1、数理统计考试试卷一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）1、总体 的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差 _；)3,20(NX YX2、设 为取自总体 的一个样本，若已知 ,则16,. )5.0,(2NX 0.32)16(20.=_；816iP3、设总体 ，若 和 均未知， 为样本容量，总体均值 的置信水平为),(2NX2n的置信区间为 ，则 的值为_； 1),X4、设 为取自总体 的一个样本，对于给定的显著性水平 ，已n,.2 ),(2N知关于 检验的拒绝域为 2 ，则相应的备择假设 为_；1n1H5、设总体 ， 已知，在显著性水平 0.05 下，检验假设 ,),(NX 0:，拒绝域
2、是_。01:H1、 ； 2、0.01； 3、 ； 4、 ； 5、 。)(他 nSt)1(22005.z二、选择题（本题 15 分，每题 3 分）1、设 是取自总体 的一个样本， 是未知参数，以下函数是统计量的为（ ） 。32,X（A） （B） （C） （D）)(1321X321X231)ii2、设 为取自总体 的样本， 为样本均值，nX,.2 ),(2N，则服从自由度为 的 分布的统计量为（ ） 。1)(Sini 1nt（A） （B） （C） （D ）他nSX)( 他Xn(1nSX)(13、设 是来自总体的样本， 存在， ,nX,21 2)(XD212)(XnSii则（ ） 。（A） 是 的矩
3、估计 （B） 是 的极大似然估计2S2（C） 是 的无偏估计和相合估计 （D ） 作为 的估计其优良性与分布有S2关4、设总体 相互独立，样本容量分别为 ，样本方差分别),(),(221NYX 21,n为 ，在显著性水平 下，检验 的拒绝域为（ ） 。21,S21210:,:H（A） （B）),1(221nFs )1,(212nFs（C） （D）),(2121s ),(2121s5、设总体 ， 已知， 未知， 是来自总体的样本观察值，已),(2NXnx,21知 的置信水平为 0.95 的置信区间为（4.71，5.69） ，则取显著性水平 时，检验假05.设 的结果是（ ） 。0.5:,.:10
4、H（A）不能确定 （B）接受 （C）拒绝 （D）条件不足无法检验0H0H1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.三、 （本题 14 分） 设随机变量 X 的概率密度为： ，其中未知他xxf0,2)(参数 ， 是来自 的样本，求（1） 的矩估计；（2） 的极大似然估计。0nX,1 解：(1) ，32)()(0xdxfE令 ，得 为参数 的矩估计量。3XX(2)似然函数为： ，),21(,02),(11 nixxxLininiii 他而 是 的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 。)(L ,max21nX四、 （本题 14 分）设总体 ，且 是样本观察值，样本方差 ，),0(2NX10
5、21,x 2s（1）求 的置信水平为 0.95 的置信区间；（2）已知 ，求 的置2 )1(2XY3XD信水平为 0.95 的置信区间；（ ， ） 。70.)9(75.003.9)(25.解：（1） 的置信水平为 0.95 的置信区间为 ，即为（0.9462，6.6667） ；2 )9(18,)(275.0205.（2） = ；32XD222)1(1D由于 是 的单调减少函数，置信区间为 ，232,即为（0.3000，2.1137） 。五、 （本题 10 分）设总体 服从参数为 的指数分布，其中 未知， 为取X0nX,1自总体 的样本， 若已知 ，求：X)2(21nUni（1） 的置信水平为
6、的单侧置信下限；1（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得样本均值为 5010（h） ，试求元件的平均寿命的置信水平为 0.90 的单侧置信下限。)58.42)3(,985.4)3(210.05. 解：(1) ,1)2(,)(2 nXPnXP即 的单侧置信下限为 ；（2） 。)( 706.3458.46六、 （本题 14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 ，今阶段)1,0(NX性抽取 10 个水样，测得平均浓度为 10.8（mg/L） ，标准差为 1.2（mg/L ） ，问该工厂生产是否正常？（ ）220.250.50.975,(9
7、).6,(9)1.3,().t解：（1）检验假设 H0： 2=1，H 1： 21； 取统计量： ；202)1(sn拒绝域为： 2 =2.70 或 2 =19.023，)9()(275.01n205.)1(n经计算： ，由于 2，6.1.202s )3.9,7.(6.2故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2=1。 （2）检验假设 ； 取统计量： ；1010他他 10/SXt)9(2t拒绝域为 ； 2.2622 ，所以接受 ，26.)9(025.t 1028./2.8t0H即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L） 。综上，认为工厂生产正常。七、 （本题 1
8、0 分）设 为取自总体 的样本，对假设检验问题4321,X)4,(2N， （1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（2）若 =6，求上述检验所5:,:10H犯的第二类错误的概率 。 解：(1) 拒绝域为 ;96.1254/02.zxz（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92） ，当 =6 时，接受 的概率为0H。921.68.1269.8.08.1 XP八、 （本题 8 分）设随机变量 服从自由度为 的 分布，(1)证明：随机变量 服从),(nmFX1自由度为 的 分布；(2)若 ，且 ，求 的值。),(mnFnm05.XP1XP证明：因为 ,由 分布的定义可令 ，其中 ，)(XnVm
9、U/ )(),(22nV与 相互独立，所以 。UV),(/1nFUV当 时， 与 服从自由度为 的 分布，故有 ，nm, XP1从而 。95.0.1111 XPXP数理统计试卷参考答案一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）1、 ； 2、0.01； 3、 ； 4、 ； 5、 。)0(他NnSt)1(22005.z二、选择题（本题 15 分，每题 3 分）1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.三、 （本题 14 分）解：(1) ，32)()(0xdxfXE令 ，得 为参数 的矩估计量。32)(2)似然函数为： ，),21(,02), 11 nixxxLininiii 他而 是 的单调
10、减少函数，所以 的极大似然估计量为 。)( ,max21nX四、 （本题 14 分）解：（1） 的置信水平为 0.95 的置信区间为 ，即为（0.9462，6.6667） ；2 )9(18,)(275.0205.（2） = ；32XD222)1(1D由于 是 的单调减少函数，置信区间为 ，232,即为（0.3000，2.1137） 。五、 （本题 10 分）解：(1) ,1)2(,1)2( nXPnXP即 的单侧置信下限为 ；（2） 。)( 706.3458.46六、 （本题 14 分）解：（1）检验假设 H0： 2=1，H 1： 21； 取统计量： ；202)1(sn拒绝域为： 2 =2.7
11、0 或 2 =19.023，)9()(275.01n 205.)1(n经计算： ，由于 2，96.12.)1(202sn )03.19,7.2(6.12故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2=1。 （2）检验假设 ； 取统计量： ；1010他他 10/SXt)9(2t拒绝域为 ； 2.2622 ，所以接受 ，26.)9(025.t 1028./2.8t0H即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L） 。综上，认为工厂生产正常。七、 （本题 10 分）解：(1) 拒绝域为 ;96.1254/02.zxz（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92） ，当 =6 时，接受 的概率为0H。921.68.1269.8.08.1 XP八、 （本题 8 分）证明：因为 ,由 分布的定义可令 ，其中)(nmFnVmUX/， 与 相互独立，所以 。)(),(22nVmUUV),(/1Fn当 时， 与 服从自由度为 的 分布，故有 ，X1),(nP1从而 。95.0.111 XPP
