1、集合与函数概念1 1 集合集合（一）集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A,B,C表示，而元素用小写的拉丁字母 a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及“不属于 两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；N 内排除 0 的集.整数
2、集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R；6.关于集合的元素的特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋” （太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） 。 “中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数” ， “平面点 P 周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1) 2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练 1：判断以下
3、元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于 3 小于 11 的偶数； 我国的小河流；非负奇数； 方程 x2+1=0 的解；某校 2011 级新生； 血压很高的人；著名的数学家； 平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及“不属于 ”两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。例如，我们 A 表示“120 以内的所有质数”组成的集合，则有 3A，4 A，等等。练：A=2，4，8，16，则 4 A，8 A，32 A.（二）例题讲解：例 1用“”或“ ”符号
4、填空：8 N； 0 N； -3 Z； Q；22设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。练：5 页题例 2已知集合 P 的元素为 , 若 2P 且-1 P，求实数 m 的值。21,3m练：考察下列对象是否能形成一个集合？身材高大的人 所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体比 2 大的几个数 的近似值的全体2所有的小正数 所有的数学难题给出下面四个关系: R,0.7 Q,0 0,0 N,其中正确的个数是:( )3A4 个 B3 个 C2 个 D1 个下面有四个命题:若-a ,则 a 若 a ,b ,则 a+b 的最小值是 2集合 N
5、中最小元素是 1 x 2+4=4x 的解集可表示为2,2其中正确命题的个数是( 由实数-a, a, , 2, - 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?求集合2a,a 2+a中元素应满足的条件?若 t,求 t 的值.t1一、集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当
6、元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为 1,2345,.例 1用列举法表示下列集合：(1) 小于 5 的正奇数组成的集合；(2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合；(3) 从 51 到 100 的所有整数的集合；(4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；(5) 方程 的所有实数根组成的集合；2x 由 120 以内的所有质数组成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
7、，称为描述法。 。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式： ()xAp如：x|x-32，(x,y)|y=x 2+1，x|直角三角形 ，；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数 ，即代表整数集 Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集 ，R也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是
8、集合、还是其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例 2用描述法表示下列集合：(1)由适合 x2-x-20 的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程 的所有实数根组成的集合20(4)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：5 页 2 题1用适当的方法表示集合：大于 0 的所有奇数2集合 Ax| Z，xN，则它的元素是 。43x3.已知集合 Ax|
9、-33 ，B x|x3 ，B x|x-2，B=x|x-2x|x0,则 MN 等于 。设 A不大于 20 的质数 ，Bx|x2n+1,nN*，用列举法写出集合 AB 。6.已知集合 Mx|y=x 2-1,N=y|y=x2-1,那么 MN 等于（ ）A. B.N C.M D.R7、若集合 A1，3，x,B=1,x 2,AB 1，3，x,则满足条件的实数 x 的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8.满足条件 M11，2，3的集合 M 的个数是 。9.已知集合 Ax|-1x2,B= x|2a xa+3,且满足 AB ，则实数 a 的聚取值啊范围是 。集合的基本运算思考 1 U=全
10、班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学 ，则 U、A 、B 有何关系？集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作： ，读作：A 在 U 中的补集，即UC,Cx且-2 3-1 1 2 38Venn 图表示：（阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集）C说明：补集的概念
11、必须要有全集的限制讨论：集合 A 与 之间有什么关系？借助 Venn 图分析U,()UUACA巩固练习（口答）：U=2,3,4，A=4,3，B=，则 = ， = ；UB设 Ux|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且 ，试 ,XABX求 p、q；集合 A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若 A B=-2，0，1，求 p、q；A=2，3，a 2+4a+2，B=0，7，a 2+4a-2，2-a ，且 A B =3，7 ，求 B22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有 27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有 27 人，
12、其中参加数学、物理两科的有 10 人，参加物理、化学两科的有 7人，参加数学、化学两科的有 11 人，而参加数、理、化三科的有 4 人，求全班人数。集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A 叫做有限集，用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如：集合 A=a,b,c中有三个元素，我们记作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A，B ，有：card(A B)=card(A)+card(B)-card(AB). 例 1 学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12名同学参赛，两次运
