1、111.3 集合的基本运算 第一课时 集合的并集、交集并 集提出问题已知下列集合：A x|x210， B xN|1 x4， C1,1,2,3,4问题 1：集合 A 与集合 B 各有几个元素？提示： A1,1， B1,2,3,4，即集合 A 有 2 个元素，集合 B 有 4 个元素问题 2：若将集合 A 与集合 B 的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？提示：1,1,2,3,4问题 3：集合 C 中的元素与集合 A， B 有什么关系？提示：集合 C 中元素属于集合 A 或属于集合 B.导入新知1并集的概念文字语言一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B
2、 的并集，记作 A B(读作“ A 并 B”)符号语言A B x|x A，或 x B图形语言2.并集的性质(1)A B B A，即两个集合的并集满足交换律(2)A A A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身(3)A A A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身(4)A(A B)， B(A B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集(5)若 AB，则 A B B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身化解疑难理解并集应关注三点(1)A B 仍是一个集合，由所有属于 A 或属于 B 的元素组成(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：2(3)若集合 A 和 B 中有公共
3、元素，根据集合元素的互异性，则在 A B 中仅出现一次.交 集提出问题已知 A1,2,3,4， B3,4,5,6， C3,4问题 1：集合 A 与集合 B 有公共元素吗？它们组成的集合是什么？提示：有3,4问题 2：集合 C 中的元素与集合 A， B 有什么关系？提示：集合 C 中的元素既属于集合 A 又属于集合 B.导入新知1交集的概念文字语言一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A B(读作“ A 交 B”)符号语言A B x|x A，且 x B图形语言2交集的性质(1)A B B A，即两个集合的交集满足交换律(2)A A A，即任
4、何集合与其本身的交集等于这个集合本身(3)A A，即任何集合与空集的交集等于空集(4)A BA， A BB，即两个集合的交集是其中任一集合的子集(5)若 AB，则 A B A，反之也成立，即若 A 是 B 的子集，则 A， B 的公共部分是 A.化解疑难理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出(3)当集合 A 和集合 B 无公共元素时，不能说集合 A， B 没有交集，而是 A B.3(4)定义中“ x A，且 x B”与“ x( A B)”是等价的，即
5、由既属于 A，又属于 B 的元素组成的集合为 A B.而只属于集合 A 或只属于集合 B 的元素，不属于 A B.并集的运算例 1 (1)(广东高考)已知集合 M1,0,1， N0,1,2，则 M N( )A1,0,1 B1,0,1,2C1,0,2 D0,1(2)若集合 A x|x1， B x|22 B x|x1C x|22答案 (1)B (2)A类题通法并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值活学活用若集合 A1,4， x， B1， x2， A B1,4，
6、x，则满足条件的实数 x 有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 C 从 A B1,4， x看它与集合 A， B 元素之间的关系，可以发现A B A，从而 B 是 A 的子集，则 x24 或 x2 x，解得 x2 或 1 或 0.当 x2 时，符合题意；当 x1 时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当 x0 时，符合题意因此x2 或 0.交集的运算例 2 (1)(天津高考)已知集合 A1,2,3,4， B y|y3 x2， x A，则A B( )4A1 B4C1,3 D1,4(2)设集合 A x|1 x2， B x|0 x4，则 A B 等于( )A x|0 x2 B x|1
7、x2C x|0 x4 D x|1 x4解析 (1)因为集合 B 中， x A，所以当 x1 时， y321；当 x2 时， y3224；当 x3 时， y3327；当 x4 时， y34210.即 B1,4,7,10又因为 A1,2,3,4，所以 A B1,4故选 D.(2)在数轴上表示出集合 A 与 B，如下图则由交集的定义， A B x|0 x2答案 (1)D (2)A类题通法求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性活学活用已知 M1,2， a23 a1， N1， a,3， M N3，求实数 a 的值解：
8、 M N3，3 M， a23 a13，即 a23 a40，解得 a1 或 4.但当 a1 时，与集合中元素的互异性矛盾，当 a4 时， M1,2,3， N1,3,4，符合题意 a4.交集、并集的性质及应用例 3 已知集合 A x|32 k1， k2；当 1 B 时，12 a10，解得 a2，且此时 B1，符合题意；当 2 B 时，44 a10，解得 a1，此时 B0,2，不合题意综上所述， a 的取值范围是 a|a2答案 (1)C (2) a|a2易错防范1本例(1)中的 M N2,3有两层含义：2,3 是集合 M， N 的元素；集合 M， N 只有这两个公共元素因此解出字母后，要代入原集合进
9、行检验，这一点极易被忽视2在本例(2)中， A B BBA， B 可能为空集，极易被忽视成功破障设集合 M x|25若 A BR，求 a 的取值范围解：在数轴上标出集合 A， B，如图要使 A BR，则Error!解得3 a1.综上可知， a 的取值范围为 a|3 a112已知 A x|x2 ax a2190， B x|x25 x60， C x|x22 x80，且 ( A B)， A C ，求 a 的值解： B x|x25 x60 x|(x2)( x3)02,3， C x|x22 x80 x|(x2)( x4)02，4， A B， A C ，3 A，将 x3 代入x2 ax a2190 得： a23 a100，解得 a5 或2.当 a5 时， A x|x25 x602,3与 A C矛盾；当 a2 时， A x|x22 x1503，5符合题意综上 a2.
