反比例函数中的面积问题专题课程(教案).doc

1、1反比例函数中的面积问题适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级适用区域 全国 课时时长（分钟） 60 分钟知识点 1. 函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究 取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；x2. 相交时所围成的三角形的面积问题。教学目标 1熟练应用函数图像与性质知识；2灵活掌握反比例函数中面积问题的几种题型；3熟练一次函数与反比例函数的综合应用。教学重点 反比例函数中面积问题涉及题型的掌握。教学难点 反比例函数与一次函数结合出现的面积问题所涉及的解题方法的归纳。教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函

2、数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，2主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究 取何值时，一次函数x与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。二、知识讲解1反比例函数的定义：一般地，形如 y （ ） （k 为常

3、数，k_0）的kx1xy或函数叫做反比例函数2反比例函数的性质：反比例函数 y （k0）的图象是_ _当 k0 时，两分kx支分别位于第_ _象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而_；当 k0,由结论及已知条件得 ， k=42k【例题 2】【题干】如图，已知双曲线 （ ）经过矩形 OABC 的边(0)kyxAB，BC 的中点 F、E，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 k【答案】k=2【解析】连结 OB，E、F 分别为 AB、BC 的中点 而 ，由四边形 OEBF 的面积为 2 得 ，解得 k=2。2OCEAFksA k评注：第小题中由图形所在象限可确定 k0，应用结论可直接求 k

4、值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积5【例题 3】【题干】在反比例函数 的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ）4yxA B C D【答案】B【解析】因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故 B、C、D 的面积易求。对于A：S=4，对于 B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故 S= ；对于4362C：S=4，对于 D：S=4 故选（B）题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论【例题 4】【题干】已知一次函数 y=kx+b(ko)和反比例函数 y= 的图象交于点 A(1，

5、1)2kx(1)求两个函数的解析式；(2)若点 B 是 x 轴上一点，且AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标【答案】解：（1）点 A（1，1）在反比例函数 的图象上，k=2，反比例函数2kyx的解析式为： 。设一次函数的解析式为：y=2x+b，点 A（1，1）在一次函数yxy=2x+b 的图象上，b=-1，一次函数的解析式为 y=2x-1。6（2）如图，点 A（1，1） ， AOB=45，AOB 是直角三角形，点 B 只能在 x 轴正半轴上，当OB 1A=90时，即 B1AOB 1，AOB 1=45，B 1A=OB1，B 1（1，0） ；当OAB 2=90时，AOB 2=AB 2O=45，

6、B 1起 OB2的中点，B 2（2，0） ，综上可知，B 点坐标为（1，0）或（2，0） 。例 4 题图 例 5 题图【例题 5】【题干】如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 的图象交于 M、N 两点kyx(1)求反比例函数和一次函数的函数关系式(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围【答案】解：（1） 的图象经过 N（1，4） ，k=xy=1（4）=4反比kyx例函数的解析式为 。又点 M 在 的图象上，m=2M（2，2） 又直线44yxy=ax+b 图象经过 M，N， ， 一次函数的解析式为 y=2x2；（2）由图象可知：反比例函数的值一次函数的值的

7、 x 的取值范围是 x1 或0x2题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积【例题 6】7【题干】如图，已知 是一次函数 的图像和反比例函数(4,)(2,)AnBykxb的图像的两个交点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线 AB 与myx轴的交点 C 的坐标及三角形 AOB 的面积【答案】解：（1） 在 上 反比例函数的解析式为：(2,4)Bmyx88yx点 在 上 。 经过 ，(4,)An8yx(4,2)A， 解之得 一次函数的解析式为：（2） 是直线 与 轴的交点， 当 时， 点 评注：对于例 4、例 5、例 6 类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式

8、，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题【例题 7】【题干】已知, A、B、C、D、E 是反比例函数 （x0）图象上五个整数点（横、纵16yx坐标均为整数） ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形（阴影部分） ，则这五个橄榄形的8面积总和是 （用含 的代数式表示）【答案】x,y 为正整数，x=1,2,4,8,16，即 A、B、C、D、E 五个点的坐标为(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1)，因五个橄榄形关于 y=x 对

