1、.毕业论文（设计）论文题目： 维数变换与问题求解目 录.前言 11 降维 11.1 减元 .11.2 降次 .31.3 空间维数降低 .52 升维 .82.1 增元 .82.2 增次 102.3 维系增加 113 维数变换在教学中的应用 .123.1 展开 13参考文献： .15致谢 .16.维数变换与问题求解摘 要: 本文结合中学数学教学与解题教学，对维数变换与问题求解，作一较为系统地介绍和深入的研究，达到对其规律性的认识。主要通过升维与降维两个方面来对维数变换来进行研究，以达到解决相关问题的目的。关键词: 降维；升维；维数变换。Dimension transform and Problem
2、 solvingStudent:Huang Ziyong(Faculty Adviser：Ping Jingshui)(Department of mathematics and Computing Sciences, Huainan Normal University)Abstract: Combining with the middle school mathematics teaching and the problem solving teaching, on dimension transformation and problem solving, introduce a more
3、systematic and in-depth research by dimension reduction and dimension raising, to achieve the understanding of the regularity.Keywords: Dimension reduction; Dimension raising; Dimension transformation.前言在中学解题教学中，对维数变换缺乏较为深入系统地研究。在中学数学解题方法中, 维数变换是极其重要的数学思想方法之一。升维和降维是维数变换的分支与拓展，但教材对其介绍和讨论的很少，但解题中经常会遇到
4、需要用升维和降维的思想方法求解。升维和降维都是为了让常规思路下不易解决的繁琐问题简单化。降维的特点在于将高维问题转化为底维问题，使复杂问题变得易于理解；而升维则是将复杂问题置于较大的知识空间中，通过对变量的增加，使问题在这一空间中的关系变得更加容易理解 。升维和降维在问题中的形式，主要通过数式及形状表现出来；在数式方面体现1在未知量或次数的增减变化；在形的方面表现为空间维数的变化及其数量关系在横向联系中的不同层次变化。1 降维降维是将一个高维转变成几个低维问题，即应选择几个合适的平面去观察和分析。例如在立体几何与平面几何转化中，对于立体几何中的体对应平面几何中的面，对于立体几何中的面对应着平面
5、几何中的线段，对于立体几何中的线段对应着平面几何中的线段；由于高维问题较底维问题比较抽象、复杂，难于理解，所以通过选取适当看待问题的方式，运用降维的思想将维度降低，这样复杂抽象的问题就变得易于解决；降维的优势在于把在空间中不易被发现的元素间的关系，在二维图中更形象的展现出来，从而使我们能够从简到繁，层层深入的去解决问题 。21.1 减元“元”即元素，是求解问题中的未知量，具有相对性；减元是一种化多为少，化繁为简的重要思想方法。我们经常通过代入法、消元法等，将问题中元素减少，可以更加直观的去解决问题。巧设减元，主要体现在利用待定系数法解决相关问题，根据题目考察的目的，技巧性的使待定的系数尽量减少
6、，不仅可以简化解题过程，而且可以更加准确的解决问题。消元减元，就是在解方程时，一般是通过代入消元法、加减消元法等，使方程的变元逐渐减少，直至化成一元一次或一元二次方程来解决。例如在数列求和中，使用的.错位相消法，就是根据已知问题的特点进行裂项，转化成递推关系式，然后消去过程中出现的变元，这样可以达到解决问题的目的。例 1：设数列 的前 项和为 ( ),已知 ， （1）求数列 的nb Nn2nbn nb通项公式。 （2）求 。nlim)21.412(321 nb（1）根据 这种递推形式，将含 、 、 的关系式在运算过)sb nbs程中出现的中间变量消去，达到减元目的，然后变成 的形式。再通过构1
7、21造得出新等比数列 -2，从而可求出 =2- 。nnbn)2(（2）原式直接求和很难计算，若将通项拆开成为 的形121nnnb式，就可以利用错位相消法减元将其化为 3)123(limnn同名异名相互转化减元，有些问题可以用已知结论或公式进行减元。例如在解决关于三角函数问题时，通过正弦与余弦的关系，将问题中出现的正弦转化为余弦或余弦转化正弦，其实这就是将问题中的异名化为同名，即化成一种函数的形式 。3例 2：求方程 - +1=0 在实数范围内的解。2y)sin(xy解： ， 1)sin(x当 时， - ，故 。0y2 0121)sin(yxy1y当 时， - +1 ，故 。 所以原方程的解为：