13、动会都参赛的有 3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解设 A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生 ，AB=两次运动会都参赛的学生,AB=所有参赛的学生因此 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有 20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定. 给出下列命题： 给出下列
14、命题： 若 card(A)=card(B)，则 A=B； 若 card(A)=card(B)， 则 card(AB)=card(AB) , 若 AB= 则 card(AB)-card(A)=card(B) 若 A= ，则 card(AB)=card(A) 若 A B，则 card(AB)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是 10高一数学必修 1 集合练习题 1一选择题1下列说法正确的是 （ ）A某个村子里的年青人组成一个集合B所有小正数组成的集合C集合，和，表示同一个集合D 这些数组成的集合有五个元素136,0.5,242下面有四个命题：（）集合中最小的数是否；（）是自然数；（） ，是
15、不大于的自然数组成的集合；（） ,aNBab则 不 小 于 2其中正确的命题的个数是 （ ）A个 个 个 个3给出下列关系：（） ;R12（） Q（） 3;N（） .其中正确的个数为 （ ）个 个 个 个4给出下列关系：（） 是空集；（） ,;aN若 则（）集合 210AxRx（）集合 6BxQN其中正确的个数为 （ ）个 个 个 个下列四个命题：（）空集没有了集；（）空集是任何一个集合的真子集；（）空集的元素个数为零；（）任何一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的有 （ ）0 个 1 个 2 个 3 个已知集合 那么 等于 （ ）5,1,AxRBxRAB ， ， ， 15xR已知全集 集
16、合0,12.3,4I（ ）0,12,IMNMN则 3,41,2二填空题方程的解集为 用列举法表示为_.230,xRx用列举法表示不等式组 的整数解集合为_.711,2532xx10已知菱形 ，正方形 ，平行四边形 ，那么，之间的关系是_.11已知全集，集合 ，则 用列举法表示为_.5AxRAU三解答题12已知 230,2560,.AxBxB求13已知 246, 18,yxyNyxyNAB,求14若集合 则满足于条件的实数 的个数有 （ ）21,3,11,3A且 x12个 个 个 个15设集合 ，则实数 _23,011,ABtAB若 t16 已知全集 那么5,4,3,0,2URxxPx或_,_A
17、BABPU17. 2 20, 0,1,.xpqxpqABAB且 求18设 求 a 的取值范围1,AxBxa且 AB,19试用适当的符号把 连接起来236,abR和20已知集合2 2 2430, 10,10,AxBxaCxm的值或取值范围,BCm且 求第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set） ，其元素具有三个特征，即确定性、
18、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为 ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来123,na表示，基本形式为 ，既要关注代表元素 x，也要把握其属性 ，适用于无限集.|()xAP ()Px3. 通常用大写拉丁字母 表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集 N，正整数集,ABC或 ，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R.*N4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to） ，分别用符号 、 表示，例如， .32例题精讲：【例 1】试
19、分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 的所有实数根组成的集合；2(3)0x（2）大于 2 且小于 7 的整数.解：（1）用描述法表示为： ；2|(3)0xRx用列举法表示为 .,1（2）用描述法表示为： ；|7Z用列举法表示为 .3,456【例 2】用适当的符号填空：已知 ， ，则有：|32,AxkZ|61,BxmZ17 A； 5 A； 17 B.解：由 ，解得 ，所以 ；317kkZ17由 ，解得 ，所以 ；35由 ，解得 ，所以 .6m【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4）（1）一次函数 与 的图象的交点组成的集合； yx26y
20、x（2）二次函数 的函数值组成的集合；24（3）反比例函数 的自变量的值组成的集合.解：（1） .3(,)|(1,4)26yx（2） .2|4|y（3） .0xx点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐 标混淆为 ，也注意 对比（2）1,4与（3）中的两个集合，自变量的范 围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合 ，试用列举法表示集合 A2|1xaA有 唯 一 实 数 解解：化方程 为： 应分以下三种情况：21xa()0方程有等根且不是 ：由 =0，得 ，此时的解为 ，合94a12x方程有一解为 ，而另一解不是 ：将 代入得 ，此时另
21、一解 ，合2xa12x方程有一解为 ，而另一解不是 ：将 代入得 ，此时另一解为 ，合22 综上可知， 9,4A点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset） ，记作 （或 ） ，读作“A 含于 B”（或“
22、 B 包含 A”）B.14ABBAABABA B C D2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ ） ，且集合 B 是集合 A 的子集（ ） ，即集合 A 与集合 B 的AB元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 . 3. 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset） ，记作xA B（或 B A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set） ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： ；若 ， ，则 ；CA若 ，则 ；若 ，则 .B例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边
23、三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.2|xR解：（1） ， ；（2）=， ， ， .【例 2】设集合 ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（ 1, ,22| |nxnZZ）.解：简单列举两个集合的一些元素， ， ，313,0,2231,2易知 B A，故答案选 A另解：由 ，易知 B A，故答案选 A21,|nxZ【例 3】若集合 ，且 ，求实数 的值.|60,|10MNxaNMa解：由 ，因此， .2603或 2,3M（i）若 时，得 ，此时， ；aN（ii）若 时，得 . 若 ,满足 ，解得 .1aa或 123a或故所求实数 的值为 或 或 .023点评：在考察“ ”这一关系时
