1、129第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 1)(1n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种 0)()(第二种 111第三种 设 Sn 1)(则 ,1S,122这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 8.1 常数项级数（1） 内容要点一、基本概念与性质1. 基本概念无穷多个数 依次相加所得
2、到的表达式 称 ,321nu nn uu321为数项级数（简称级数） 。（ ）称为级数的前 n 项的部分和，nkuS123n ,321称为部分和数列。),(n130SuS，uS，n nn 1 1)(lim记 以且 其 和 为是 收 敛 的则 称 级 数存 在若不存在，则称级数 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义nli若 1n下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。 ）2 基本性质（1） 如果 1 1 11)(,n n nnn vbua，bvau，bavu 且 等 于收 敛则为 常 数皆 收 敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不
3、变。（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4） 级数1nu收 敛 的 必 要 条 件 是 0limnu（注：引言中提到的级数 ，因此收敛级数的必要条件不1,)(n具 有 nli不 存 在1n满足， 发散。调和级数 满足 却是发散的，所以1n1nnli但,01n满足收敛级数的必要条件 ，而 收敛性尚不能确定。 ）nlim0u1nu3两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）0nar当 时， 收敛10nra1当 时， 发散r0n131（2）p 一级数1n当 p1
4、时， 收敛， 当 p 1 时 发散1npnp（注：p1 时， 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知 ）1np 1n62二、正项级数敛散性的判别法则 称为正项级数，这时 是单调,3210nu若 1nunnSS所 以,3211加数列，它是否收敛就只取决于 是否有上界，因此 有上界，这是正项级nS1nnu收 敛数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1. 比较判别法收敛，则 收敛；如果 发如 果皆 成 立时当设 ，u，cvNncn0,01nv1nu1nu散，则 发散。1nv2. 比较判别法的极限形式设 若),32(,0vun nlimAvu1) 当 00，而nunlimu11） 当
5、 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效（注：如果 不存在时，此判别法也无法nlimu1用）4根值判别法（柯西）设 0，而nunlimu1） 当 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在 =1 情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1交错级数概念若 0, 称为交错级数。nu1nu1)(2莱布尼兹判别法设交错级数 满足：1nn1)(1331） nu),321(2
6、) =0 ，则 收敛，且 01 时， 是绝对收敛的1nn1)(2） 当 01 时，级数 收敛。1n:()nfx证 记 100当 时 ,(),.nfx故 在 上 单 调 增 加1(),nf而 由 连 续 函 数 的 介 值 定 理 知0n nxx存 在 唯 一 正 实 根nnx由 与 知13710,nnx10()n故 当 时 ,1n而 正 项 级 数 收 敛 ,所以当 1 时，级数 收敛。1nx 8.2 幂级数（甲）内容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）1 函数项级数的概念设 皆定义在区间 I 上，则 称为区间 I 上的函数项级数。)(xun),321n)(xu2 收敛域设 ，如果常
