1、第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；0ka即时主元素 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍0ka入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，
2、其中一个A为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1 ）不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6
3、、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。正定性齐次性三角不等式设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）x1|nii122|()nix1|ma|iin7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数| A|1，| A|2，| A| ，| A|1 与| A|2 哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有 1|A2|从定义可知， 更容易计算。1|A8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设 为
4、非奇异阵，称数 （ ）为矩阵 A 的条件数1()Avvcond1,2当 时，方程是病态的。()1cond?9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1 ）矩阵行列式的值很小。（2 ）矩阵的范数小。（3 ）矩阵的范数大。（4 ）矩阵的条件数小。（5 ）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1 ） 、 （2 ）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1 ）只要矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax = b 的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。（2 ）对称正定的线性方程组总是良
5、态的。答：正确。（3 ）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4 ）如果 A 非奇异，则 Ax = b 的解的个数是由右端向量 b 的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A 无解。（5 ）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6 ）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7 ）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误， 可以不为 0。（8 ）如果矩阵对称，则| A|1 = | A| 。答：根据范数的定义，正确。（9 ）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。（10 ）在求解非
6、奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11 ）| A |1 = | AT | 。答：根据范数的定义，正确。（12 ）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则。)(cond)(1A答：正确。A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：11 11cod()()A习题1、设 A 是对称阵且 ，经过高斯消去法一步后， A 约化为 ，证明 是对01a 210aT2A称矩阵。证明：设对称矩阵 ，则经过 1 次高斯校区法后，有121212.nnnaaA1 11222() 11222111221122
7、.0.0nnnnnnaaaAaaaa 所以1.Tnaa21212112nnnaAa所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ，其中 ，()ijnAa()ijnAa；(2)1ijna证明：（1）A 的对角元素 ；（2） 是对称正定矩阵；0(1,)iain 2（1）依次取 ，则因为 A 是对称正定矩阵，ixTii ,),( 所以有 。aTi（2） 中的元素满足 ，又因为 A 是对称正定2A ),32,(1)2( njiajiijij 矩阵，满足 ，所以 ，njiajij , )2(11)2( jijijijiijij aaa即 是对称矩阵。2A3、设 为
8、指标为 的初等下三角矩阵（除第 列对角元以下元素外， 和单位阵 相同）kLkkLI，即1,.kknkLm求证当 时， 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中 为初等置换,ij?kijkijLI ijI矩阵。4、试推导矩阵 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角A矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设 ，其中 为三角矩阵。Uxd（1 ）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2 ）计算解三角方程组 的乘除法次数xd（3 ）设 为非奇异矩阵，试推导求 的计算公式1U本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始，逐
9、步计算 n-1,1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1 ）如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵A1A（2 ）如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的TAL下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组1231586x并求出系数矩阵 A 的行列式的值123815|136Ab使用列主元消去法，有 215|1836b25183170561835706183181570621A 的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解12312394568xxx本题考查
10、LU 分解。解： 1456312A0132L1456309754U9、用追赶法解三对角方程组 ，其中bAx， 。210012A01解：追赶法实际为 LU 分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有（1 ）计算 的递推公式i1/20.5cb21()/(1)(0.5)2/3a332/()1/()(2/3)/4cba443 5（2 ）解 Ly=f11/2yfb221()/()(0)(1/2(1)0.5)/3ay33233214yf444()/()()(/4()/)/yb555015156yfa（3 ）解 UX=y51/6x445(4/5)16/3y33/32x221(2/)/y1 56x10、用
11、改进的平方根法解方程组。6413232x本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU 分解。见 P157。9,7,90321x11、下列矩阵能否分解为 （其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵）？若能分解，那U么分解是否唯一。， ， 。76412A132B46152CLU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU 可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式不为零，那么它就可
12、以进行 LU 分解，但反之则不然。解：因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设，3.0156A计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。的最大特征值为
