1、集合的概念与集合的表示概 念 把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性元素不重复元素无顺序列举法 元素间用“，” 隔开写清楚集合中元素的代号，如xR|x0 ，不能写成x2；说明该集合中元素的性质；集合表示方法描述法 所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如 A、B、C 表示集合，用小写拉丁字母a、b、c 表示集合中的元素，如果 a 是集合 A 中的元素就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a A。常用数集及其记法N 为零和正整数组成的集合，即自然数
2、集，N *或 N+为正整数组成的集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成的集合。例题 1 判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）R=R；（2）方程组 的解集为x=1，y=2；12xy（3）x|y=x 21=y|y=x 21= （x，y）|y=x 21；（4）平面内线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN 。答案：（1）R=R 是不正确的，R 通常为 R=x|x 为实数，即 R 本身可表示为全体实数的集合，而R则表示含有一个字母 R 的集合，它不能为实数的集合。（2）方程组 的解集为x=1，y=2是不对的，因为解集的元素是有序实数对12xy（x，y） ，正确答案
3、应为（x ，y） | =（1，2）。x（3）x|y=x 21=y|y=x 21= （x，y）|y=x 21是不正确的。x|y=x21表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x 21=x|x R=R。y|y=x21表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x 21=y|y 1 。（x，y）|y=x 21 表示点的集合，这些点在二次函数 y=x21 的图象上。（4）平面上线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN ，该命题是正确的。知识点拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）| 的形式；对?yx描述法
4、表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。例题 2 已知 a1 ，1，a 2，则 a 的值为_。答案：a1，1，a 2，a 可以等于 1，1，a 2。（1）当 a=1 时，集合则为1，1，1 ，不符合集合元素的互异性。故 a1。（2）同上，a=1 时也不成立。（3）a=a 2 时，得 a=0 或 1，a=1 不满足，舍去，a=0 时集合为1，1，0 。综上，a=0。知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：下列各组对象中不能构
5、成集合的是（ ）A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为 A、B、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而 D 中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将 D 中“身高较高的男同学”改为“身高 175 cm 以上的男同学”，则能构成集合。答案：D判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性， （2）互异性， （3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，
6、而不是模棱两可。例题 判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于 1.75 m 的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。答案：（1）高一（1）班中身高大于 1.75 m 的学生是确定的，因此身高大于 1.75 m 的学生可以组成集合。（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。（答题时间：15 分钟）1. 下列集合表示法正确的是（ ）A. 1，2，3，3B. 全体有理数C. 00D. 不等式 x32 的解集是x| x52. 下列语句集合x|00 且 y0。因此集合 M 表示第二、四象限内的点集。6. （0，6） ， （1，5） ， （2，4 ） ，
7、 （3，3） ， （4，2） ， （5，1 ） ， （6，0）集合的运算子 集 真 子 集定 义对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，称集合 A 为集合 B 的子集若集合 A B，但存在元素 x B，且 xA，称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言 若任意 xA，有 xB，则 A B。 若集合 A B，但存在元素 x B，且 xA，则 A B表示方法A 为集合 B 的子集，记作 A B 或 BA。A 不是 B 的子集时，记作 A B 或 BA。若集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB 或 B A。性 质 A A AA B，B C A CA B，且 B
8、 C A C子集个数 含 n 个元素的集合 A 的子集个数为2含 n 个元素的集合 A 的真子集个数为12空 集 不含任何元素的集合，记为 。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若 A 非空（即 A ），则有 A。集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或 xB。（3）图形语言（Venn 图）表示： 。2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且
9、 xB。（3）图形语言表示（Venn 图）： 。3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集。（2）符号语言表示： A=x|xU ，且 x A。（3）图形语言表示（Venn 图）： ，阴影部分表示 A。例题 1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1 ；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1 ；（5）如果 A B 且 AB，那么 B 必是 A 的真子集；（6）A B 与 B A 不能同时成立
10、。思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即答案：（1）不正确。应该改为： ，表示这个集合的元素是 。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正确。1，2，3与3，2，1 表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1 ， 。（5）正确。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立知识点拨：结合本题，要注意以下几点：（1） 不表示空集，它表示以空集为
