解析几何的经典结论.doc-道客多多

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1、有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是 .0(,)xy21xyab0P021xyab6. 若在椭圆外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .,P2 021xyab7. 椭圆 (ab 0)的左右焦点分别

2、为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为21xya F.12tnFPS8. 椭圆（ab0）的焦半径公式：xy, ( , ).1|Me20|ex1)Fc2(0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的

3、中点，则，21xyab),(0yx2OMABbka即。02KAB12. 若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022二、双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在

4、左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是 .0(,)xy21xyb0021xyab6. 若在双曲线（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直,2线方程是 .021xyab7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点12FP角形的面积为 .12tFPSc8. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 2xyb1(0)c2()当在右支上时， , .0(,)M10|Mexa2|Fexa当在左支上时， ,09. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交

5、P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点N，则 MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦， M 为 AB 的中点，则，即21xyb),(0yx 02yaxbKABO。02aKAB12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyb 2002xyxab13. 若在双曲线

6、（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .,2 2椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭圆1. 椭圆（abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点21xy1(0)Aa2()的轨迹方程是 .22. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定21xyab0(,)xy向且（常数）.02BCk3. 若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点, , ，则21xy 12PF21.tantco4. 设椭圆（ab0）的两个焦点为 F1、F

7、 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF 1F2中，记21xy, , ，则有 .12FP12F12Psincea5. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭圆上求一点2xy 21P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为椭圆（ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2xy,当且仅当三点共线时，等号成立.211|2|aAFAF2,P7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上

9、长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,2xya PABPBA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) .(2) .(3) P2|cos|abA2tan1e.2otABbSa13. 已知椭圆（ ab0）的右准线与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点21xylEF在右准线上，且轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClCx14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内

10、点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线（a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时21xyb1(0)Aa2()A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直1xyb0(,)xy线 BC 有定向且（常数）.20

11、BCxk3. 若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点, , 21yb 12PF，则（或）.21Ftnt2ccotant2co4. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2中，2xyb记 , , ，则有 .12FP12F12Psin()cea5. 若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，可在双曲线2xyb 2上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F 1,

13、b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 1xyb 0()Px则或 .20a211. 设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、F 2为其焦点记，则(1)21xyb 12F.(2) .1|cosF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴两端点， P 是双曲线上的一点， , ,2xyb PABA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) .P2|cos|abA(2) .(3) .2tan12cotPABbSa13. 已知双曲线（a0,b0）的右准线与 x 轴相交于点，过双曲线右焦点的直

14、线与双曲线相交于2xyblEFA、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半

15、焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 21122ABkxyk2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。3、知直线横截距，常设其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线)与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线间的距离为。5、若直线与直线平行则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；8、为直径端点的圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

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