1、Comment g1: 分院改成学院宁波理工学院毕业论文（设计）开题报告（含文献综述、外文翻译）题 目 反常扩散模型在风险管理中的应用 姓 名 卢 策 学 号 3090411021 专业班级 信息与计算科学 091 指导教师 某某某 学 院 信息科学与工程学院 开题日期 2013年 01月 14日 Comment *2: 空一个字0第 1章 文献综述反常扩散模型在风险管理中的应用随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR 方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。本文总结了国内外将 VaR方法
2、用于风险管理的不同计算方法和发展历程，另一方面，考虑到分数阶反常扩散模型的特有特征“尖峰厚尾” ，本文还总结了该模型与金融市场的关系。1.1 反常扩散模型分数阶导数的理论可以追溯到 1695年 9月 30日莱布尼兹对一篇文章的评注里，在这评注里莱布尼兹讨论半阶导数的意义。然而在过去的三个世纪里分数阶导数处于缓慢发展阶段，且主要被数学家作为一种纯数学理论来发展。在近十年里，由于分数阶导数在物理，工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用，引起了国内外学者的关注。例如，对于物质的记忆性和遗传性的描述，分数阶导数提供了一个良好的工具。对许多物质结构和导电性的模拟，采用分数阶导数比整数阶导数具
3、有更强的优势, 分数阶导数对半自动的动力系统过程模拟和渗透结构的模拟同样重要。分数 阶 导数的 定 义已被很多数学家给出，有 Riesz-Feller 型的分数阶导数， Grunwald型的分数阶导数，Riemann-Liouville 型的分数阶导数，Caputo 型分数阶导数等等，它们都是整数阶导数和积分拓展和推广到任意阶导数的结果。在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck 方程，Langevin 方程，master 方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引
4、入用以描述这种现象 1-6。如2(,)(,)rpxttD应用分数阶微积分理论将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和1空间的分数阶 7，进而再扩展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来应用的另一个主要领域这些问题有重要的应用背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等 8-10。历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展的，其一是从 Fick 第一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点;其二是随机游走的观点建立的早期的 Einstein-Kolmogorov 扩散方程就是典型的例子。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游
5、走的广义概念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式 11,12。一般用时间的平均平方位移 ，尺度来刻画一个分数2()xt阶扩散特性。当 时，为整数阶扩散；而 和 入分别代表反常次扩散11和反常超扩散。1.2 国内外研究与应用现状现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。在这一领域内，国内学术界先后提出了投资组合理论、资本资产定价模型和期权定价模型，建立了对于各种风险的计量和分析的重要思想方法。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易