8、 , + 或者 ， + 。 yxk23)(zyxk23)(z方程(组)中变化的量多于方程(组)个数, 常用方程(组)中元素的关系及其的特殊性进行解决, 这里利用 的有界性。)sin(变更主元减元，通常把给定的数字或条件作为自变量，其他字母作为因变量，有时若改变常规思维，转换思考方式，可以通过变更主元思考让复杂问题变得更加简单，更易于解决。.例 3：已知实数 、 、 满足: , ;证明：xyzkzyx)0(212kzyx、 、 都非正数且小于 。zk证明: 视 z 为常量, kyx， 221z221zkyx、两式几何意义是直线 与圆 = 有公共点，故有：2yx21zk2kz21z解此不等式, 考
9、虑到 ,可得, 。0kzk32同理可证: ， 。x320y将变量看做常量, 使问题中的变量与常量关系变得简单, 更易于应用熟悉的知识解决, 体现了以守为攻、以退为进的策略。1.2 降次降次就是降低次数，即将问题中的高次幂降为低次幂，常用渠道有两种，直接降次和间接降次；常用方法有利用条件及公式,、利用函数的性质、作变换等进行化简; 从逆向思维角度讲, “反客为主”策略是一种经常使用的间接降次方法之一。利用条件和公式进行降次，即通过对条件或者公式进行变化得到易于解决且不违背已知的公式或性质的特点，可将问题中的高次降为低次进行解决。例 4. 若关于 的方程 有实根，求实数 k 的取z 0)2sin(
10、i1cos22 kzzz值范围。解：原方程变形为： 0sinco2zz即 siin2kz817)4(si2zk 1,siz. ； 81741sinminkz时 ，当, ax时 ，当 k 的取值范围是 1通过对已知函数进行变形，即将问题转化几个因式乘积的形式，或设一个中间变量代入，将问题转换为几个一次次方程进行求解，但进行转化根据实际情况进行。例5. 设 为实数, 试求出关于 的四次方程 - + + -3=0的实数根的围。ky4y2k解：将方程转换为关于 的一元二次方程即：k 03)1(24ykk Rk=4 -4)1(2y0)3(4 2 ,因此方程实根 y 的范围为 。y 2,改变常规思路，将
11、作为主元，将原问题转化为一元二次方程，利用求根判别式k进行判断，从而求出 的取值范围。y利用反客为主 、以守为攻的思想对所求解的问题进行降次，即通过综合分析法6将高次方程转化低次方程进行解决。在数学解题中，通过变换思考方式，反客为主，以守为攻，往往能提高解题效率，使问题迎刃而解。例 6解方程组 0343212baba )2(1解：由(1)得 312ab )3(把(3)代入(2)中得:.2 -3 + -4 +3 -3=0a231a31化简得 ,即 05420)74(5a , 1a72将 代入(3),得 =3. 511b将 = .代入(3)，得 = . 2a4723方程组解是： 或 。 351ba
12、2471.3 空间维数降低研究高维问题时，由于高维问题比较抽象，我们通常采取降维对问题进行研究，包括对维度的降低、次数的降低以及元的减少。对于高维空间通过降低维度，将问题简单化，经常用到的方法有图形的平移、图形的射影、作辅助平面等。几何问题与函数问题转化，实质上就是维度与次数的转换，主要表现在高维与高次、高维与低次以及低维与低次之间的转化 。通过维度的转换了解图形运动变化规14律，能在脑海中形成一定的认识，有利于培养这方面的思维能力，同时对运用函数与几何知识相结合，提炼出联系点，在解决问题方面的能力提出了新的要求。例 7 已知 过点 、点 ，将其向左进行平行移动，与 轴、bkxy)6,0(A)
13、0,3(Bx轴分别交于点 、点 ，使 = 。求 所在直线的函数方程。y1A1B111分析因为 经过 、 两点，所以求得函数解析式为kxy),(),(。因为 向左平行移动，所以 所在直线斜率与 相同，62xybABbkxy因此我们可以设 所在直线方程为 y=-2x+b，由于 = ，可得出点 的坐标是1AB111A，从而有 ，所以 所在直线的解析式为 。)0,3(1 62xy.【点拨】（1） 由一条直线通过平原得到另一条直线，则它们斜率是相同的。（2） 怎样通过已知条件与所学的函数的知识进行联系，运用它们联系的关键点是解决问题的突破口。AB1AA111111a1BDOxy通过平移，将异面直线所成的
