1、xxx 电力学院课程设计报告课名：自动控制原理应用实践 题目：倒立摆控制装置 院系：自动化工程学院 专业：测控技术与仪器 班级：2011151 班 姓名： 学号：xx 时间：2014 年 1 月 14 日 倒 立 摆 系 统 按 摆 杆 数 量 的 不 同 ， 可 分 为 一 级 ， 二 级 ， 三 级 倒 立 摆 等 ， 多 级 摆 的 摆 杆 之 间属 于 自 有 连 接 （ 即 无 电 动 机 或 其 他 驱 动 设 备 ） 。 对 倒 立 摆 系 统 的 研 究 能 有 效 的 反 映 控 制中 的 许 多 典 型 问 题 ： 如 非 线 性 问 题 、 鲁 棒 性 问 题 、 镇 定
2、 问 题 、 随 动 问 题 以 及 跟 踪 问 题 等 。通 过 对 倒 立 摆 的 控 制 ， 用 来 检 验 新 的 控 制 方 法 是 否 有 较 强 的 处 理 非 线 性 和 不 稳 定 性 问 题的 能 力 。倒 立 摆 的 控 制 问 题 就 是 使 摆 杆 尽 快 地 达 到 一 个 平 衡 位 置 ， 并 且 使 之 没 有 大 的 振 荡 和 过 大的 角 度 和 速 度 。 当 摆 杆 到 达 期 望 的 位 置 后 ， 系 统 能 克 服 随 机 扰 动 而 保 持 稳 定 的 位 置 。1.1 倒立摆的控制方法倒 立 摆 系 统 的 输 入 来 自 传 感 器 的
3、小 车 与 摆 杆 的 实 际 位 置 信 号 ， 与 期 望 值 进 行 比 较 后 ，通 过 控 制 算 法 得 到 控 制 量 ， 再 经 数 模 转 换 驱 动 直 流 电 机 实 现 倒 立 摆 的 实 时 控 制 。 直 流电 机 通 过 皮 带 带 动 小 车 在 固 定 的 轨 道 上 运 动 ， 摆 杆 的 一 端 安 装 在 小 车 上 ， 能 以 此 点 为轴 心 使 摆 杆 能 在 垂 直 的 平 面 上 自 由 地 摆 动 。 作 用 力 u 平 行 于 铁 轨 的 方 向 作 用 于 小 车 ，使 杆 绕 小 车 上 的 轴 在 竖 直 平 面 内 旋 转 ， 小
4、车 沿 着 水 平 铁 轨 运 动 。 当 没 有 作 用 力 时 ， 摆杆 处 于 垂 直 的 稳 定 的 平 衡 位 置 （ 竖 直 向 下 ） 。 为 了 使 杆 子 摆 动 或 者 达 到 竖 直 向 上 的 稳 定 ，需 要 给 小 车 一 个 控 制 力 ， 使 其 在 轨 道 上 被 往 前 或 朝 后 拉 动 。本次设计中我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和 Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及 PID（比例-积分-微分）控制器进行模
5、拟控制矫正。2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学
6、模型，可根据微分方程求解传递函数。2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 1 所示。做以下假设：M 小车质量 m 摆杆质量b 小车摩擦系数 I 摆杆惯量F加在小车上的力 x 小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图 2-1 直线一级倒立摆模型系统中小车和摆杆的受力分析图是图 2。其中，N 和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图 2 所示，图示方向为矢
7、量正方向。图 2-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：(2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：(2-2)即：(2-3)把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：(2-4)为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：(2-5)(2-6)力矩平衡方程如下：(2-7)注意：方程中力矩的方向，由于(6)和（3）代入(7)，约去 P和 N，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：(2-8)设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 ，则可以进行线性化近似
8、处理：用 来代表被控对象的输入力 ， 线性化后两个运动方程如下：进行拉氏变换，得：（2-9）由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到：，即： （2-10）（10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数如令 ，则有：（2-11）（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现在实验中常采用此式。把（10）式代入（9）式的第二个方程中，得到：（2-12）其中，（12）式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数2.2 实际系统的模型参数M：小车质量 1.096kgm：摆杆质量 0.109kgb：小车摩擦系数 0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI
9、：摆杆惯量 0.0034kgm2代入模型参数得3 开环系统的时域分析3.1 摆杆角度为输出响应的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应在 matlab 中建立 m 文 件oloop1.m 内容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;step(m,n,t)axis(0 4 0 100)图 3-1 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应在 matlab 中建立 m 文 件 命 名 为oloop2.m 内 容 如 下 ：m=0.