6、规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR 方法即是对市场风险进行测度的一种重要工具。VaR（ ValueatRisk）字面解释为 “在险价值” ，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为： )(PrVaRob其中 Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率； ：某一金融资产在P一定持有期 的价值损失额；VaR ：置信水平 下的风险价值可能的损失上t限； ：给定的概率 置信水平。1.2.1 国外研究动态20 世纪 90 年代初，国外学术界开始强调风险的量化和统一的度量尺度。21993 年 7
7、 月，国际性民间研究机构 G-30 在衍生产品的实践和规则报告中最早提出利用 VaR 方法对风险进行监管。VaR 法的核心在于如何确定资产组合收益的统计分布和概率密度函数。国外对基于 VaR 方法的风险管理的研究已经相当成熟，主 要集中在如何确定 VaR 值的问题上。主要有以下三种方法：1. 历史模拟法（HS ，Historical Simulationmethod）没有对复杂的市场结构做出假设，而是假定采样周期中收益率不变，借助过去一段时间内的资产组合风险收益的频率，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及置信水平下的最低收益水平，来推算 VaR 的值。其隐含的假定是历史数据在未来可以重现。H
8、S 方法简单，易于操作，但弊端在于用过去的数据来预测将来的发展误差较大。Boudoukh、Richardson 和 Whitelaw(1998)改进了历史模拟法，提出了具有指数权重的历史模拟。Hull 和 White（1998）认为可以通过历史数据计算每一个市场因子当前日期和每一天的日变动估计，然后用当前波动率与历史波动率作比值来对历史收益进行调整，用调整后的收益率替代实际的收益率来为投资组合定价，进而形成经验分布以估计 VaR 的值。这种方法的好处是通过重新调整收益能够反映目前的市场变动。Bulter 和 Schachter(1996)则提出利用高斯核估计和高斯Legendre 积分相结合，
9、来求得 VaR 的值和对应的置信区间。2. 蒙特卡罗模拟法（MC，MonteCarlo ）的基本思想是用市场因子的历史数据生成该市场因子未来的可能波动情景，并通过模拟来确定真实分布，从而确定VaR 的值。由于 MC 方法可以较好地处理非线性、非正态问题，可以用来分析各类风险，所以优越性很明显。在此基础上形成的 Delta-Gamma-thetaMonteCarlo、网格 MonteCarlo 和情景 MonteCarlo 等模拟更简化了计算。3. 方差协方差估计法的核心是对资产回报的方差协方差矩阵进行估计从而确定 VaR 的值和置信区间。Engle （1982）引入了自回归条件异方差ARCH
10、模型， Bollerslev(1986)提出了广义自回归条件异方差 GARCH 模型，是这一方法能够解决残差异方差的问题。对不满足正态性的资产组合，VaR 方法得到的值通常被低估，所以近年来国外学者又提出半参数法（厚尾方法） 。该方法着重于对收益率分布尾部的估计，使之能够解决金融时间序列的“厚尾”现象。尤其是基于 ARCH 模型 VaR 分析在描述资产收益波动性方面有不可比拟的功能。国外除了研究 VaR 的估计方法外，还讨论了 VaR 的缺陷问题。3Artzener、Fritte 、Giorgio 等学者通过理论与实证的研究都认为一个行之有效的风险测量方法必须满足正齐性、次可加性、单调性及过渡
11、不变性。Beder 通过实证研究总结了 VaR 的两点缺陷：其一，VaR 不能起到预警作用，即用 VaR 不能表示初临近的不利事件的发生；其二，VaR 本身没有意义，主要表现在金融工具本身很复杂，证券组合庞杂，市场概率的估计困难，计算中各种近似方法的运用与估计 VaR 的统计错误很多。Artzner 通过实证研究认为 VaR 在非正态分布的情况下不能满足次可加性。目前国外对 VaR 方法的研究已经超出了金融资产的市场风险的范围，涉及到非金融资产的风险度量、业绩评估和金融监管等方面。1.2.2 国内研究动态我国市场经济发展不够完善，金融市场初具规模，金融市场风险被政策风险所掩盖，以致国内对风险管