7、数项级数 收敛，则称 是函数项级数 的收敛点，如果0x1n)(0xu0x1n)(xu发散，则称 是 的发散点。函数项级数 的所有收敛点构成的集1n)(0u01n)(1n)(合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3 和函数在 的收敛域的每一点都有和，它与 有关，因此 ， 收敛域1n)(xux)(xS1n)(ux称 为函数项级数 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。)(S1n)(xu二、幂级数及其收敛域1 幂级数概念138称为 的幂级数， 称为幂级数的系数，是常数，当0nanx)(0)(0x),210(na时， 称为 的幂级数。一般讨论 有关问题，作平移替换就可以得出00n 0n
8、x有关的有关结论。0nanx)(02幂级数的收敛域幂级数 的收敛域分三种情形：0nx（1） 收敛域为 ，亦即 对每一个 皆收敛，我们称它的收敛半径),(0nax R（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数 皆发散，我们称它的收敛半径 。0n 0（3） 收敛域为 R，RR我 们 称 它 的 收 敛 半 径 为中 的 一 种或或或 ,),( 0所以求幂级数的收敛半径 非常重要， （1） （2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论 两点上的敛散性。1 1lim()lim(),(,n nalal Rl如 果 包 括 或 包 括 则 收 敛 半 径 若0,Rl则 若 则 如 果 上 述 两
9、极 限 不 成 立 那 么 就 要 用 其 它 方 法 求 收 敛.半 径 后 面 有 所 讨 论三、幂级数的性质1 四则运算设 0nax021),(;),(nRxgbRf139),min()()()( ,min(), 210 000 21 Rxgxfbabaxba Rxgfn nknnnnn 则2. 分析性质设幂级数 的收敛半径 0，S( ) = 为和函数，则有下列重要性质。0nxRx0n（1） 且 有 逐 项 求 导 公 式内 可 导在S),()求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出(x010)(nnn xaxa公 式 为内 有 任 意 阶 导 数在 ，RS),) ),321(,)1() k
10、Rxaknxkn knk（2） 内 有 逐 项 积 分 公 式在 ),)S幂级数的收敛半径也不变。0010(nxnnx xadtt 且 这 个（3）若 0nax :)()(则 有 下 列 性 质成 立在 ，RS(i) ()0 0lm()lim()n nxRxRnSaR 成 立 成 立(ii) )(1100100RnnnndadS 成 立成 立(iii) 1)(nx不 一 定 收 敛在1().()naSRSR 也 即 不 一 定 成 立1400()naxR如 果 在 发 散 ,那 么 逐 项 求 导 后 的 级 数1()n在 一 定 发 散 ,而 逐 项 积 分 后 的 级 数10().nnax
11、R在 有 可 能 收 敛四、幂级数求和函数的基本方法1把已知函数的幂级数展开式（ 8.3 将讨论）反过来用。下列基本公式应熟背： 01()nxx0(2)!nxe210(3)sin,()!nnx20(4)co,()!nnx 10(5)l),(1)nn x1()(6) (),1()!nn x 为 实 常 数2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（乙）典型例题例 1 求下列幂级数的和函数。（1） （2）0)2(nnx021)(nnx解：（1）可求出收敛半径 R=1, 收敛域为（
12、-1，1）141000()21)2nnnSxxx10xntdx1 122nxx22(,)()()x（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域 2200(1)(1)nnnSxxx000()4nnnn120 04()1),()1,1nnnSxxSxx令 30()4nn11000()(1) 1xxnnn xStdtd12()()xx1130()()44nnn xSl)()x1ln(1)nttt这 里 用 到 公 式142123214()() ln(1)()SxSx xx于 是 243ln(),0()且 0,()1,xSa从 上 面 运 算 也 看 先 要 假 设 但20043ln1lim()li()xx
13、S又 0()li,()0.1xSx说 明 在 处 不 但 有 定 义 而 且 是 连 续 的 这 正.是 幂 级 数 的 和 函 数 应 具 备 的 性 质2,()43ln(1)1,0)Sxxx因 此 , 且2( ,(),(1,nxnn nefffef例 已 知 满 足 为 正 整 数 且 求 函 数 项 级 数1()nfx之 和 .:解 解 一 组 微 分 方 程 可 得 通 解()(1,23)nxnfec(1,0(,)nnf 由 初 始 条 件 得()2,3)xnfe故 111(,1,nx nnf Sxx从 而 令 (,)x而 在 内1431()nSxx0()l()dt故 1()ln(1)
