语言为,2018/12/6, Wuhan University Confidential,17,用科学计数法，记 （其中 ）。若则称x* 有n 位有效数字。,注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！,定义,2018/12/6, Wuhan University Confidential,18,例 考察三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位, g9.80m/s2,若以km/s2为单位, g0.00980km/s2
8、,2018/12/6, Wuhan University Confidential,19,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,2018/12/6, Wuhan University Confidential,20,说明:在计算过程中尽量不要损失有效数字,2018/12/6, Wuhan University Confidential,21,例: ,它的相对误差限是多少?例:为了使 的近似数的相对误差不超过 ,问至少要取多少位有效数字.n=4,2018/12/6, Wuhan University Confi
9、dential,22,数值运算的误差估计,2018/12/6, Wuhan University Confidential,23,2018/12/6, Wuhan University Confidential,24,例 设x 3 的相对误差为2%，求 x 的相对误差解,2018/12/6, Wuhan University Confidential,25,例,2018/12/6, Wuhan University Confidential,26,误差危害的防止（二）,2018/12/6, Wuhan University Confidential,27,遵循的原则,选择稳定的计算公式 避免俩
10、近似数相减 绝对值太小的数不宜作除数 防止大数吃掉小数的运算 简化计算公式 减少运算次数,2018/12/6, Wuhan University Confidential,28,一、选择稳定的计算公式,例 计算积分,解 利用分部积分得,2018/12/6, Wuhan University Confidential,29,得到计算公式,What happened?!,2018/12/6, Wuhan University Confidential,30,2018/12/6, Wuhan University Confidential,31,（一）、病态问题与条件数,对一个数值问题，如果输入的数
11、据有微小扰动（误差）， 引起输出数据（解）相对误差很大，称为病态问题。,2018/12/6, Wuhan University Confidential,32,二、避免俩相近数相减,原因:损失有效数字例:,How to avoid this problem?,2018/12/6, Wuhan University Confidential,33,例,例,2018/12/6, Wuhan University Confidential,34,有些计算若无法改变算式, 可采用增加有效数字位数再进行计算;或在计算机上用双倍字长运算, 但这必须以增加机时和多占内存单元为代价.,例,2018/12/6,
12、 Wuhan University Confidential,35, 经验性避免方法：,2018/12/6, Wuhan University Confidential,36,三、绝对值太小的数不宜作除数,若用很小的数作除数机器可能溢出停机, 而且当很小的数有一点误差时, 对计算结果影响很大.,例,What a big error!,2018/12/6, Wuhan University Confidential,37,四、防止大数吃掉小数,例,Remember to avoid this phenomenon!,2018/12/6, Wuhan University Confidential
13、,38,五、简化计算公式, 减少运算次数,例,What a good method!,2018/12/6, Wuhan University Confidential,39,15次乘法运算而不是255次,2018/12/6, Wuhan University Confidential,40,构造数值算法的基本思想近似替代,离散化,递推化,校正，非线性方程线性化，加权平均。 1、近似替代,2018/12/6, Wuhan University Confidential,41,2、离散化：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题,2018/12/6, Wuhan University Confid
14、ential,42,3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）,例 计算多项式的值,秦九韶算法：,乘法运算次数由o(n2)次降为o(n)，降低了运算复杂度.,2018/12/6, Wuhan University Confidential,43,4、校正（松弛法）5、线性化（曲线化直，非线性方程求根的牛顿迭代）,2018/12/6, Wuhan University Confidential,44,学习本课程需注意几点,要掌握算法的原理和思想 要掌握算法的处理技巧、步骤和计算公式 重视误差分析，理解收敛性、稳定性分析的理论 做一定的理论分析证明与计算练习 上机实践,