12、理的认识较晚，对 VaR 方法的研究起步也较晚。国内对 VaR 方法的研究以 1999 年为界限可以分为两个阶段了解学习阶段和深入研究并具体应用阶段。了解学习阶段主要是对 VaR 方法的引入，着重于对 VaR 的感念、方法的介绍。国内对 VaR 方法的研究最早开始于郑文通（1997） ，对 VaR 方法产生的背景、计算原理及应用作了介绍，并分析该方法对中国的现实意义。牛昂在风险管理的新方法 （1997）中介绍了各种计算 VaR 的方法，并对优劣性进行了评议。从 1999 年开始，我国学者对 VaR 方法的讨论进入深入研究和实际运用的阶段。詹原瑞（1999）从极值理论的角度对 VaR 进行了理论
13、和实际运用的双层次研究。之后更多的学者在理论范畴和实证范畴研究了 VaR 方法。王春峰在专著金融市场风险管理 （2001）中第一次全面系统地介绍了以 VaR 为核心的风险测量方法，同时指出用 MonteCarlo 模拟法计算 VaR 所存在的缺陷，提出了用马尔科夫链来计算 VaR 值，将国内 VaR 的研究推向了一个新的高度。马杰（2001）在人民币行为研究与外汇风险管理博士论文中，将 VaR 方法应用于宏观和微观两个层面的外汇风险管理。屠新曙（2002）将 VaR 与最佳投资组合的概念结合起来，开发了一种新的理论，一种类似 Markowitz 均值方差选4择最优投资组合的理论，即满足 VaR
14、 约束条件的最优均值投资组合理论。郭家华（2010）提出我国的银行监管应从传统的思路制定更严格管制条例和进行更严格的现场审查中跳出来，转而建立全国统一的信用评级体系，鼓励商业银行采用 VaR 模型和方法，才有利于我国信用风险管理水平的提高和金融体系的健康发展。张田（2010）结合国内某大型外贸企业的风险管理的实例，介绍了如何用 VaR 方法管理市场风险及进行风险调整后的绩效评价，认为 VaR 方法不但能建立相对理性及量化的风险管理体系，较好地解决企业风险管理的混乱现象，且 VaR 值可作为一参考指标指导企业资源更好地配置。国内也有学者研究 VaR 方法的缺陷。王建华在度量与控制金融风险的新方法
15、 （2002）一文中首次指出了 VaR 的缺陷并提出了 CvaR 的概念，阐述了CvaR 的优点和作用及其在证券组合优化中的应用。1.3 存在的问题与不足虽然现在国内外对风险管理领域内的研究已经十分透彻，但是由于现实当中存在的种种不确定因素，导致了现有方法对风险管理的预测误差。1.3.1VaR 方法存在的缺陷1.VaR 在其原理和统计估计方法上存在一定缺陷。VaR 是基于金融资产的客观概率进行计算的,也就是说它对金融资产或投资组合的风险计算方法是依据过去的收益特征进行统计分析来预测其价格的波动性和相关性,从而估计可能的最大损失。如参量法、历史数据法、历史模拟法和随机模拟法(蒙太卡罗法)都是遵循
16、这一思路进行的。由于完整的金融风险管理包括风险的识别、测定和控制三个过程,而且对一定量风险进行控制是金融风险管理的最终目的,这必然要涉及风险管理者的风险偏好和风险价格因素。所以单纯依据风险可能造成损失的客观概率,只关注风险的统计特征,并不是系统的风险管理的全部。因为概率不能反映经济主体本身对于面临的风险的意愿或态度,它不能决定经济主体在面临一定量的风险时愿意承受和应该规避的风险的份额。而完整的风险管理不但要能计量出面临的5风险的客观的量,而且应该考虑风险承担主体对风险的偏好,这样才能真正实现风险管理中的最优均衡。2.VaR 主要适用于正常市场条件下对于市场风险的衡量,而对于市场出现极端情况时却
17、无能为力。正常市场条件下,资产的交易数据比较丰富,因而使用 VaR 模型较为有效,然而,当市场远离正常状态时,交易的历史数据变得稀少,尤其当市场出现危机时,资产价格的关联性被割断,流动性全部消失,甚至连价格数据也难以得到,这使得无法使用 VaR 来有效衡量此时的市场风险。3由于 VaR 对数据的严格要求,该风险衡量方法对于交易频繁,市场价格容易获取的金融工具的风险衡量效用比较显著,而对于缺乏流动性的资产,如银行的贷款等,由于缺乏每日市场交易价格数据,其衡量风险的能力受到很大的局限。有时,需要将流动性差的金融产品分解为流动性较强的金融产品的组合,然后再使用VaR 模型来分析其风险。4.VaR 模
18、型主要适用于衡量市场风险,而对于流动性风险、信用风险、操作风险、法律风险等却难以反映。因此,VaR 是一种试图将金融机构或投资组合所面临的利率、汇率等不同种类的市场风险用一个数字表示的方法,但是这个数字远不能反映金融机构或投资组合所面临的全部风险。5.另外,从技术角度讲。VaR 值表明的是一定置信度内的最大损失,但并不能绝对排除高于 VaR 值的损失发生的可能性。例如假设一天的 99%置信度下的VaR=1000 万,仍会有 1%的可能性会使损失超过 1000 万美元。这种情况一旦发生,给经营单位带来的后果就是灾难性的。总体而言,VaR 模型对历史数据依赖性较大。依赖历史数据的根本缺陷在于历史不