14、角转化为平面角，从而利用平面几何知识解决所求问题。例8. 已知三棱锥 O-ABC是正三棱锥，且 ,如果A BCAOCBAD、OE 分别为 的中线, 求异面直线 DE与OA所成的角？AOCD,解: 如图 1, 过E点在面 SAB 内作 EF/ / OAAD、OE 分别为 的中线, DF= BC= OA21易于证明DEOC，在 中，EDCRt求得DE= OA2在DEF中，由余弦定理得：=DEFcos2从而 =45.OAEBCD F图 1AEBP2 DD11112112.21111DCFP12211121图 2平面中的线段长度之间的关系，在三维空间中体现在面与面在面积之间的关系，这就体现着类比的思维
15、在维度转换中的应用。例 9 定理：已知一平面面积为 ，它在另一平面内的射影面积为 ，则两平面所l l成的二面角的余弦值为 .lcos证明：如图，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 为平面 的射影，作OABABCOABCCD于 ， ，OD 在 内的射影为 .AD又 ，BCO,.AD为二面角 BC 的平面角.设OBC 和 的面积分别为 S 和 ， ，则BC ODA.ADSOS21,21.SODBCA21cosAOB D C2 升维其实升维就是把维度低的数学问题转化成维度高的数学问题，这样一些繁琐的数学问题就能变得简单化，这正是我们数学的一个重要的解题方法。同时升维的运用还能帮助学生更多的了解数学的奇
16、妙，学到更多的数学知识，还能培养学生的创造性思维。所以升维是我们数学中的重要知识点。2.1 增元有些问题类型比较复杂，通过引入新的元素，以利于在较大的知识系统中进行整体把握 。8例10.解方程: + =181862x1862x解：原方程化为： + =1023)( 23)(令y=3, 则方程变为： + =10xx如果把（x，y）看作是椭圆上的点，把(-3,0)和（3，0）看作是椭圆的焦点，则椭圆的方程为： 1452yx将y=3代人，求得 ，经验证x 1、x 2为方程的解。745,21.将一元问题升为二元问题，由二元方程在直角坐标系的轨迹方程可使问题形象化，方便解题 。此法在求解最值、参数的范围以
17、及化简求值时常用。9有些应用形题目已知条件较少，很难发现解题途径。通过增加中间变量，可以使问题串联起来。此法与列方程解应用题中的设未知量不同，这个中间变量就是所增设的元，最终将所增设的“元”在运算过程中将会消去 。10例 11一个长方体两侧面积之和 是 54 ，上下底面面积之和 是 40 ，1S2cm2S2cm上下底面周长 C 是 18 ，求长方体容积 V 是多少？cm解：设长方体的长是 cm、宽是 cm、高是 cm，则有abc2= ，即 2=94)(bha21S)(bha= ，即 =20，则2S20+ =47。 )(bah则 ,2c3,4720hc所以 V= h=60(cm3)2S也可这样设
18、，如图：.三个相邻表面积的和为： + =4721S由底面积知 + =27。1S2即由 和 拼成的长方形的长为 9，由长加宽乘以高等于两个相邻面积，知道高，从12而求出体积。2.2 增次通过增次往往可减少一些不必要的分类讨论的麻烦，诸如含绝对值问题以及连不等式问题。例12证明： = 221n 6)1(n分析：求 的和，可通过增次的方法来进行解决。证明： 13)1(23nn)()(3 .131223上式相加可得： nnn )2(3)()( 223 由于 11n经移项、合并可得：= 22 6)(所以上式得证。.例 13. 解方程： + = 224311解：令 , 2431u2413v则有 22431
19、uv由、可得： 02324uu即 )()1(002)(2u1,v212.3 维系增加对低维空间问题转化为高维空间问题研究，达到对低维问题有深刻的认识，便于解决相关问题 。通过类比的方法，利用平面中的方法和技巧，解决空间中的问题。13比如在解决空间中的勾股定理，主要利用平面勾股定理的思路。例 14 在三维空间中的勾股定理 为：直四面体的三个侧面面积分别为 、14 1s、 ，底面面积为 ，则有 。2s34s24321ss.解析：三维空间的勾股定理的证明，利用的是平面勾股定理的思路，二维空间中的线类比到三维空间的面，二维中的长度的平方和类比到三维空间中的面的平方和，在类比的过程中，维度的变化是关键。
20、比如在二维中勾股定理是两个直角边的平方和，而在三维中是三个面的平方和。OABCD证明：设 为直四面体， ，设 ，ACO 90BOCAaA，bBc过 O 作 OD AB 则由三垂线定理知 CD AB，令 OD=m，CD=n，则 = 2n2mc则三个侧面的面积和底面面积分别为：= = mAOBS21ab2=Cc= acAO= n =BCS212ab122bamc+ + = ( + )+ +AOAOCS414c2a= ( + )+ ( + )42m22c2= ( + )( + )=1abABC + + =2AOBSC2AOS据此, 在解题中通过对问题考察的情境进行适当升维和降维, 有利于转换我们思考