9、称，故有S= =13-26。题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等【例题 7】【题干】如图，一次函数 y=x+8 和反比例函数 （x0）的图象在第一象限内有两个kyx不同的公共点 A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)(1)求实数 k 的取值范围(2)若AOB 的面积 SAOB =24，求 k 的值 【答案】解：（1）y=-x+8 与 y=k/x 联立已知 k0， x-8x+k=0， 64-4k0，得 00 的解集mx答案解：（1）OB=2，AOB 的面积为 1，B（2，0） ，OA=1，A（0，1） ， ，12bk12kb1yx又OD=4，ODx 轴，C（4，y） ，

10、将 代入 得 y=1，C（4，1）4x2yx ， ，14m（2）当 时， 的解集是 0x0kbx4x分 析（ 1） 根 据 点 A 和 点 B 的 坐 标 求 出 一 次 函 数 的 解 析 式 再 求 出 C 的 坐 标 是 （ -4， 1） ，利 用 待 定 系 数 法 求 解 即 可 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 根 据 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=m17x的 图 象 在 第 二 象 限 的 交 点 为 C 即 可 求 出 当 x 0 时 ， kx+b-mx 0 的 解 集 本 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 与

11、 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ， 用 到 的 知 识 点 是 待 定 系 数 法 求 反 比例 函 数 与 一 次 函 数 的 解 析 式 ， 这 里 体 现 了 数 形 结 合 的 思 想 ， 关 键 是 根 据 反 比 例 函 数 与 一次 函 数 的 交 点 求 出 不 等 式 的 解 集 2. 如图，已知函数 y= x 与反比例函数 y= （x0）的图象交于点 A将 y= x 的图象向下平移 6 个单位后与双曲线 y= 交于点 B，与 x 轴交于点 C （1）求点 C 的坐标；（2）若=2，求反比例函数的解析式答案解：（1） 向下平移 6 个单位，得 ，设点 C 的坐标为（ ，

12、0） ，43xy463xyCx460Cx， ，点 C 的坐标为（ ，0） ；92C92（2）设点 A 的坐标（ ， 43Ax），点 B 的坐标（ ， ），Bx46318若 ，则 29ABx，即 2OC9ABx点 A、B 在 上， ，kyx24,63ABxkx 2463ABx即 ，29ABx把代入得： ， ，解得 92x（舍去） ，29BBx21540Bx或 ， ，即点 B（6，2） ， ，反比例函数的解6Bx463yk析式为 12分 析本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ： 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 坐 标 满 足两 函 数

13、 的 解 析 式 也 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 以 及 一 次 函 数 图 象 的 平 移 问 题 课程小结1. 函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；x2. 相交时所围成的三角形的面积问题。课后作业【基础】1、反比例函数 的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点， MN 垂直于 x 轴，垂足xky19是点 N，如果 SMON 2，则 k 的值为（ ）(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4解 ： 由 图 象 上 的 点 所 构 成 的 三 角 形 面 积 为 可 知 ，该 点 的

14、 横 纵 坐 标 的 乘 积 绝 对 值 为 4，又 因 为 点 M 在 第 二 象 限 内 ，所 以 可 知 反 比 例 函 数 的 系 数 为 k=-4故 选 D分 析 ： 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 的 点 的 横 纵 坐 标 之 积 是 定 值 k， 同 时 |k|也 是 该 点 到 两坐 标 轴 的 垂 线 段 与 两 坐 标 轴 围 成 的 矩 形 面 积 即 可 解 答 点 评 ： 本 题 主 要 考 查 反 比 例 函 数 的 比 例 系 数 k 的 几 何 意 义 反 比 例 函 数 图 象 上 的点 与 原 点 所 连 的 线 段 、 坐 标 轴 、 向 坐 标

15、 轴 作 垂 线 所 围 成 的 直 角 三 角 形 面 积 S 的关 系 ， 即 S=1/2|k|2、若 A（ a1， b1） ， B（ a2， b2）是反比例函数 图象上的两个点，且 a1 a2，则 b1xy2与 b2的大小关系是（ ）A b1 b2 B b1 = b2 C b1 b2 D大小不确定解 ： k 0， 函 数 图 象 ， 图 象 在 第 二 、 四 象 限 ， 在 每 个 象 限 内 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， a1 a2 0， b1 b220故 选 ： C分析：根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 ， k 0， a1 a2 0， 在 第 二 象 限 内 ，