19、一定总能成为未来很好的指引,依据过去的收益数据来确定未来收益的风险存在固有的缺陷。以在金融风险管理中,VaR 方法并不能涵盖一切,仍需综合使用各种其他的定性、定量分析方法。亚洲金融危机还提醒风险管理者:风险价值法并不能预测到投资组合的确切损失程度,也无法捕捉到市场风险与信用风险间的相互关系。6参考文献1陈忠阳.VaR 模型与金融机构风险管理J.金融论坛,2001,(5).2刘玲、赵娇.风险测度和管理的 VaR 方法及其优缺点J.北方经贸，2003.3卢文莹.金融风险管理M.复旦大学出版社，2006.4谷秀娟.金融风险管理理论、技术与应用M.立信会计出版社，2006.5郑文通.金融风险管理的 V
20、aR 方法及其应用J.国际金融研究，1997,(9).6牛昂.银行管理的新方法J.国际金融研究，1997,(7).7姚刚.风险值测定法浅析J.经济科学，1998，(1).8刘宇飞.VaR 模型及其在金融监管中的应用J.经济科学，1999，(l)9张尧庭.金融市场的统计方法M.广西师范大学出版社，1998.10詹原瑞.市场风险的度量:VaR 的计算与应用J.系统工程理论与实践，1999，(12).11赵睿,赵陵.VaR 方法与资产组合分析.数量经济技术经济研究.2002 年(l1):44-47.12景乃权，陈姝.VAR 模型及其在投资组合中的应用.财贸经济.2003 年(2):68-71.13姚
21、小义，滕宏伟，陈超.证券公司资产管理业务的规模风险控制.数量经济技术经济.2002 年(5):65-67.14英定文.指数期货与证券机构定量风险管理体系.数量经济技术经济研究.2002 年(10):71-74.15杜海涛.VaR 模型在证券风险管理中的应用.证券市场导报.2000 年(8):Comment *3: 空一个字Comment *4: 黑体，二号，居中，加粗Comment *5: 黑体，小二，居中757-61.第 2章 开题报告反常扩散在风险管理中的应用2.1 设计意义及目的随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得
22、尤其重要。VaR 方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。VaR作为一种动态风险管理方法，20 世纪 90年代中期兴起，并应用于一些大型金融企业，对金融工具市场风险进行测评，中国也应用在证券投资和银行监管中，表现出其较准确的风险预测性。但是目前已有的方法基本上是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提假设下建立的，而在真实市场上，由于由于经常会有突发性事件影响整个金融走势, 导致了收益率分布与正态分布相比具有尖峰厚尾性。本论文引入反常扩散模型，结合反常扩散模型的特性，将很好地解决这个问题。本文将 VaR引入金融市场投资风险管理中，以有效提高资金运用的稳健性，并保障收益性和
23、可持续性。采用实证和规范分析相结合的研究方法，筛选一段时期的历史数据，选择适合中国风险环境的 VaR模型，对风险管理运用进行实证分析，并提出相关政策建议。2.2 可行性分析考虑到本文研究内容的实际情况，该研究主要存在着数据来源和数学模型这两方面的问题。因此从这两方面对该研究的可行性进行分析。首先是数据来源方面的可行性分析。当前，网络的发达程度已经是人们难以8想象的了，关于金融市场的各方面数据信息都能找到。因此，无需担心数据获取方面的问题。故从数据来源可行性上来说，该研究是可行的。最后是数学模型可行性分析。国内外对反常扩散模型、风险管理以及 Var 等课题都已经具有翔实的资料，我所需要做的就是站
24、在巨人的肩膀上，远眺该领域内的风采。所以，在数学模型上，该研究也是可行的。2.3 研究内容本论文将主要研究反常扩散模型在风险管理中的运用，采用反常扩散模型与传统的 VaR 方法对金融市场的风险管理进行研究。目前国内外对反常扩散在风险管理中的研究尚在起步阶段。目前有关风险管理的研究与实践对反常扩散模型应用的研究和重视程度还很不够，基本局限于VaR 方法的运用，而对现实当中所存在的各种因素对实际所产生的结果的影响的重要性则缺乏足够的认识。例如，目前国外对如何确定 VaR 值的方法只要有三种（见文献综述） ，但是这三种方法都有赖于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提。但是现实生活中，我们所面临的问