14、,1,xnfex于 是 111()l2nnf e又 ,x因 此 ,在 时 都 有1()ln(1)xnfe4683()(),:224xxSx例 设 级 数 的 和 函 数 为 求(1)Sx所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程的 表 达 式:()(0)解 357246xxS()2()xS3()2得 3(),(0).xSxyy因 此 , 是 初 值 问 题 解1443(2)2xy为 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 ,它 的 通 解3xdxdec221x22(0),1,1xycye由 初 始 条 件 求 出 故22()xSxe于 是 201)()4n例 求 的 和 2020()1()()2n n
15、nn解 01()23nn而2 22 011()()()xn nn nSx td令 122()()nnnxx2344 1,2,1()()22 xxx 收 敛 域214()()7nnS在 收 敛 域 的 内 部14520(1)4237n则 8.3 将函数展开成幂级数（甲）内容要点一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念1 基本概念 ()000 0f(x) )!nnfxx 设 函 数 在 点 的 某 一 领 域 内 具 有 任 意 阶 导 数 ,则 级 数0.(: ?(f f称 为 函 数 在 处 的 泰 勒 级 数 注 这 里 泰 勒 级 数 是 否 收 敛 是 否 收 敛 于 都 不 知),x道 特 别
16、 地 当 则 级 数()0()!nff称 为 的 麦 克 劳 林 级 数2.函 数 展 成 幂 级 数 的 条 件0() ,fxR设 在 内 有 任 意 阶 导 数 它 的 泰 勒 公 式 ()20 000 0 0()() )()!nnfxfxffx Rx(),n其 中 为 阶 余 项 它 的 拉 格 朗 日 型 为(1)0010()(1)!nnfxRx ()000 0() lim(),!nn nff RRxxR 则 的 充 要 条 件 为0 .fx而 且 在 处 幂 级 数 展 开 式 是 唯 一 的, .特 别 地 时 得 到 函 数 展 成 麦 克 劳 林 级 数 的 充 分 必 要 条
17、 件146二、函数展成幂级数的方法1套公式 000()(),nnfxaxxR()(,12)!nf 01,!xnex例 210si(),)!nn1(1)(1) ,1,()!nnxx 为 实 常 数2.逐 项 求 导 20:cos(in)(1),!nxx例 1201()(),()nnx3.变 量 替 换 法2 2001: ,!xtnnetx例 2222001()(1),1()nnn xx4.逐 项 积 分 法 001:ln()()xxndttd例 10(1)nx1470(1)ln2n由 此 可 得 2122000 ()arct ()xx nnnxdttd0(1)arct4n由 此 可 得14800
18、21cos25. s()()(), , .(1(1)1.)arctn,2:()4nxx xxfx 2其 它 方 法 例 把 用 变 量 替 换 法 展 开 ， 代 入 化 简 即 可上 面 都 是 把 函 数 展 成 的 幂 级 数 麦 克 劳 林 级 数 如 果 要 展 成 的 幂 级 数 泰 勒 级数 一 般 经 过 适 当 处 理 后 可 利 用 麦 克 劳 林 级 数 的 结 果 后 面 典 型 例 题 中 再 讨 论乙 典 型 例 题例 将 展 成 的 幂 级 数 并 求 的 和解 20020210 2104,0)arctn1()(244()1(,)21,()241() (,421,
19、(2nxxnnnnxffftdtxffxxxf收 敛 函 数 在 处 连 续将 代 入 100122 )4)(),22.ln():l1()(02)3.)31:12()3(1)nnnnnffxxxfxxxx 又 故 得例 求 在 处 的 泰 勒 级 数解例 求 在 处 的 泰 勒 级 数解 103()()(13)2nnnxx149)(!3)4(!2)()4(12sin)cos(2 )4sin(co)4c(i4ins:)(.5)!21( )1(!3)( )!)(!1(!2)(1:)().4 21201 xxx xxxxfef xnxxedxxneexdxf nnxx 解 处 的 泰 勒 级 数在求
