1、面积问题和面积方法基础知识1面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形,故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用设 , 分别为角 的对边, 为 的高, 、 分别为 外ABCcba,CBA,ahRrABC接圆、内切圆的半径, 则 的面积有如下公式:)(21cbp(1) ; aABChS(2) csin(3) )()(cpbpABC(4) rarS21(5) RbcABC4(6) CBsinsi2(7) )i(aSABC(8) 21cbra(9) )2sini(sinCBARSABC2面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;(2)两个全
2、等形的面积相等;(3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;(6)共边比例定理:若 和 的公共边 所在直线与直线 交于 ,则PABQABPQM;MSQABP:(7)共角比例定理:在 和 中,若 或 ,则C180ACBA3张角定理:如图,由 点出发的三条射线 ,设 ,PPCBA,A, ,则 三点共线的充要条件是:CPB180A,C)sin(isin例题分析例 1梯形 的对角线 相交于 ,且 , ,求ABDB,OmSABnCOD
3、ABCDS例 2在凸五边形 中,设 ,求此五边E 1 EACDEBACS形的面积例 3 是 内一点,连结 并延长与 分别交于 ,GABCG, ,F, 、 、 的面积分别为 40,30,35,求 的面积FDB例 4 分别是 的边 和 上的点,且 ,RQP, BCA, 1RCQP求 的面积的最大值 例 5过 内一点引三边的平行线 , , ,点ABCEFCAHI都在 的边上, 表示六边形 的面积, 表示IHGFED, 1SDGE2S 的面积求证: 213S例 6在直角 中, 是斜边 上的高,过 的内心与 的内心的DBCBD直线分别交边 和 于 和 , 和 的面积分别记为 和 求证:ABKLAKLST
4、TS2例 7锐角三角形 中,角 等分线与三角形的外接圆交于一点 ,点 、 与此类1AB1C似,直线 与 、 两角的外角平分线将于一点 ,点 、 与此类似求证:1 00(1)三角形 的面积是六边形 的面积的二倍;0CBA1CBA(2)三角形 的面积至少是三角形 的四倍例 8在 中, 将其周长三等分,且 在边 上,求证: RQP, QP,A92ABCPQRS例 9在锐角 的边 边上有两点 、 ,满足 ,作 ,ABCEFFBEM( 是垂足) ,延长 交 的外接圆于点 ,证明四边形FMN,ACD与 的面积相等D三面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一,它的特点是利用间面积相等而进行相互
5、转换证(解)题例 10凸六边形 内接于 ,且 ,ABCDEFO13DCBA,求此六边形的面积1EFD例 11已知 的三边 ,现在 上取 ,在 延长线上截取cbaBA,在 上截取 ,求证: B CABS例 12 在 内,且 ,求征:CABACABSS例 13在 的三边 上分别取点 ,使 ,, FED, EAD3,,连 相交得三角形 ,已知三角形 的面积为 13,求三FA3FED,PQRABC角形 的面积PQR例 14 为圆内接四边形 的 边的中点, 于 , 于 ,ABCEFH于 ,求证: 平分 CEGH例 15已知边长为 的 ,过其内心 任作一直线分别交 于 点,,cbaIACB,NM,求证:
6、INM例 16正 正 , , , , ,PQR1aAB1bC2aD2bE, 求证: 3aEF3bA322321 例 17在正 内任取一点 ,设 点关于三边 的对称点分别为BCOAB,,则 相交于一点 , ,P例 18已知 是正六边形 的两条对角线,点 分别内分 ,且EA,ABCDEFNM,CE使 ,如果 三点共线,试求 的值kCNMNM,k例 19设在凸四边形 中,直线 以 为直径的圆相切,求证:当且仅当 B时,直线 与以 为直径的圆相切DB训练题1设 的面积为 10 , 分别是 边上的点,且A2cmFED,CAB,若 ,求 的面积,3,2cBAS2过 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线
7、将 分成六部份,其中,BC三部份为三角形,其面积为 ,求三角形 的面积321,3在 的三边 上分别取不与端点重合的三点 ,求证:A, LKM,, 中至少有一个的面积不大于 的面积的 AMLCLKB, ABC414锐角 的顶角 的平分线交 边于 ,又交三角形的外接圆于 ,过 作ABLNL和 边的垂线 和 ,垂足是 ,求证:四边形 的面积等于M, KM的 面积5在等腰直角三角形 的斜边 上取一点 ,使 ,作 交CDBC31ADE于 ,求证: ACEEA6三条直线 互相平行, 在 的两侧,且 间的距离为 , 间的距离为nml,nl,ml,2nm,1,若正 的三个顶点分别在 上,求正 的边长BAB7已
8、知 及其内任一点 ,直线 分别交对边于 ( ) ,证明:在321PPi iQ3,1这三个值中,至少有一个不大于 2,并且至少有一个不小于 2321,Q8点 和 分别在 的边 和 上,点 和 将线段 分为三等分,直线DEABCKMDE和 分别与边 相交于点 和 ,证明: BKMTPACT319已知 P 是 内一点,延长 分别交对边于 ,其中 ,, B,xAP,且 ,求 之值wBAzy, ,2wzyxxyz10过点 P 作四条射线与直线 分别交于 和 ,求证:l,DCBA,CDBA11四边形 的两对对边的延长线分别交 ,过 作直线与对角线 的LK, BDAC,延长线分别 ,求证: FG, GLK12 为 的重心,过 作直线交 于 ,求证: ABACB,FE,GF2