1、1利用导数研究方程的根函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数 ()e,xfR. () 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 21yx有唯一公共点.【答案】解:() f (x)的反函数 gln)(,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= (1)g. 1()gx1
2、()gk.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 () 证明曲线 y=f(x)与曲线 2xy有唯一公共点,过程如下. 则令 ,2)( Rexfhx0)(,)0()(,1)()(,1( hhhex x ，且的 导 数因此,单 调 递 增时当单 调 递 减时当 0;0 xyxxy )(,)(Rhxy 个 零 点上 单 调 递 增 ， 最 多 有 一在所 以所以,曲线 y=f(x)与曲线 12xy只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数 ( , 为自然对数的底数).()1xafxe(1)求函数 的极值;(2)当 的值时 ,若直线 与曲线 没有公共点,求 的最大值.a:1lykx()yf
3、xk(1) , 1xfe当 时, , 为 上的增函数 ,所以函数 无极值. 00ffx,fx当 时,令 ,得 , . aealn, ; , . lnxfxl0fx所以 在 上单调递减 ,在 上单调递增, fla故 在 处取得极小值 ,且极小值为 ,无极大值. xlnfa2综上,当 时,函数 无极小值; 0afx当 , 在 处取得极小值 ,无极大值. fxlnalna(2)当 时, . 11xe直线 : 与曲线 没有公共点, lykxyf等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程: 1xeRx(*) 1xke在 上没有实数解. R当 时,方程 (*)可化为 ,在 上没有实数解. 10x
4、e当 时,方程 (*)化为 . 1kk令 ,则有 . xge1xg令 ,得 , 0当 变化时, 的变化情况如下表 :xx,111,gx 0AeA当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 , 1xmin1xexgx从而 的取值范围为 .g,所以当 时, 方程(*)无实数解, 1ke解得 的取值范围是 . ,1综上,得 的最大值为 . 3、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围f)(g解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)12 )(f),(3 在区间 上恒
5、成立0)1()(2xkxf ),2(即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k11k1k1k（2）设 ，332xgfh)()()(2 xxx令 得 或 由（1）知 ，0k1k当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意1k0)(2 h当 时， ， 随 的变化情况如下表：)hx,)1,(k),1()( 0 极大值 3263k 极小值 2k由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，021k)(xfg )(xh故需 ，即 ，解得3630)12kk0212k31k综上，所求 的取值范围为k34、 已知函数 是实数集R上的奇函数，函数 是区ln()xfea为 常 数 singxf
6、x间一1，1上的减函数(I)求a的值；(II) 若 在x一1， 1上恒成立， 求t的取值范围2gxt() 讨论关于x的方程 的根的个数。2ln()xemf解：（I） 是奇函数，则 恒成立.l)(aefx(0)f0ln().ea（II）又 在1，1上单调递减，01,0.eaxg,1sin)(maxg,sin2t只 需令.)()( 恒 成 立其 中 tt ),(1sin)(2tth则 .,01sin102tt ,01sin2恒 成 立而 tt 1t（III）由（I）知 2l,)( mexxxf 方 程 为令 ， ，exf ,l)(221 1l)(f当 上为,0(),)(011ffe在时 增函数；4
7、上为减函数，),0(,)(,11exfxfex在时 当 时， 而 ，.)ma222)(emxf、 在同一坐标系的大致图象如图所示，)(1xf函 数2f当 时，方程无解. 当 时，方程有一个ee1,2即 ee1,122即根.当 时，方程有两个根.m,122即5、.已知函数 3()sin(),fxaR且在 0,2上的最大值为 32，（1）求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。（I） 3()sin2fxa在 2,0上恒成立，且能取到等号gxa在 上恒成立，且能取到等号m()asincos0()xxygx在 2,0上单调递增()122ga3sinf（II
8、） 3si()cofxhxx当 ,0时， 0()fyf在 0,2上单调递增()2f x在 上有唯一零点当 x,时， ()2cosin()hxfx 当 ,2上单调递减()02f存在唯一 0(,2x使 0f00,()fxxf 得： ()在 ,)2上单调递增， ,x上单调递减53()0,()022ff得： x时， ()fx，0,时， 0， ()yfx在 0,上有唯一零点由得：函数 )(f在 ,内有两个零点。6、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围为32()fxabcx0 ()fx，求：(1,3)（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围(1,)Pm(
9、)yfm解：（1）由题意得： 2331)(,0)fxabxcaxa在 上 ；在 上 ；在 上,01,03(fx因此 在 处取得极小值()f 4 ， ， 4abc()f ()276fbc由联立得： ， 69abc32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,yftt23231()y t21(69txtt过(9)6,m23(mtt3)0g令 ，2(61)ttt求得： ，方程 有三个根。,(g需： )0(2g3940m16故： ；因此所求实数 的范围为： 16m(,)7、已知 （ 为常数）在 时取得一个极值，32()4fxax2x（1）确定实数 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数；t ()
10、f,t（2）若经过点 A（2，c） （ ）可作曲线 的三条切线，求 的取值范围8()yfc解：（1）函数 在 时取得一个极值，且 ，()f 234xa， ()40fa2a()2f x或 时， 或 时， 时，3x,3fxx()0,， 在 上都是增函数，在 上是减函数 使()0f(),)23在区间 上是单调函数的 的取值范围是x,2tt,)（2）由（1）知 设切点为 ，则切线的斜率32()4fxx0(Pxy6，所以切线方程为： 将点200()34kfxx3220000(4)(34)(yxxx代人上述方程，整理得： ,Ac3208xc经过点 可作曲线 的三条切线，方程 有三,)(c)f2008c个不同的实根 设 ，则3200g， 在 上单调递增，在 上单调20()61gxxx或 0()gx,)3(,)3递减，在 上单调递增， 故 得： ,(),32g极 大极 小 287c