16、 y 随 x 的增 大 而 增 大 ， 则 b1 b2点 评 ： 本 题 考 查 了 由 反 比 例 函 数 图 象 的 性 质 判 断 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ， 得 出两 点 所 在 象 限 是 解 题 关 键 3、函数 与 在同一坐标系内的图象可以是（ ）yxm(0)yx解 ： A、 由 函 数 y=x+m 的 图 象 可 知 m 0， 由 函 数 y=m/x 的 图 象 可 知 m 0， 相 矛盾 ， 故 错 误 ；B、 由 函 数 y=x+m 的 图 象 可 知 m 0， 由 函 数 y=m/x 的 图 象 可 知 m 0， 正 确 ；C、 由 函 数 y=x+m

17、 的 图 象 可 知 m 0， 由 函 数 y=m/x 的 图 象 可 知 m 0， 相 矛 盾 ，故 错 误 ；D、 由 函 数 y=x+m 的 图 象 可 知 m=0， 由 函 数 y=m/x 的 图 象 可 知 m 0， 相 矛 盾 ， 故错 误 故 选 B分 析 ： 先 根 据 一 次 函 数 的 性 质 判 断 出 m 取 值 ， 再 根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 判 断 出m 的 取 值 ， 二 者 一 致 的 即 为 正 确 答 案 21点 评 ： 本 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 的 图 象 性 质 和 一 次 函 数 的 图 象 性 质 ， 要 掌 握

18、 它 们的 性 质 才 能 灵 活 解 题 4、如图，反比例函数 的图象与直线 相交于 B 两点， AC 轴， BCxy5)0(kxyy轴，则 ABC 的面积等于 个面积单位。x解 ： 设 A 的 坐 标 是 ： （ a， b） ， 则 ab=5， B 的 坐 标 是 ： （ -a， -b） ， AC=2b， BC=2a，则 ABC 的 面 积 是 ： 1/2ACBC=1/22a2b=2ab=25=10故 选 C分 析 ： 设 A 的 坐 标 是 ： （ a， b） ， 则 ab=5， B 的 坐 标 是 ： （ -a， -b） ， 则AC=2b， BC=2a， 根 据 直 角 三 角 形 的

19、 面 积 公 式 即 可 求 解 点 评 ： 本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 的 图 象 ， 以 及 三 角 形 的 面 积 ， 正 确 理 解 A、 B 关 于原 点 对 称 是 关 键 5函数 y= 与 y=x2 图象交点的横坐标分别为 ，则 的值为 。x1,ab1解 ： 根 据 题 意 得 1/x=x-2， 化 为 整 式 方 程 ， 整 理 得 x2-2x-1=0， 函 数 y=1/x 与 y=x-2 图 象 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 a， b， a、 b 为 方 程 x2-2x-1=0 的 两 根 ， a+b=2， ab=-1，22 1/a+1/b=（ a+b） /

20、ab=2/-1=-2故 答 案 为 -2分析：先 根 据 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 坐 标 满 足 两 函 数 的 解 析 式 得 到1/x=x-2， 去 分 母 化 为 一 元 二 次 方 程 得 到 x2-2x-1=0， 根 据 根 与 系 数 的 关 系得 到 a+b=2， ab=- 1，然 后 变 形 1/a+1/b 得， 再 利 用 整 体 思 想 计 算 即 可 点评：本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ： 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点坐 标 满 足 两 函 数 的 解 析 式 也 考 查

21、了 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 变式：函数 y= 与 y=x2 图象一个交点的坐标为 ，则 。x1(,)ab1【巩固】1.如右图，直线 AB 交双曲线 于、B，交 x 轴于点 C,B 为线段 AC 的中点，过点 B 作xkyBMx 轴于 M，连结 OA.若 OM=2MC,SOAC =12.则 k 的值为_.a+bab23解 ： 过 A 作 AN OC 于 N， BM OC AN BM， ， B 为 AC 中 点 ， MN=MC， OM=2MC， ON=MN=CM，设 A 的 坐 标 是 （ a， b） ， 则 B（ 2a， 1/2b） ， S OAC=12 1/23ab

22、=12， ab=8， B 在 y=k/x 上 ， k=2a1/2b=ab=8，故 答 案 为 ： 8分析：过 A 作 AN OC 于 N， 求 出 ON=MN=CM， 设 A 的 坐 标 是 （ a， b） ， 得 出B（ 2a， 1/2b） ， 根 据 三 角 形 AOC 的 面 积 求 出 ab=8， 把 B 的 坐 标 代 入 即 可 求 出 答案 点评：本 题 考 查 了 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 交 点 问 题 和 三 角 形 的 面 积 的 应 用 ， 主 要 考查 学 生 的 计 算 能 力 2. 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数 xy6的图象交 ，那)