21、问题角度和方式, 并使问题中的联系在新的维系中更加直接,便于理解；经常进行升.维和降维的练习, 有助我们更易理解系统知识，更加清楚认识他们之间的联系，对于培养思维的灵活性有着重要作用。3 维数变换在教学中的应用掌握维数变换一些形式对如何培养学生的平面观念、空间观念有一定的引导作用，也为平面几何与空间几何的教学实践找到了理论依据，对于教学理论认识的水平有一定的提高。在我实习期间我对数学教学中描述的立体几何的主要表现的理解是：能把实物的形状转变成平面中的几何图形，同时也能根据平面图形描述出实物图形，这样就能把平面图形、立体图形、实物图形之间的转化区分开来并加以应用。运用类比的思想，可以把平面几何中
22、的点类比到立体几何中的线，把平面几何中的线类比到立体几何中的面，把平面几何中的线类比到立体几何中的体，以及把平面中的长度类比到立体中的面积，平面中的面积类比到立体中的体积 。像这些类比都是我们数学中经7常使用的，于此同时也很好地从初中的平面数学过度到高中的立体数学。立体几何问题和平面几何问题的转换，也就是低维和高维的相互转换。通过维度间的转换可使抽象问题变得具体。3.1展开通过将立体图形进行展开，将抽象的空间立体图形转化为平面图形 。5例 15.求圆柱的表面积的时候，我们可以将圆柱展开成平面图形进行解决。总结.维数变换包括升维与降维两个方面。故本文结合中学数学教学与解题教学，对维数变换与问题求
23、解，作一较为系统地介绍和深入的研究，达到对其规律性的认识，以期对中学数学教学有一定的借鉴意义。升维和降维是维数变换的分支与拓展，但教材对其介绍和讨论的很少，但解题中经常会遇到需要用升维和降维的思想方法求解。升维和降维都是为了让常规思路下不易解决的繁琐问题简单化。降维的特点在于将高维问题转化为底维问题，使复杂问题变得易于理解；而升维则是将复杂问题置于较大的知识空间中，通过对变量的增加，使问题在这一空间中的关系变得更加容易理解 。1升维和降维在问题中的形式，主要通过数式及形状表现出来；在数式方面体现在未知量或次数的增减变化；在形的方面表现为空间维数的变化及其数量关系在横向联系中的不同层次变化。参考
24、文献：1 吴忠山. 谈解题中的升维与降维J. 安徽技术师范学院学报,2001,(03):67-69.2 谢广喜. 对称、升(降)维思想方法及其应用J. 试题与研究,2005,(14):26-29.3 张芳,徐文雄. 关于约束极值问题降维法的探讨J.大学数学,2008,(06):130-1334 汪兆龙. 升维法研究J. 湘潭大学自然科学学报,1993,(01):141-146.5 谭迎宾. 利用降维图简化逻辑函数J. 电子技术应用,1984,(04):12-16.6 马进才. 例谈解题中的反客为主法J. 河北理科教学研究,2012,(01):43-44.7 叶挺彪. 平面几何问题的升维处理J.
25、 数学教学,2012,(11):22-23.8 沈良. 略谈数学结构观下的解题与教学J. 数学通讯,2012,(24):1-3.9 张国治. 降维法解一类空间轨迹问题J. 中学生数学,2005,(23):22.10 姜峰. “降维法”解题的“四化”策略J. 物理教学探讨,2007,(08):16-18.11 续铁权. 一组对称函数的不等式J. 首都师范大学学报(自然科学版)2004， （01）：7-11 2004,(01):7-11.12 田英,周航. 利用降维法求平面上的全局最优解J. 武警工程学院学报，2008， （02）:8-1013 周继东主编. 几何与线性代数. 南京市：河海大学出版
26、社, 2004.06.14 李乃华，赵芬霞，刘振航编著. 线性代数及其应用. 北京市：高等教育出版社,2010.08.致谢本论文是在平静水老师的悉心指导下完成的。从毕业设计题目的选择，到对选择课题的研究和论证，开题报告的撰写，再到本本论文正题设计的编写、修改，每一步都有平老师的细心指导和认真的解析，对此我一直心怀感激。感谢数学系全体老师，你们严谨的教学态度，教人求真的教学理念，使我掌握了坚实的数学基础，为毕业论文的完成打下了良好的基础。同时也感谢我身边的同学，你们为我传递着有关毕业论文的信息，在论文的修改方面提供了重要的帮助，教会了我使用基本的数学软件。再次为所有帮助过我的老师和同学送上真诚的感谢，你们用智慧和真诚为我的毕业论文提供了不可或缺的帮助。在这次毕业论文设计中，我解决了困惑自己很久的问题，增长了一些数学知识。由于能力有限，在论文设计中难免有没考虑到的地方，希望各位老师多加指教。.