11、元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的符号“ ”，不能写成 ，也不能写成 。（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到 是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）正确。A B 包括两种情形： A B 和 A=B。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立。例题 2 已知集合 A=x|ax23x+2=0，aR ，若 A 中元素至多只有一个，求 a 的取值范围。知识点拨：对于方程 ax23x+2=0，a R 的解，要看这个方程左边的
12、二次项的系数，a=0 或 a0 时，方程的根的情况是不一样的。则集合 A 的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：（1）a=0 时，原方程为3x+2=0 x= ，符合题意；32（2）a0 时，方程 ax23x+2=0 为一元二次方程，=9 8a0 a 。89当 a 时，方程 ax23x+2=0 无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。89综合（1） （2） ，知 a=0 或 a 。89例题 3 设集合 Ax|xa|0，AE0，CD0，即 解不等式组，得函.02,Rx数 y 的定义域为x|0f（2a） B. f（a 2）0，143a 2+1a。f（x）在（，+）上为减函数，f（a 2+1）0，
13、y=f（x 2）f（x 1）=（ x23+1）（x 13+1）=x13x 23=（x 1x 2） （x 12+x1x2+x22）=（x 1x 2） （x 1+ ） 2+ x22 。4x 1x 2=x0，4yx 20，f（x 1）f（x 2） 。由于 f（x）是偶函数，因此 f（x 1）=f（x 1） ，f（x 2）=f（x 2） 。f（x 1）f（x 2） ，即 f（x）在（，0）上是增函数。点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题。例题 2 若 f（x）是定义在 R 上的
14、奇函数，当 x0 时，f（x）=x（1x） ，求当 x0时，函数 f（x）的解析式。思路导航：将 x0 时 f（x）的解析式转化到 x0 的区间上，这是解决本题的关键。由于 f（x）是奇函数，当 x 0 时，f （x）=f（x）= （x） 1（x） =x（1+x） ；当 x=0 时，f（0）= f （0） ，即 f（0）=0。当 x0 时，f（x）=x（1+x） 。答案：当 x0 时，f（x）=x（1+x）点评：判断分段函数的奇偶性时，应对 x 在各个区间上分别讨论，由 x 的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有 f（ x）=f（x）或 f（x）= f（x ） ，从而判定
15、其奇偶性。例题 3 设 f（x）在 R 上是偶函数，在区间（，0 ）上递增，且有 f（2a 2+a+1）f（3a 22a+1 ） ，求 a 的取值范围。思路导航：要求 a 的取值范围，就要列关于 a 的不等式（组） ，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式” 为“具体的代数式”是关键。答案：由 f（x）在 R 上是偶函数，在区间（，0）上递增知 f（x）在（0，+ ）上递减。2a 2+a+1=2（a+ ） 2+ 0，3a 22a+1=3（a ） 2+ 0，418731且 f（2a 22a+1）f（3a 22a+1） ，2a 2+a+13a 22a+1，即 a23a0。解得 0a3。点评：
16、该例题在求解过程中，要注意利用偶函数的对称性，一侧递增，一侧递减。复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：（1）若函数 f（x ） 、g（x） 、fg（x ） 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x） ，y=f（u）的奇偶性得到 y=fg（x） 的奇偶性的规律如下：函数 奇偶性u=g（x） 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数y=f（u） 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数y=fg（x） 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数即当且仅当 u=g（x）和 y=f（u）都是奇函数时，复合函数 y=fg（x） 是奇函数。（2）若函数 u=g（x）在区间a，b上是单调函数，函数 y=f（u）
17、在g（a） ，g（b） 或g（b） ，g（a） 上也是单调函数，那么复合函数 y=fg（x） 在区间a，b上是单调函数，其单调性规律如下：函数 单调性u=g（ x） 增函数 增函数 减函数 减函数y=f（u） 增函数 减函数 增函数 减函数y=fg （x） 增函数 减函数 减函数 增函数即当 u=g（x） ，y =f（u）增减性相同时，y=fg（x） 为增函数；增减性相反时，y=f g（x） 为减函数。（答题时间：15 分钟）1. 下列命题中错误的是（ ）图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数奇函数的图象一定过原点偶函数的图象与 y 轴一定相交图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数A. B.
18、 C. D. 2. 已知 f（x） x7ax 5bx5，且 f（3）5，则 f（3）（ ）A. 15 B. 15C. 10 D. 103. 已知偶函数 f（x）在区间0，）单调递增，则满足 f（2x1）f 的 x 取值范围(13)是（ ）A. B. (13，23) 13，23)C. D. (12，23) 12，23)4. 若 f（x）ax 2bxc （a0）为偶函数，则 g（x）ax 3bx 2cx 的奇偶性为_。5. 已知 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且 f（x） g（x）x 2x2，求 f（x ） ，g（x）的表达式。6. 函数 f（x） 是定义在（1，1）上的奇函数，且 f ，求
19、函数 f（x ）的解ax b1 x2 (12) 25析式。7. 定义在（1，1）上的奇函数 f（x ）是减函数，且 f（ 1a）f （1a 2）0，求实数a 的取值范围。1. D解析：f（x） 为奇函数，其图象不过原点，故错；yError!为偶函数，其图象与1xy 轴不相交，故 错。2. A解析：解法 1：f（3）（ 3） 7a（3） 5（3）b5（3 7a3 53b5） 10f（3）105，f（3）15.解法 2：设 g（x）x 7ax 5 bx，则 g（x）为奇函数，f（3）g（3）5 g（3）55，g（3）10，f（3） g（3）515.3. A解析：由题意得|2x 1| ， 2x113
20、 13 132x ， x ，选 A.23 43 13 234. 奇函数解析：由 f（x） ax2bxc（a0）为偶函数得 b0，因此 g（x）ax 3cx， g（x ）g （x ） ，g（x）是奇函数。5. f（x）x 22，g（x）x.解析：f（x） g（x）x 2x2，由 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）g（x）x 2x 2又 f（x）g（ x）x 2x 2，两式联立得：f（x）x 22，g（x）x 。6. f（x） 。x1 x2解析：因为 f（x ）是奇函数且定义域为（1，1） ，所以 f（0）0，即 b0.又 f ，所以 ，(12) 2512a1 (12)2 25所以 a1，所以 f（x ） 。x1 x27. a|0a1 解析：由 f（1a）f（1a 2）0 及 f（x ）为奇函数得，f（1a）f（a 21） ，f（x）在（ 1，1）上单调减，Error! 解得 0a1.故 a 的取值范围是a|0a1 。