25、题往往更加复杂，历史数据表明，由于市场的不稳定性，突发事件的存在，如金融危机、公司倒闭等，导致了金融资产的发生巨大亏损的概率大于对应的正态分布，即厚尾现象。如下图所示：上图中虚线所示就是现在主流研究方法所预示的结果，实线部分即是真实状况下我们观察到的结果。我们可以发现，实际情况示产生的结果是类似于图9中实线部分，我们称之为“尖峰厚尾”现象。由于上述所存在的问题，现在国内外主流研究方法所产生结果往往会比真实情况略低，导致了预测不准的问题。这一问题在国内得到了解决，任福尧等人于2006 年已经证明了反常扩散方程（6）210(,)(,)RtqxtDqx该方程的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状。但
26、是，有趣的是， 我们可以知道 的渐进行为, 有 , 其中 , ()pxt log(,)upxtC2/1xt?,这种形式的解称为伸长的 Gaussion 分布, 与标准正态分布相比, 1/(2u具有尖峰厚性。因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出 VaR，不仅考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。2.4 研究方法2.4.1 VaR 方法现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。随
27、着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR 方法即是对市场风险进行测度的一种重要工具。VaR（ValueatRisk）字面解释为“在险价值” ，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为： )(PrVaRob10其中 Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率； ：某一金融资产在P一定持有期 的价值损失额；VaR ：置信水平 下的风险价值可能的损失上t限； ：给定的概率 置信水平。2.4.2 反常扩散模型在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，
28、称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck 方程，Langevin 方程，master 方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象 1-6。如2(,)(,)rpxtpxtD应用分数阶微积分理论将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和空间的分数阶 7，进而再扩展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来应用的另一个主要领域这些问题有重要的应用背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等 8-10。历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展的，其一是从 Fick 第
29、一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点; 其二是随机游走的观点建立的早期的 Einstein-Kolmogorov 扩散方程就是典型的例子。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式 11,12。一般用时间的平均平方位移 ，尺度来刻画一个分数2()xt阶扩散特性。当 时，为整数阶扩散；而 和 入分别代表反常次扩散11和反常超扩散。2.5 预期结果现在国内外对于金融市场风险的管理方法已经十分成熟，但是一些实际上存在于现实生活中的因素总是影响着金融市场未来走向的方方面面。在本文中我引入的反常扩散模型将会更