24、，不要忘记“ ” ，因为 时存在 . 从而需要分情况讨论. 题ABAB中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax 2. 若 A=B，求实数 x 的值.解：若 a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1.2abx当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去.若 2ax2-ax-a=0.b因为 a0，所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x +1)=0. 又 x1，所以只有 .12x经检验，此时 A=B 成立. 综上所述 .2点评：抓住集合相等的定义
25、，分情况 进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算（一）学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集 交集 补集概念由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（union set）由属于
26、集合 A 且属于集合 B的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集（intersection set）对于集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对于全集U 的补集（complementary set）记号 （读作 “A 并 B”）（读作 “A 交 B”）（读作 “A 的补集” ）符号 |,x或 |,x且 |,Ux且图形表示例题精讲：【例 1】设集合 .,|15,|39,()UURAxBxAB求 解：在数轴上表示出集合 A、B，如右图所示：，|35ABx，(),9UC或【例 2】设 ， ，求：|6Zx1,23,456C（1） ； （2） .()A解：
27、 .6,54,3,0,45,6（1）又 ， ；BB（2）又 ，1,6C得 .()21,A .,5430【例 3】已知集合 ， ，且 ，求实数 m 的取值范围.|x|BxmAB解：由 ，可得 .BA在数轴上表示集合 A 与集合 B，如右图所示：由图形可知， .4m点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之 间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的 问题.【例 4】已知全集 ， ， ，求 ，*|10,UxN且 2,458A1,358B()UCAB， ， ，并比较它们的关系. ()UCAB()CB()UCB解：由 ，则 .,2345,8)6,79由 ，则 ,3A由 ， ，1,679
28、U2U则 ，(),.34,CAB由计算结果可以知道， ，()()UUCBA.()UA另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究 与 ，在理解的基 础记住()()C()()UUCBA此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.UA-2 4 m xB A 4 m xA B-1 3 5 9 x16第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算（二）学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.知识要点：1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Ven
29、n 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：, .()()UUCABCB()()UUACB2. 集合元素个数公式： .(nnA3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例 1】设集合 ，若 ，求实数 的值.24,1,9,51aa 9a解：由于 ，且 ，则有：2ABB当 解得 ，此时 ，不合题意，故舍去；29 a 时 ， 5 =4, =9, 04A ， 当 时，解得 . 3 或 不合题意，故舍去；3 =4, 9,2 时 ， ， ，合题意.7 8, ， ， ， 所以，
30、.a 【例 2】设集合 ， ，求 , .（教材 P14 |(3)0,AxaR|(4)10BxABB 组题 2）解： .1,4当 时， ，则 ， ；3a1,4BA当 时， ，则 ， ；,31当 时， ，则 ， ；A,4B当 且 且 时， ，则 ， .14aa,3aAB点评：集合 A 含有参数 a，需要 对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性 质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分 类的原则 .【例 3】设集合 A = | ， B = | ， ，若 A B=B，求实数x20x22(1)0xR的值a解：先化简集合 A= . 由 A B=B，则 B A，可知集
31、合 B 可为 ，或为0 ，或 4，或 .4,4,0(i)若 B= ，则 ，解得 ；2(1)()aa(ii)若 B，代入得 =0 =1 或 = ，01当 =1 时，B=A，符合题意；a当 = 时，B=0 A，也符合题意1(iii)若 4 B，代入得 =7 或 =1，2870aa当 =1 时，已经讨论，符合题意；当 =7 时，B= 12，4，不符合题意综上可得， =1 或 1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合 间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为 解方程的问题， 这是数学中的化 归思想，是重要数学思想方法解 该题时，特别容易出现的错误是遗漏了
32、A=B 和 B= 的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度 审视问题. 【例 4】对集合 A 与 B，若定义 ，当集合 ，集合|,xAB且 *|8,AxN时，有 = . （由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补|(2)5(6)0Bxx集为 ”而拓展）|,UC且解：根据题意可知， ，1,2345,6780,256由定义 ，则|x且.1,3478A点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种 创新思维的训练，关 键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U，则 也相当于 .AB()UCB第 5 讲 1.2.1 函数的
33、概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.知识要点：1. 设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在集合 Bf x中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function ） ，记作 =yf y， 其中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作定义域（domain） ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，()f函数值的集合 叫值域（r
