1、面积问题和面积方法基础知识1面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用设 ， 分别为角 的对边， 为 的高， 、 分别为 外ABCcba,CBA,ahRrABC接圆、内切圆的半径， 则 的面积有如下公式：)(21cbp（1） ； aABChS（2） csin（3） )()(cpbpABC（4） rarS21（5） RbcABC4（6） CBsinsi2（7） )i(aSABC（8） 21cbra（9） )2sini(sinCBARSABC2面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全
2、等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若 和 的公共边 所在直线与直线 交于 ，则PABQABPQM；MSQABP:（7）共角比例定理：在 和 中，若 或 ，则C180ACBA3张角定理：如图，由 点出发的三条射线 ，设 ，PPCBA,A， ，则 三点共线的充要条件是：CPB180A,C)sin(isin例题分析例 1梯形 的对角线 相交于 ，且 ， ，求ABDB,OmSABnCOD
3、ABCDS例 2在凸五边形 中，设 ，求此五边E 1 EACDEBACS形的面积例 3 是 内一点，连结 并延长与 分别交于 ，GABCG, ,F, 、 、 的面积分别为 40，30，35，求 的面积FDB例 4 分别是 的边 和 上的点，且 ，RQP, BCA, 1RCQP求 的面积的最大值 例 5过 内一点引三边的平行线 ， ， ，点ABCEFCAHI都在 的边上， 表示六边形 的面积， 表示IHGFED, 1SDGE2S 的面积求证： 213S例 6在直角 中， 是斜边 上的高，过 的内心与 的内心的DBCBD直线分别交边 和 于 和 ， 和 的面积分别记为 和 求证：ABKLAKLST
4、TS2例 7锐角三角形 中，角 等分线与三角形的外接圆交于一点 ，点 、 与此类1AB1C似，直线 与 、 两角的外角平分线将于一点 ，点 、 与此类似求证：1 00（1）三角形 的面积是六边形 的面积的二倍；0CBA1CBA（2）三角形 的面积至少是三角形 的四倍例 8在 中， 将其周长三等分，且 在边 上，求证： RQP, QP,A92ABCPQRS例 9在锐角 的边 边上有两点 、 ，满足 ，作 ，ABCEFFBEM（ 是垂足） ，延长 交 的外接圆于点 ，证明四边形FMN,ACD与 的面积相等D三面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互
5、转换证（解）题例 10凸六边形 内接于 ，且 ，ABCDEFO13DCBA，求此六边形的面积1EFD例 11已知 的三边 ，现在 上取 ，在 延长线上截取cbaBA，在 上截取 ，求证： B CABS例 12 在 内，且 ，求征：CABACABSS例 13在 的三边 上分别取点 ，使 ，, FED, EAD3,，连 相交得三角形 ，已知三角形 的面积为 13，求三FA3FED,PQRABC角形 的面积PQR例 14 为圆内接四边形 的 边的中点， 于 ， 于 ，ABCEFH于 ，求证： 平分 CEGH例 15已知边长为 的 ，过其内心 任作一直线分别交 于 点，,cbaIACB,NM,求证：
6、INM例 16正 正 ， ， ， ， ，PQR1aAB1bC2aD2bE， 求证： 3aEF3bA322321 例 17在正 内任取一点 ，设 点关于三边 的对称点分别为BCOAB,，则 相交于一点 , ,P例 18已知 是正六边形 的两条对角线，点 分别内分 ，且EA,ABCDEFNM,CE使 ，如果 三点共线，试求 的值kCNMNM,k例 19设在凸四边形 中，直线 以 为直径的圆相切，求证：当且仅当 B时，直线 与以 为直径的圆相切DB训练题1设 的面积为 10 ， 分别是 边上的点，且A2cmFED,CAB,若 ，求 的面积,3,2cBAS2过 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线
7、将 分成六部份，其中，BC三部份为三角形，其面积为 ，求三角形 的面积321,3在 的三边 上分别取不与端点重合的三点 ，求证：A, LKM,， 中至少有一个的面积不大于 的面积的 AMLCLKB, ABC414锐角 的顶角 的平分线交 边于 ，又交三角形的外接圆于 ，过 作ABLNL和 边的垂线 和 ,垂足是 ，求证：四边形 的面积等于M, KM的 面积5在等腰直角三角形 的斜边 上取一点 ，使 ，作 交CDBC31ADE于 ，求证： ACEEA6三条直线 互相平行， 在 的两侧，且 间的距离为 ， 间的距离为nml,nl,ml,2nm,1，若正 的三个顶点分别在 上，求正 的边长BAB7已
8、知 及其内任一点 ，直线 分别交对边于 （ ） ，证明：在321PPi iQ3,1这三个值中，至少有一个不大于 2，并且至少有一个不小于 2321,Q8点 和 分别在 的边 和 上，点 和 将线段 分为三等分，直线DEABCKMDE和 分别与边 相交于点 和 ，证明： BKMTPACT319已知 P 是 内一点，延长 分别交对边于 ，其中 ，, B,xAP，且 ，求 之值wBAzy, ,2wzyxxyz10过点 P 作四条射线与直线 分别交于 和 ，求证：l,DCBA,CDBA11四边形 的两对对边的延长线分别交 ，过 作直线与对角线 的LK, BDAC,延长线分别 ，求证： FG, GLK12 为 的重心，过 作直线交 于 ，求证： ABACB,FE,GF2