30、加符合现实情况下的金融市场风险走向。所以，在不久的将来，国内外将涌现出更多更加先进的研究方法，让我们在这个领域内得到更加耀眼的明珠。2.6 进度安排11起始年月 进度目标要求2012.12.252012.01.5 查阅文献，撰写报告和文献综述的初稿2012.01.062012.01.08 对开题报告和文献综述初稿进行修改，外文翻译2012.01.092012.01.10 准备 PPT，开题报告答辩2012.03.162012.04.15 完成论文分析设计和模型设计2012.05.162012.06.10 论文的撰写与整理，提交毕业论文，答辩12参考文献1 M. Magdziarz, A. We
31、ron, Fractional Fokker-Planck dynamics: Stochastic representation and computer simulationJ, Physical Review E 75, 016708(2007)5 Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry of NatureM, 1983.6 Chaves A.S., A fractional diffusion equation to describe Levy flightsJ, Physics Letters A, 1998,239: 13-16.7 Benson
32、 D.A., Wheatcraft S.W. and Meerschaert M.M., Application of a Factional Advection-DispersionEquationJ, Water Resour. Res., 2000, 36: 1403-1412.8 Schumer R., Benson D., Meerschaert M., et al., Eulerian derivation of the fractionaladvection-dispersion equationJ, J.Contam.Hydrol, 2001, 48(1-2):69-88.9
33、Elli B., CTRW pathways to the fractional diffusion equationJ, Chemical Physics, 2002, 284:13-27.10陈忠阳.VaR 模型与金融机构风险管理J. 金融论坛,2001,(5).11刘玲、赵娇 .风险测度和管理的 VaR 方法及其优缺点J.北方经贸，2003.12卢文莹.金融风险管理M.复旦大学出版社，2006.13谷秀娟.金融风险管理理论、技术与应用M.立信会计出版社，2006.14郑文通.金融风险管理的 VaR 方法及其应用J.国际金融研究，1997,(9).15牛昂.银行管理的新方法J.国际金融研究
34、，1997,(7).13第三章 外文翻译分数阶 Fokker-Planck 动力系统: 随机表示和计算机模Marcin Magdziarz 和 Aleksander Weron乌戈斯坦豪斯中心，中国科学院数学计算机科学学院，弗罗茨瓦夫理工大学Wyb. Wyspianskiego 27, 50-370 Wroclaw, PolandKarina Weron摘要本文提出了一个反常扩散过程样本路径的可视化模拟算法。这是基于分数Fooker-Planck 方程的随机表示，其中方程是用来描述一个非常数外力下的反常扩散现象.对上面提出的算法引入了蒙特卡罗方法，这将会为我们研究分数阶Fooker-Planc
35、k 动力系统的很多相关统计特征提供有力工具。1 引言本文提出了一个反常扩散过程样本路径的可视化模拟算法。这是基于分数Fooker-Planck 方程的随机表示，其中方程是用来描述一个非常数外力下的反常扩散现象.对上面提出的算法引入了蒙特卡罗方法，这将会为我们研究分数阶Fooker-Planck 动力系统的很多相关统计特征提供有力工具。概率密度函数中的 FFPE 的几种解决方法中所述。然而，这种方法的局限性是，它不允许一个构造和分析样本路径的底层的随机过程。在这里，我们介绍一个简单而有效的方法，计算机模拟的反常扩散过程的 FFPE 样品路径。这让我们考虑正在调查的物理系统的数学统计特性，如分量线