34、ange）.()|f2. 设 a、b 是两个实数，且 a1， 3 f( )=( )3+( )-3=2+ = ，即 ff(0)= .22552【例 3】画出下列函数的图象：（1） ； （教材 P26 练习题 3）|yx（2） . 14|解：（1）由绝对值的概念，有 .2,|xy所以，函数 的图象如右图所示.|2|yx（2） ，3,1|1|4|52,x所以，函数 的图象如右图所示. |yx点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点 讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义 域的分段情况， 选择相应的解析式作出函数 图象.【例 4】函数 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如()f，
35、，当 时，写出 的解析式，并作出函数的3.52.1(2.5,3x()f图象. 解： . 函数图象如右：3,2.5110(),23,xfxx点评：解题关键是理解符号 的概念，抓住分段函数的 对应函数式.m第 7 讲 1.3.1 函数的单调性学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x
36、)在区间 D 上是增函数（ increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图 1） ，减函数的图象从左向右是下降的（如右图 2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设 x 、x 给定区间，且 x x ；计算 f(x )f(x ) 判断符号下结论.121212例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 在
37、区间（0，1）上的单调性.()f解：任取 (0,1)，且 . 则 .2,x12x2211211()xxx 由于 ， ， ， ，故 ，即 . 100()0ff12()fxf所以，函数 在（0，1）上是减函数. ()fx【例 2】求二次函数 的单调区间及单调性.2()(0)fabxca解：设任意 ，且 . 则 12,R1.21()fxf2112()()xbx1212()()xab若 ，当 时，有 ， ，即 ，从而0a12xa1xa0，即 ，所以 在 上单调递增. 同理可得 在 上单12()fxf 2()ff()f,2()fx,)a调递减.【例 3】求下列函数的单调区间：（1） ；（2） .|1|4
38、|yx2|3yx解：（1） ，其图象如右. 3,1|5,x由图可知，函数在 上是增函数，在 上是减函数.2,)(,2（2） ，其图象如右.22 3,0|3xxyx由图可知，函数在 、 上是增函数，在 、 上是减函数.(,10,1,)点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点 讨论去绝对值的方法，将函数式化 为分段函数. 第 2 小题也20可以由偶函数的对称性，先作 y 轴右侧的图象，并把 y 轴右侧 的图象对折到左侧，得到 的图象. 由图象(|)fx研究单调性，关键在于正确作出函数 图象.【例 4】已知 ，指出 的单调区间.31()2xf()fx解： ，5x 把 的图象沿 x 轴方向向左平移 2
39、 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，()g得到 的图象，如图所示.fx由图象得 在 单调递增，在 上单调递增.()f,2)(,)点评：变形后结合平移知识，由平移 变换得到一类分式函数的图象. 需知 平移变换规律. ()fxab第 8 讲 1.3.1 函数最大（小）值学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.知识要点：1. 定义最大值：设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有()yfxM ；存在 x0I ，使得 = M. 那么，称 M 是函数 的最大
40、值（Maximum Value）. 仿照最()fx0()fx ()yfx大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.2. 配方法：研究二次函数 的最大（小）值，先配方成20)abca后，当 时，函数取最小值为 ；当 时，函数取最大值 .224()bacyaxa424acb3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲：【例 1】求函数 的最大值.261yx解：配方为 ，由 ，得 .23()423()4x260813()4x
41、所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 元，减少了 件，所赚得的利润为(10)x0()xA.(8)10(10)yxA即 . 当 时， .2 264364max36y所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元.【例 3】求函数 的最小值.yx解：此函数的定义域
42、为 ，且函数在定义域上是增函数，1,所以当 时， ，函数的最小值为 2.min2点评：形如 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，yaxbcd也可以用换元法研究.【另解】令 ，则 ， ，所以 ，在1t021xt2215()48ytt时是增函数，当 时， ，故函数的最小值为 2.0tminy【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1） ； （2） .2533,yx|1|2|yx解：（1）二次函数 的对称轴为 ，即 .yxba1x画出函数的图象，由图可知，当 时， ； 当 时， . 1mx4y32min94y所以函数 的最大值为 4,最小值为 .2533,yx9（2） .(2)|1|1x作出函
43、数的图象，由图可知， . 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3.3,y点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据 闭区间与对称轴的关系， 结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值， 转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲 1.3.2 函数的奇偶性学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.知识要点：1. 定义：一般地，对于函数 定义域内的任意一个 x，都有 ，那么函数 叫偶函数()fx()fxf()fx（even function）. 如果对于函数定义域
44、内的任意一个 x，都有 ） ，那么函数 叫奇函数（odd function） .2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 与()fx的关系.()fx例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ；（3） .3()fx()|1|fxx23()fx解：（1）原函数定义域为 ，对于定义域的每一个 x，都有|0， 所以为奇函数.331()()(f fx（2）原函数定义域为 R，对于定义域的每一个 x，都有，所以为偶函数.|1|)fx f（3）由于 ，所以原函数为非奇非偶函数.23()()f【例 2】已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，求 、 .fgx1()fxg()fxg解： 是奇函数， 是偶函数， ()x() ， . ff则 ，即 .1()gfxx 1()fxgx两式相减，解得 ；两式相加，解得 .2(1f21()g【例 3】已