10、02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;impulse(m,n,t)axis(0 4 0 100)图 3-2 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图3.2 小车位置为输出响应的时域分析采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数为(3-3)图 3-3 小车位置的单位脉冲响应曲线图图 3-4 小车位置的单位阶跃响应曲线图由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，需要校正。四根轨迹设计4.1 原系统的根轨迹分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，2、在 matlab 中输入以下程序求出传函clcc
11、learA=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Sys=ss(A,B,C,D);sy=tf(Sys)结果为 1#1: -S23#2: -s2 - 8.882e-016 s - 29.4则可知 G1（ s）=1/s2; 取近似值 G2(s)=3/(s2-29.4)3、绘制原根轨迹图num=1;den=1 0 0;rlocus(num,den)图四：小车位移根轨迹图num=3;den=1 0 -29.4;rlocus(num,den)图五：摆杆角度的根轨迹图4、绘制系统伯德图：num=3; den=1
12、 0 -29.4;ss=tf(num,den); bode(ss)图六：摆杆角度的 bode 图num=1; den=1 0 0;ss=tf(num,den);bode(ss)图七：小车位移的 bode 图可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。4.2 串联超前校正装置设计对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：调整时间： ts=2s最大超调量： p=60%4
13、.2.1 确定闭环期望极点的位置zeta=(log(1/sigma)2)/(pi)2+(log(1/sigma)2)0.5结果为zeta =0.1605由于原系统存在两个零点处极点，等幅振荡，故取期望阻尼系数满足 zeta=0.6，另外，系统过渡过程时间与系统阻尼比和无阻尼自然频率的关系，可选 omiga=5。输入：omiga=5;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)结果为ans =-3.0000 + 4.0000i-3.0000 - 4.0000i4.2.2 超前校正传递函数设计未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前
14、校正，设控制器为：4.2.3 校正参数计算输入d0=1 0 0;s1=-3+4j;fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi结果为：fai0 =73.7398所以 fai1=16.2602。过 s1，做角度为 16.26 度的直线，计算该直线的实轴的交点：s1=-3+4j;fai1=16.26;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)结果为p =16.7145Gc1(s)=K1(s+3)/(s+16.7145)校正后的系统的开环传递函数为G(s)=K1(s+3)/(s2*(s+16.7
15、145)4.2.5 matlab 环境下串联超前校正后的根轨迹图num=1 3;den=1 16.7145 0 0;rlocus(num,den)由图可知，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的 K 就可以稳定系统。K1=89.4dopen=1 16.7145 89.4 268.2;ss=tf(nopen,dopen);step(ss)串联超前校正后系统的单位阶越响应由图可知 ts ，GM10dB5.1、若使用超前矫正： =50-0+10= =13.925.2、求 wG（j ）=1/w2=3 +29.4=40.59 w=6.375.3、求参数 TT=1/(w*sqrt(a)=0.0
16、99 Gc(s)=Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)= 3*Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)(s2-29.4)取 Kc=100用 MATLAB 进行仿真：num=110.79 300;den=conv(1 29.4,0.099 1);ss=tf(num,den);rltool(ss)得伯德图：摆杆角度校正后伯德图由图可知符合要求。六、实践总结：本次实践是建立在自动控制原理的理论学习基础上，而之前也在实验课上学习过 MATLAB 软件的使用方法，因此我对本次实践作业有着较为清晰的认识。通过设计 PID 控制器和频域设计法两种方法按要求调整系统，在实践过程中让我更加深刻的理解了理论课中有关奈氏图、伯德图、相位裕量增益裕量和 P、PI、PID 控制器的知识点，并通过直线一级倒立摆模型的建模和控制，对自动控制原理这门专业的实际应用有了一些了解。通过本次实践大大提高了我的专业水平，为今后的专业应用打好了基础。相信在今后的学习中我将能更好地投入自动化专业的学习和研究。