36、和相应的概率密度函数随时间的演化。建议的仿真方法是一个随机表示反常扩散过程（YT）方面的 PDF 函数 w（X，T ）：即， （YT）= X（St ）的，其中 X 是由 FFPE 描述的后果一定 ITA的随机微分方程和（St）的解决方法是反时限的一个稳定关系。在此上下文中所产生的一个基本特征是该系统的时间随机变化。它反映了一个基础的事实，CTRW 场景中的粒子连续跳跃之间的等待时间的分布是重复的。此外， 描述)(X14了标准布朗运动的朗之万型动态 揭示了一些光的分数动态。总结，FFPE 随机)(B表示的反常扩散过程提供了另一种到微观动力学的基础链接，在 Langevin 描述。在 Lvy 飞行
37、的共振激活的背景下一个相关的问题是，通过相应的 Langevin 方程的分数阶的 Fokker-Planck 动力学数值模拟研究解释 6；参照7.本文的结构如下所示。以秒为单位。第二，我们是一个随机过程，的 PDF 遵守的分数 Fokker-Planck 方程的动态，可以认定为从属关系的两个基本过程：该解决方案有一定的 ITA 的随机微分方程和反时限稳定的从属连词。利用所得到的表示，在第三部分，我们找到一个有效的方法模拟样品的反常扩散模型的路径。我们引进的算法和蒙特卡罗方法使我们能够检测和研究许多相关的分数福克-普朗克动力学的统计特性，如分量线，进化中的 PDF 格式的，渐近平稳，自相似性，等
38、等。1 随机表示的 FFPE著名的 FFPE ，描述反常扩散在外部可能 的存在下，由下式给出下面的)(XV公式：在1 中明确它派生，对其解决的方法进行了介绍和计算某些特殊情况下的精确解。在这里，操作 是 Riemann- Liouville 型的分数阶导数8。它是已知的 介绍了一种卷积积分与缓慢衰减的幂律内核,这是典型的复杂系统中的记忆效应的9。在 ，通过 表示 PDF 的主要立场的衍生工具有关的空间坐标的力量和潜力 。常数 K 表示异常的扩散系数，而为广义分歧常数，对于 成为或普通的 Fokker-Planck 方程。 FFPE 介绍了15图 1.（有颜色的线） （a ）中 PDF 的时间变
39、化的反常扩散 与参数和 和（b）标准扩散（布朗运动） 。尖形状的,2/1,6.0,)(KconstxVPDF 在反常扩散的情况下，确认的模拟算法的正确性（cf.1）.（a）中的显示了蒙特卡洛方法所得出的算法。按照平均平方位移得出无用区间，它遵循一些通用的涨落耗散定理。另外，一个推广的爱因斯坦 - 斯托克斯维 Smoluchowski 关系 连接广义分歧系数和扩散系数。1.本节的主要目的是要表明该解决方案 FFPE（1）中的 是和 PDF(见图 1)次级过程 相同，通过以下方式获得的时间随机变化，其中过程 是随机微分方程的解决方法由标准布朗运动 驱动。 的从属，叫做反时限 从属，1610,11的
40、定义是在 列维变换上标准递增的地方 14-i.e.， 的拉普拉斯变换过程此外，过程 和 被认为是独立的。观察 和 这两个过程在时刻的内部就被索引。这个时间并不是准确的物理时间。为了找到可以观察粒子的时间 t，我们就来介绍反时限 的从属 有关的内部时刻 和观察到的时间 t。的物理性质已经在最近发表的论文中详细论述10,11。值得一提的是 可以以自然的方式明确出现并在考虑 CTRW 情况下，等待时间重合分布连续跳跃的颗粒之间的导出。表 1 主要流程和表现方法随机代表性的优点（2）相对于其他流行的从属方法，在 PDF 积分变换中显示出来。12.13下面从 的反常扩散模型的计算机模拟中研究。现在，让我
41、们结束上一届中的主要问题。让 潜在的一个任意的非恒定功能。首先，我们在 中的 和 中的 建立联系。 （该符号的使17用见于表 1） 。 严格遵循 的列维变换，它是 的自相拟 15；i.e.，它的 PDF 满足了可扩展的关系。现在，我们已知 ，我们计算了拉普拉斯变换：使用总概率公式并且独立于 和 ，我们得到 的 是由下式给其中 和 是 PDF 的 和 分别给出的。因此，在拉普拉斯空间里，上述式和（7）式产生18因为过程 是由随机差分方程（3）给出的，它是 服从普通福克普朗克方程1因此，在拉普拉斯空间中 和（1）式中的解决方法 之间的关系遵循12,16:现在，我们使用（8）式终于获得最后一个公式为
