1、对数及其运算教案学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.学习重难点1.对数的概念在指数函数 f(x)a x(a0,且 a1)中,对于实数集 R 内的每一个值 x,在正实数集内都有唯一确定的值 y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值 y,在 R 内都有 唯一确定 的值 x 和它对应. 幂指数 x ,又叫做以 a 为底 y 的对数.一般地 ,对于指数式 abN,我们把“以 a 为底 N的对数 b”记作 logaN ,即 blog aN(a0,a1).其中,数 a 叫做对数的 底数 ,N 叫做
2、 真数 ,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”.2.对数 logaN(a0,且 a1)的性质(1) 0 和负数 没有对数,即 N0;(2)1 的对数为 0,即 loga10 ;(3)底的对数等于 1,即 logaa1 .3.常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数 log10N 简记作 lg N . 学习过程问题情境 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是 16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数 ”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一对数的概念问题 1
3、 若 24M,则 M 等于多少？若 22 N,则 N 等于多少？答：M16,N .14问题 2 若 2x16,则 x 等于多少？若 2x ,则 x 等于多少？ 14答：x 的值分别为 4,2.问题 3 满足 2x3 的 x 的值,我们用 log23 表示,即 xlog 23,并叫做“ 以 2 为底 3 的对数”.那么满足2x16,2 x ,4x8 的 x 的值如何表示？14答：分别表示为 log216,log2 ,log48.14小结：在指数函数 f(x)a x(a0,且 a1)中,对于实数集 R 内的每一个值 x,在正实数集内都有唯一确定的值 y 和它对应;反之 ,对于正实数集内的每一个确定
4、的值 y,在 R 内都有唯一确定的值 x 和它对应.幂指数 x,又叫做以 a 为底 y 的对数.一般地,对于指数式 abN,我们把“ 以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN,即 b logaN(a0,a1).其中,数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”.探究点二对数与指数的关系 + + 问题 1 当 a0,且 a1 时,若 axN, 则 xlog aN,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式 xlog aN 不过是指数式 axN 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题 2 在指数式 axN 和对数式 xlog aN 中,
5、a,x,N 各自的地位有什么不同？ 学, , ,X,X, 答a N x指数式 axN 指数的底数 幂 幂指数对数式 xlog aN 对数的底数 真数 对数问题 3 若 abN,则 blog aN,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a N.问题 4 当 a0,且 a1 时,log a(2),log a0 存在吗？为什么？由此能得到什么结论？答：不存在,因为 loga(2),log a0 对应的指数式分别为 ax2,a x0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0 和负数没有对数.问题 5 根据对数定义,log a1 和 logaa (a0,a1)的值分别是多少？答：log a10,log a
6、a1.对任意 a0 且 a1,都有 a01, 化成对数式为 loga10;a1a,化成对数式为 logaa 1.小结：对数 logaN (a0,且 a1)具有下列性质:(1)0 和负数没有对数,即 N0;(2)1 的对数为 0,即 loga10;(3)底的对数等于 1,即 logaa1.例 1 求 log22, log21, log216, log2 .12解：因为 212,所以 log22 1;因为 201,所以 log210;因为 2416,所以 log2164;因为 21 ,所以 log2 1.12 12小结：log aN x 与 axN (a0,且 a1,N0)是等价的,表示 a,x,
7、N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知 a,x,N 中的任意两个量 ,就能求出另一个量.跟踪训练 1 将下列指数式写成对数式:(1)54625; (2)26 ; (3)3a27; (4) m5.73. 。 。 164 (13)解：(1)log 56254; (2)log2 6; (3)log327a; (4)log 5.73m.164 13例 2 计算:(1)log 927; (2)log 81; (3)log 625.43 354解：(1)设 xlog 927,则 9x27,3 2x3 3,x .32(2)设 xlog 81,则 x81,3 3 4,x16.43
8、 (43)(3)令 xlog 625, x625,5 5 4,x3.354 (354)小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练 2 求下列各式中的 x 的值:(1)log64x ; (2)logx86; (3)lg 100x.23解：(1)x(64) (4 3) 4 2 .23 23 116(2)x68,所以 x(x 6) 8 (2 3) 2 .16 16 16 12 2(3)10x10010 2,于是 x2.探究点三常用对数问题阅读教材 96 页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以 10 为底的对数叫做常用对数.通常把底
9、 10 略去不写,并把“log”写成“lg”,并把 log10N 记做lg N.如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100 的对数是 2”就是“100 的常用对数是 2”.例 3 求 lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为 10110,所以 lg 10 1;因为 102100,所以 lg 1002;因为 102 0.01,所以 lg 0.012.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为 10n (n )时,lg 10nn;当真数不是 10 的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用 学计算器求得.跟踪训练 3 求下列各式中的 x 的值:(1)log2(log5x
10、)0;(2)log3(lg x)1;(3)log( 1) x.213 22解：(1)log2(log5x)0. log5x2 01,x5 15.(2)log3(lg x)1, lg x3 13, x10 31 000.(3)log( 1) x, ( 1) x 1, x1. 213 22 2 13 22 12 12 12 1 2练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若 log(x1) (x 1)1,则 x 的取值范围是 (B)A.x1 B.x1 且 x0C.x0 D.xR解析：由对数函数的定义可知 x11，x10 即 x1 且 x0.2.已知 log x3,则 x _ _.12 13 12解析：l
11、og x 3,12x ( )3,12x .13 123.已知 a (a0),则 log a_4_.12 49 23解析：由 a (a0),得 a( )2( )4,12 49 49 23所以 log alog ( )44.23 23234.将下列对数式写成指数式:(1)log 164;(2)log 21287;(3)lg 0.012.解：(1) 4 16;(2)2 7128; (3)102 0.01.(12)课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化 abN logaNb.2.对数的常用性质有:负数和 0 没有对数,log a10,log aa1.3.对数恒等式有:a log aNN,log aann.4.常用对数:底数为 10 的对数称为常用对数 ,记为 lg N.