23、,(),(21yxBA么 值为 .)(1212yx解 ： 正 比 例 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=6/x 的 图 象 交 于 A（ x1， y1） ，B（ x2， y2） 两 点 ， x1=-x2， y1=-y2， （ x2-x1） （ y2-y1） =x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=64=24故 答 案 为 ： 24分析：正 比 例 函 数 与 反 比 例 函 数 y=6/x 的 两 交 点 坐 标 关 于 原 点 对 称 ， 依 此 可 得x1=-x2， y1=-y2， 将 （ x2-x1） （ y2-y1） 展 开 ，

24、依 此 关 系 即 可 求 解 点评：考 查 了 反 比 例 函 数 与 正 比 例 函 数 的 交 点 问 题 ， 正 比 例 函 数 与 反 比 例 函 数 的 两 交点 坐 标 关 于 原 点 对 称 243. 已知反比例函数 y 6x在第一象限的图象如图所示，点 A 在其图象上，点 B 为 x 轴正半轴上一点，连接 AO、 AB，且 AO AB，则 S AOB 解 ： 过 点 A 作 AC OB 于 点 C， AO=AB， CO=BC， 点 A 在 其 图 象 上 ， 1/2ACCO=3， 1/2ACBC=3， S AOB=6 故 答 案 为 ： 6分析：根 据 等 腰 三 角 形 的

25、 性 质 得 出 CO=BC， 再 利 用 反 比 例 函 数 系 数 k 的 几 何 意 义得 出 S AOB 即 可 点评：此 题 主 要 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 反 比 例 函 数 系 数 k 的 几 何 意 义 ， 正确 分 割 AOB 是 解 题 关 键 4. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A（-2，1） ，B（1，n）mx两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反25比例函数的值的 x 的取值范围解：（1）把 A（2，1）代入 y= ，得 m=2，即反比例函数为 y= ，mx2

26、x则 n= ，n=2，即 B（1，2） ，2把 A（2，1） ，B（1，2）代入 y=kx+b，求得 k=1，b=1，所以 y=x1；（2）由图象可知：x2 或 0x1分 析 ： （ 1） 由 A 的 坐 标 易 求 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 从 而 求 B 点 坐 标 ， 进 而 求 一 次函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 观 察 图 象 ， 看 在 哪 些 区 间 一 次 函 数 的 图 象 在 上 方 点 评 ： 本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 综 合 应 用 ， 重 点 是 用 待 定 系 数 法 求 得 函数 的 解 析 式 ， 同 学 们

27、 要 好 好 掌 握 【拔高】1. （1 ）探究新知：如图 1，已知 ABC 与 ABD 的面积相等， 试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： 如图 2，点 M， N 在反比例函数 （ k0）的图象上，过点 M 作 ME y 轴，过点 Nxy作 NF x 轴，垂足分别为 E， F 试证明： MN EF 若中的其他条件不变，只改变点 M， N 的位置如图 3 所示，请判断 MN 与 EF 是否平行26解：（1）分别过点 C， D，作 CG AB， DH AB，垂足为 G， H，则 CGA DHB90 CG DH ABC 与 ABD 的面积相等， CG DH 四边形 CG

28、HD 为平行四边形 AB CD（2）证明：连结 MF， NE设点 M 的坐标为（ x1， y1），点 N 的坐标为（ x2， y2） 点 M， N 在反比例函数 xky（ k0）的图象上， kyx1， 2 ME y 轴， NF x 轴， OE y1， OF x2 S EFMk21， S EFNk2 S EFM S EFN由（1）中的结论可知： MN EF MN EF27分析：（ 1） 分 别 过 点 C， D， 作 CG AB， DH AB， 垂 足 为 G， H， 根 据 CG DH，得 到 ABC 与 ABD 同 底 ， 而 两 个 三 角 形 的 面 积 相 等 ， 因 而 CG=DH， 可 以 证 明 四边 形 CGHD 为 平 行 四 边 形 ， AB CD（ 2） 判 断 MN 与 EF 是 否 平 行 ， 根 据 （ 1） 中 的 结 论 转 化 为 证 明 S EFM=S EFN 即可 点 评 ： 本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 几 何 性 质 的 综 合 应 用 ， 这 是 一 个 阅 读 理 解 的 问 题 ，正 确 解 决 （ 1） 中 的 证 明 是 解 决 本 题 的 关 键