13、 0.3690TA所以 2-范数为 0.6074F-范数 0.842613、求证：（a） ；xnx1（b） 。FFA2根据定义求证。 xnxxiniin111 mama22,1ijFiA2max()T14、设 且非奇异，又设 为 上一向量范数，定义 。试证明nRPxnRPxp是 上向量的一种范数。px根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 ， 、0Pxp ppxcPcx，从而 是pp xPxxPxx 2121212121)( px上向量的一种范数。nR15、设 为对称正定，定义nA，21),(x试证明 是 上向量的一种范数。An根据向量范数的定义来证明：要求就
14、有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 ，12(,)0TAxxA12c()(,)Accx1212122121(), ()TATTAxx xx16、设 A 为非奇异矩阵，求证 。10miny因为 ，yAxAxxAyx 0010101 in1aama1所以得证 10inyA17、矩阵第一行乘以一数，成为 ，证明当 时， 有最小值。21A23()condA本题考查条件数的计算 1()condA首先计算 A 的逆阵12，当 ，取得最小值为 22|3|A23，当 取值越大，则最小值为 21|从而 ，1()()max3,condA又当 时，32。72)3(,ax)1() cond当 时，32。763)2
15、1(,3max)1() Acond综上所述， 时最小，这时 ，即 。7c 218、设 ，计算 A 的条件数9810A ),()vAcond由 可知， ，从而10981， 19806245098)(1AT由 ，319806245)(1 IT，45629809AT由 ，013910622IT可得 ，从而384769212A。39206)( cond， ，从而 。19A19 396011)(1Acond19、证明：如果 是正交矩阵，则 2若 A 是正交阵，则 ，从而 ， ，故TA1IT IT11)(， 。212 1)(212cond20、设 ，且 为 上矩阵的算子范数，证明：,BRn()()cond
16、AcB)()(11 11condABA 21、设 ，其中 为非奇异矩阵，证明：xb（1） 为对称正定矩阵；TA（2 ） 2()()condc，所以 为对称正定矩阵。()0TTxxbTA2ma()inTcondA由于 为对称正定矩阵，所以T T则122222()()maxin()iaxin()miax()inTTTTTcodAAAcod第 7 章复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至(),fxCab()b0f()0fx,ab少有一个实根，这时称 为 的有根区间。x2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？()ffP2
17、13一般地，对于函数 如果存在实数 c,当 x=c 时，若 ,那么把 x=c 叫做函数()0fx()0fc的零点。解方程即要求 的所有零点。()0fx()0fx假定 在区间（x，y ）上连续，先找到 a、b 属于区间（x ，y） ，使 ，说明在区间 (a,b)内一定有零点，然后求(a)bf,现在假设()/2f()0,f 果 ，该点就是零点，如果 ,则在区间a(a)/20f内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。(b)/, 如果 ，则在区间 内有零点，从开始继续使用中点函a2)0fa,(b)/数值判断。 这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点
18、逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数 的不动点？如何确定 使它的不动点等价于 的零点()0x()x()fxP215.将方程 改写成等价的形式 ，若要求 满足 ，则 ；()f ()*()0f*()反之亦然，称 为函数 的一个不动点。*x()x4.什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点()xP215求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入()0fx()x0x的右端，可求得，如此反复迭代有10()x，,1,2.kk称为迭代函数，如果对任何
19、 ，由 得到的序列()x0,xab1(),01,2.kkx有极限k，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称lim*kx *()xx为不动点迭代法。1(),01,2.k5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定的收敛阶1(),.)kkxP219设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差1()kkx()x*k满足渐近关系式*kex1,0pkCconst则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1 时称为线性收敛， P1 时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 ， 是单根， 是光()0
20、fx(*)0fxf滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法： 1()kkfxx当 时收敛。|()|kf7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法 1.618 小于牛顿法 2计算量弦截法0按二分法计算，略， 。49.*x按牛顿迭代法，其迭代公式为，取初始值 x=4.6，得1 tan()1kkkkfxxxc 4932.*x9. 研究求 的牛顿公式 ，证明对一切 ，a 0),(21xakk ,1k且序列 是递减的。xk,21x证：显然， ，又因为 ，所以0k 02)()(211 kkk xaxa，又
21、，所以序列是,2,axk )(1 kkkkx递减的。10. 对于 的牛顿公式 ，证明0)(xf )(/1kkkxff收敛到 ，这里 为 的根。21)/kkkR2)(* *0)(xf证： 2122()/()kkkkkxxff211()/()kkRxxff 111 2 2112()/()/()kkkkkfxffxf 11. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程 2()sin0xfx的一个近似根，准确到 ，初始值 。51002x牛顿法（4.13） ，m=2。1 2sin1co()kkk kkxfxxm 需要计算到 ，取 。503.145926(7)*.895x求重根迭代法（4.14
22、） 2212sin0.5sin0.5cos0.52i.coincs.()()kk kxxxfxf x 需要计算到 ，取 。 。513.1496(13)*.89x注：matlab 编程计算得出的结果。12. 应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收03ax3a敛性。 31 22()1kkk kfxxxx 1 2322()3kkk kkkkfaxa 当 时， ，说明迭代数列递增。30x3120kkx当 时， ，说明迭代数列递减。30a312kkaxx因此，迭代公式 是收敛的。31 22()1kkk kfxaax 13. 应用牛顿法于方程 ，导出求 的迭代公式，并求 的0)(2xf
23、15值。21 3231()kkkkkafxxxaax 令01234.657.80x14. 应用牛顿法于方程 和 ，分别导出求 的0)(axfn 01)(nxaf na迭代公式，并求 。21/limkknka的迭代公式：0)(xfn1 11()(nkkknkknfxxa nnn knkknk nknknkknk aa xaxx xaxaaax21)(2 )1(2lim)(lim)2(li)1(li)(li 12121 的迭代公式01)(nxf1 11()( nkkknkkfxaxxaxn nkknkkknnk nknnknknka axxaxaxa21)( 2)1(lim)(21lim)()limli)(li(li 212121 15. 证明迭代公式 是计算 的三阶方法。假定初值 充分靠axkk213)(a0x近 ，求 。*x1)/()(limkka解： aaxaxa xxaxkkk kkkkkkk 41)(31lim)3()(lim )3()(li)3(lili 222 22231 16.用抛物线法求多项式 的两个零点，再利用4(0.5.px降阶求出全部零点。17.非线性方程组 在 附近有一个解，构造一个不动2130x(.4,7)T点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 （按 ） 。51018.用牛顿法解方程组 取 。21xy(0).6,2Tx
