1、3.5 二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式 (组)所表示的平面区域学习目标 1.理解二元一次不等式组的解、解集概念 .2.会画出二元一次不等式 (组)表示的平面区域.知识点一 二元一次不等式(组) 的概念思考 对于只含有一个未知数的不等式 x0(或0(或0 不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域.( )2.点(1，2) 不在不等式 2xy 10 表示的平面区域内.( )3.不等式 AxByC0 与 AxBy C0 表示的平面区域是相同的 .( )4.二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式.( )5.二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域.(
2、 )类型一 二元一次不等式解的几何意义例 1 已知点(3，1)和( 4，6) 在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围是.答案 (7，24)解析 点(3，1)和( 4，6)必有一个是 3x2ya0 的解，另一个点是 3x2ya0 的解.Error!或Error!即(3321a)3( 4)26a 0，(a7)(a24)0，解得7a24.反思与感悟 对于直线 l：AxByC 0 两侧的点( x1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax1 By1C 0，则 Ax2By 2C0，即同侧同号，异侧异号.跟踪训练 1 经过点 P(0， 1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2) ，B(2，1)
3、的线段总有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解 由题意知直线 l 的斜率存在，设为 k.则可设直线 l 的方程为 kxy10，由题意知 A，B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧，所以有(k1)(2k 2)0，所以1k1.故直线 l 的斜率 k 的取值范围是1，1.类型二 二元一次不等式表示的平面区域例 2 画出不等式 x4y 0 表示的平面区域在直线 x2y60 的( )A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方答案 B解析 在平面直角坐标系中画出直线 x2y60，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0，0) 代入 x2y6，得 00660，所以原点(0，0)在不等式 x
4、2y 60 表示的平面区域内，故选 B.类型三 二元一次不等式(组 ) 表示的平面区域命 题 角 度 1 画 平 面 区 域例 3 用平面区域表示不等式组Error!的解集.解 不等式 y2.又阴影部分在直线 x0 左边，且包含直线 x0，故可得不等式 x0.由图象可知，第三条边界线过点(2，0) ，点(0，3) ，故可得直线 3x2y 60，因为此直线为虚线且原点 O(0，0)在阴影部分，故可得不等式 3x2y 60. 观察选项可知选 C.3.下面给出的四个点中，位于Error!表示的平面区域内的点是( )A.(0，2) B.( 2，0)C.(0，2) D.(2，0)答案 C解析 依次将 A
5、，B，C，D 四个选项代入即可知只有 C 符合条件.4.画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1)x2y40；(2)y2x .解 (1)画出直线 x2y40，0 20440，x 2y40 表示的区域为含(0 ，0)的一侧，因此所求为如图所示的阴影部分区域，包括边界.(2)画出直线 y2x0，0 2120(即 y2x)表示的区域为不含(1 ，0)的一侧，因此所求为如图所示的阴影部分区域，不包括边界.1.对于任意的二元一次不等式 AxBy C0(或0 时，(1)AxBy C0 表示直线 AxByC 0 上方的区域；(2)AxByC0 的点(x， y)所在的平面区域为( )答案 B解析 不等式(x
6、y)(x2y 2)0 等价于不等式组Error!或不等式组Error!分别画出不等式组和所表示的平面区域，再求并集，故选 B.5.点 A(2，b)不在平面区域 2x3y50 内，则 b 的取值范围是( )A.b B.b113C.b D.b913答案 C解析 依题意，点 A(2，b )满足 2x3y50，2(2) 3b 50，即 b .136.若点(m ， 1)在不等式 2x3y50 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是( )A.m1B.m1C.m1答案 D解析 由 2m350 ，得 m1.二、填空题7.原点与点(1，1)有且仅有一个点在不等式 2xy a0 表示的平面区域内，则 a 的取值
7、范围为.答案 (1，0解析 根据题意，分以下两种情况：原点(0，0) 在该区域内，点(1，1) 不在该区域内.则Error!无解；原点(0，0) 不在该区域内，点(1，1) 在该区域内，则Error!10，不符合题意，舍去.综上，m3.三、解答题11.画出不等式组Error!表示的平面区域.解 先画出直线 xy 50(画成实线)，取原点 O(0，0)，代入 xy5，因为 00550，所以原点在 xy 50 表示的平面区域内，即 xy50 表示直线 xy50 上及其右下方的点的集合，同理可得 xy0 表示直线 xy0 上及其右上方的点的集合，x3 表示直线 x3 上及其左方的点的集合.所以原不等
8、式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).12.在ABC 中，A(3 ，1)，B(1，1) ，C (1，3)，写出 ABC 区域( 包括边界)所表示的二元一次不等式组.解 如图所示，可求得直线 AB，BC，CA 的方程分别为 x2y 10，xy20，2x y50.ABC 区域在直线 AB 上及其右上方，x 2y10；ABC 区域在直线 BC 上及其右下方，x y20；ABC 区域在直线 AC 上及其左下方，2x y50.ABC 区域可表示为 Error!13.利用平面区域求不等式组Error!的整数解.解 由线性约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界) 所示 .把 x3 代入 6x7y
9、 50，得 y ，327又 y2 ，整点有(3，2)，(3，3) ，(3，4)；把 x4 代入 6x7y50，得 y ，267整点有(4，2)，(4，3).把 x5 代入 6x7y 50，得 y ，207整点有(5，2)；把 x6 代入 6x7y 50，得 y2，整点有(6 ，2)；把 x7 代入 6x7y 50，得 y ，与 y2 矛盾.87整数解共 7 个，为(3，2)， (3，3)，(3 ，4)，(4，2) ，(4，3) ，(5，2)，(6 ，2).四、探究与拓展14.不等式组Error!表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则 k 为( )A.1 B.1C.1 D.2答案 C解析 在不等
10、式组Error!所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分别为(0，0) ，( 1，0)，2(0， 1) ，又 xkyk0 表示的是过点(0，1) 的直线，则当 k0 时，k1 满足条件( 如2图 1)；当 k0 时， k1 满足条件(如图 2).故当 k1 或 1 时不等式组Error!表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选 C.图 1 图 215.记不等式组Error!所表示的平面区域为 D，若直线 ya (x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是.答案 12， 4解析 不等式组所表示的平面区域 D 为如图所示阴影部分( 含边界)，且 A(1，1) ，B(0，4)，C .(0，43)直线 ya(x1)恒过定点 P(1，0)且斜率为 a.由斜率公式可知 kAP ，k BP4.12若直线 ya(x1)与区域 D 有公共点，数形结合可得 a4.12