42、我们提供了关系因此，我们展示 FFPE（1 ）中 这个解决方法描述在（2）式中 PDF的次级动态过程。这一结果提供了物理的更换操作的时间 12的过程通过以下方式获得的反常扩散现象的解释，在标准扩散 中，由 从属 的反时限。这种变化的系统的运行时间有关的事实，即连续跳跃的粒子在底层的19CTRW 场景之间的等待时间的分布是重合的。在特殊情况下的恒定可能 =常数， 的傅里叶变换是，就 的米格塔- 莱夫勒函数来看，是由下式得出10,11所示，同样的公式适用于 中的 PDF ，这证实了10 的一般结果是符合物理规律的。可以发现在的 H- FOX 功能的封闭形式的解决方案的FFPE1。不幸的是，这些功能
43、都可以在数值上只在一些特殊情况下评估。在接下来的章节中，我们使用随机的 FFPE 建设的基础反常扩散过程的模拟样本路径的方法表示2 。3.样本路径的数值逼近下面，我们将展示如何得到数值近似样品的反常扩散模型 的路径。在最近的文献5 中，作者提出了一种方法，通过底层的 CTRW 的模拟样品的反常扩散的路径。在他们的方法中，它是必要的粒子，这是米塔格 - 莱弗勒distributed.Since 的计算机生成的米塔格 - 莱弗勒分布式的随机变量是麻烦产生连续的停留时间，者是作者认为所有人都无法取代的米塔格 - 莱弗勒分布帕累托一个重要原因。不过，这两个分尽管有其明显的相似性，即渐近行为，但是有一些
44、独特的的差异，特别是当该参数接近 1 时。我们的方法源于不同的概念；它明显的用（2）式表示。它不需要产生米塔格 - 莱弗勒分布的随机变量，在我们的算法中，每一个轨迹作为一个从属进程的两个轨迹保守地得到 和 i.e.，随机微分方程3的解决方法中的定义和从其中一个是严格的增加列维变换。该算法的近似过程 在集合 中， 和 之间是时间跨度，有两个步骤组成。（1）我们的第一个目标是 中近似的值 。因此，我们开始实现严格的增加逼近 列维变换 在使用标准方法，20求和的过程中的增量我们得出由17-19: 中他的随机变量 V 是均匀分布在区间上的.图 2.（有颜色的线）用可视化的方法发现的值 ，该算法在第一个
45、步骤中使用。如果那么 。现在，对于 的每一个元素，我们都能找到元素属于 ，并且最后，从（4）中自定义，我们得到这样一个例子（见图 2）值得强调的是， 是一个严格的增加功能，找到值的上述步骤21，可以有效实现。（2）在第二步骤中，我们的目的是在 的次级过程中找到近似值。从该算法的第一步骤中，我们已经有我们所掌握的近似值 。我们从经典的欧拉方程中采用解决方案 在中的随机微分方程（3） 。在这里， L 是等于第一整数。图 3.（有颜色的线）在第二步骤中的算法线性插值的可视化用什么方法来找到的值 。在这种情况下， 。22图 4.（有颜色的线）样品实现（a）异常扩散 （b）正常扩散 和（c） 的反时限
46、，存在一个恒定的可能。参数是 和它的时间间隔是 保持不变，表明底层 CTRW 重合停留时间。和 以及 和 之间的恒定的间隔之间的相似性在剩余的域内是不同的。超过规定值 。从欧拉公式14我们可以得出：因为 这里 是 i.i.d 随机变量，呈标准正态分布，现在， 的自实现是连续函数，因为从迭代计划（12）我们得到我们所掌握的值 ，我们使用标准的线性插值，以获23得的近似值 因此，对于每一个 我从矩阵中可以得出。图 5.（有颜色的线）实现的异常样本扩散 （b）正常扩散 和（c）中的反时限扩散 。图 6.（有颜色的线）估计分量线和两个样品反常扩散 的轨迹在不断的与潜24在的参数图 7.（有颜色的线）4
47、.结论我们引进了电脑的有效方法样品的路径的 subdiffusive 过程模拟的描述的FFPE 。这使得调查的分数阶福克 - 普朗克动力学的复杂系统的蒙特卡罗方法。我们已经表明，在 solutionw 的 FFPE 等于 PDF。其中 x 是由方程描述的标准的扩散。是所谓的逆时间稳定的从属处理从底层重尾的停留时间是一个新的操作时间的系统和原稿坐标 CTRW 。将得到的随机表示是至关重要的构建的模拟样本路径的算法反常扩散 X（s） ，其中，反过来，使我们能够检测和研究许多相关的系统属性考虑。该算法可以应用于对一个任意可能 V（x）和的任何参数值。所提出的方法，因为这是一个很大的优势只能根据已知的精确解的 FFPE ，福克斯功能，此功能可以在数值上只有在一些特殊的情况下进行评估。另外，由于算法使用2随机的表示，我们避免所有的困难模拟米塔格 - 莱弗勒分布，这似乎在提出的方法在5。我们预计，在这里提出的统计工具会导致 UTE 更好地了解次扩散运输和动态基础。25