20、例 这 里 补 充 定 义 时 函 数 值 为这 里 补 充 定 义解 处 的 泰 勒 级 数在求例 8.4 傅里叶级数（数学一）（甲）内容要点一、三角函数系的正交性 也 即 有皆 为则 任 意 两 个 元 素 的 内 积再 定 义 内 积间看 作 实 数 域 上 的 线 性 空上 的 三 角 函 数 系定 义 在 ,0)(),( ,sin,co,2sin,co,sin,co,1)0(lldxgff ，xllxllxl 1cos1sin0(1,2)l ll lnnl150sincos0,(,12,)llmxdmnl sii0(,12,)ll lxdmnnl l 且.故 称 这 个 三 角 函
21、数 系 是 正 交 的二、傅里叶系数与傅里叶级数 ()20),fxl l设 以 为 周 期 或 只 定 义 在 上 的 可 积 函 数1cos,0,12lnlnafxdnl 令 ()i,nlbfl , .nafx则 称 为 的 傅 里 叶 系 数01(cossin)2naxbxll三 角 级 数 () 2,)fx l称 为 的 傅 里 叶 级 数 关 于 周 期 为 或 只 在01(cossin)2naf xbxll记 以 ( ,f值 得 注 意 在 现 在 假 设 条 件 下 有 傅 里 叶 系 数 和 傅 里 叶 级 数 的 相 关 概 念 但 并, ()fx不 知 道 傅 里 叶 级 数
22、 是 否 收 敛 更 不 知 道 傅 里 叶 级 数 是 否 收 敛 于三、狄利克雷收敛定理 (),fxl设 在 上 定 义 且 满 足1在 上 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点(2),fxl在 上 只 有 有 限 个 极 值 点15101(), (cossin)(,2nafxl xbxSll则 在 上 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 且(), (,)(10(), )2(),f xlfSxfxxfllxl当 为 的 连 续 点当 为 的 第 一 类 间 断 点当我们把上述两个条件称为狄利克雷条件四、正弦级数与余弦级数 1.()2, .fxll设 以 为 周 期 或 在 上
23、 定 义 且 满 足 狄 利 克 雷 条 件0(12)na如 果 是 奇 函 数 则0()si,lnbfxdl而 f这 时 的 傅 里 叶 级 数 为 正 弦 级 数(2)(),0(1,23)nxb如 果 是 偶 函 数 则0cos,lnafxdl而 () .fx这 时 的 傅 里 叶 级 数 为 余 弦 级 数2.,0, , ,ll设 在 上 定 义 且 在 上 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 只 有 有 限 个 极 值 点()0fx那 么 在 上 可 以 有 下 列 两 个 傅 里 叶 展 开 式11cos2nafl0()(0,12)lnfxdxl其 中1521(2
24、)()sin,(1,23)fxbxl0()ilnbfdl其 中 1,0, ,0;(2),()0,fxl l fxl因 为 在 中 相 当 于 从 按 偶 函 数 扩 充 定 义 到 在 中 相 当 于 从按 奇 函 数 扩 充 定 义 到 得 出 傅 里 叶 级 数 只 在 上 因 此 为 余 弦 级 数 或 正 弦 级 数. .都 可 以 至 于 这 些 级 数 收 敛 的 和 函 数 仍 按 狄 利 克 雷 收 敛 定 理 的 结 论()乙 典 型 例 题1.0,510fxx例 把 展 成 以 为 周 期 的 傅 里 叶 级 数15:()cosnnad解 15152xx15151520si
25、nsin()cosnx00,.naa推 演 过 程 中 没 有 意 义 要 重 新 求150()xd15 10()sin()(1,2)nnb n1()0si(5)nfxxx 故 2.2()2,f例 将 函 数 展 成 以 为 周 期 的 傅 里 叶 级 数 并 由 此 求 级 数15321.n的 和:(), ,fx解 为 偶 函 数 只 能 展 成 余 弦 级 数 即10,2()5,nbaxd1100()cos()cosnnnxd2(,2)1, ,因 为 所 给 函 数 在 上 满 足 狄 氏 收 敛 定 理 故 215(cos)2s(),1,nxnx 2204()k 222005411, ,()()8kkx 当 时 上 式 又2222210101()()()4nkkkn2210443()386nk故 3.(),(),:nfxabfx例 设 在 上 可 积 为 的 傅 里 叶 系 数 试 证22201()Nnabfxd: N证 明 只 需 证 明 对 任 意 正 整 数 都 有22201()()Nnabfxd15401()(cosin)2NNnaSxxb令 22)(Nfdfd()xSSx222220011()()NNnnaafdbb22201()()Nnabfxd
