1、11.设总体 X 的概率密度函数为：21)(xef)0(试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数 。解：（1）矩法由于 EX 为 0， 20020021)(21)(2222dxexexdexdxfEX2XED令 得：2SS（2）极大似然法 nii xnixeL1221ni12llnixdL123ln令 得0lni122.设总体 X 的概率密度函数为，0,1)(2xefx2其中 为未知参数， 为来自总体 X 的样本。试分别用矩法)0(),(21nX和极大似然法估计其未知参数 。解：（1）矩法 02 022022)(dxedxeexxdxfEX 而 02x故 2)(02)02 xdedxe令 EX所
2、以 x（2）极大似然法 nii xnixnin eexL 122111);,( nii x121)l(2lnixdL123ln令 得 。0lndnni213.设总体 X 的概率密度函数为：xxx,0),/(ep1),;(3其中 0，现从总体 X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数 。和解：（1）矩法经统计得： 063.,17.2SX xxx xxedee dE )()()(222)(12 222 EXdxeexXxx)(ED令 即2SX2X故 063.,16.S
3、（2）极大似然法)(11),;( XnXni eexLi)(lln)(ln,0l 2XnLL因为 lnL 是 L 的增函数，又 n,21所以 05.2)1(X令 得ln126.)(4.已知总体 的分布密度函数为：4其 它,0121);(xxf（1）用矩法估计其未知参数 ；（2）用极大似然法估计其未知参数 。解：（1） E令得： （2） nninL)21();,(21，故 L 的单调性与 无关0d又 1,12n可以取 。)1()(n5.设正态总体的方差 已知， 为总体的一组容量为 n 的样本的平均值。在给2x定的显著性水平 情况下，检验假设 时，犯第二 01100 ：；： H类错误的概率为 ，试
4、验证 ，并由此推倒出关系式）（ nu/10。20121)()(un证：解：根据犯第二类错误的概率的定义，有 ）（ 接 受 nunuXPHP/010 11011105由上述结论可知， nu/01所以， u/011故 即n/011 20121)()(u6.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取 8 只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取 9 只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养
5、前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（ ）。05.解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布 ，保养后生产的滚珠直径),(21aN服从正态分布 。),(2aN问题归结为检验假设 21210:;:H经统计得： ，5.1X954.2*S，97842215.2*10SF查表得： 50.3)8,7(),(95.021Fn因为 0所以拒绝 ，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。H7.已知用精料养鸡时，经若干天，鸡的平均重量为 2kg。现对一批鸡改用粗料饲养，同时改进饲养方法，经过同样长的饲养期，随机抽取 10 只，得重量分别为（单位：kg）：2.15, 1.85,
6、 1.90, 2.05, 1.95, 2.30, 2.35, 2.50, 2.25, 1.906经验表明，同一批鸡的重量服从正态分布 ，试判断关于这一批),(2N鸡的重量的假设： ； ： （ =0.1）。0H218.2解： ： ； ： .经统计得： ， ，2.X0451.S24.S查表得： 381)9(0.t接受域为： 即)1(,1nt )2179.,(,AX12.。接 受 0H8.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为 9 和 8 的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：甲厂： ,137.0,2. 1*2nsx乙厂： 。86692y设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正
7、态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（ =0.05）？解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从 ),(),(221N、问题归结为检验假设 ；210：H2：因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设；21)(0：H21)(：用 F 检验法， 的接受域为：)1(0（因为 ）2*1212),(Sn 22*1S现在 ，8,92187.063.2*1查表得： 208.5.41),(),(025.12FnF因为 0.8170.2208，所以接受 ，即认为方差相等。)1(H7在 的情况下，再用 T 检验法检验 ， 210H， ， ，3.0X69.Y4859.12n384.0
8、16.)(37.0)(21 nSSw 289.45.38.621 yxTw查表得： 13.)()(975.0tnt因为 ，所以接受 ，即可以认为两个分厂铸铁的212T0H含碳量的平均值一样。9.卢瑟福盖革观察在 7.5 秒的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射性物质放射出的 质点数，共观察了 2611 次，得到下表：j0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1057 203 383 525 535 408 273 139 45 27 16 0其中 是 质点数， 是在一次观察中到达的 质点数为 的观察次数。问在 7.5jjj秒中到达计数器的 质点数 X 是否服从泊松分布 ？）（ 05.解：
9、 )(:);(: 0100 xFHxF其中 F(x)为 X 的分布函数，F 0(x)是参数为 的泊松分布的分布函数。87.326910jjnxj jpjnpjjnp/20 57 0.020858 54.46 59.661 203 0.0807 210.76 195.532 383 0.15619 407.82 359.693 525 0.2015 526.09 523.914 535 0.19494 508.99 562.345 408 0.1509 393.96 422.546 273 0.09732 254.10 293.317 139 0.0538 140.48 137.548 45 0
10、.02603 67.96 29.809 27 0.0112 29.22 24.951016 0.006562 17.13 14.94 2611 1 2611 2624.21821.3621.4102 nj查表得： 91.6)()()( 95.095.021 rm因为 0所以，接受 H0，即可以认为在 7.5 秒中到达计数器的 质点数 X 是服从参数为3.87 的泊松分布。10.从总体 中抽取容量为 80 的样本，频数分布如下表：区间 )410， )214， )4321， 143，频数 6 18 20 36试问在显著性水平 下，总体 的分布密度 是否可25.， 其 它，0)(0xxp信？解： )
11、1():);10(): 220 xFHxxFHi 区间 iipinpinp21 )410， 6 165 7.22 2， 18 315 21.63 )3， 20 525 164 14， 36 16735 37.03 80 1 80 81.834122083.iinp查表得： 348.9)()1(2975.02 rm因为 ，所以接受 ，即认为总体 的分布密度函数为100H。， 其 它，2)(0xxp911.某建材实验室在作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对 28 天后的混凝土抗压强度 （kg/cm 2）的影响，测得如下数据：i150 160 170 180 190 20
12、056.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3ix210 220 230 240 250 26074.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7（1）求 对 x 的线性回归方程；（2）试用 F 检验法检验线性回归效果的显著性 ；)05.(（3）求 （kg）时 的 0.95 置信区间；250x0（4）为了把抗压强度 限制在（60，80）内，需要把 x 的值限制在何范围内？).(解： ，205X1430xl， ，6.7Y82.y437xyl（1） 304.xlb28.1ya所以回归直线方程为 xy304.28.1（2） 532xRlbS7.yel249.581)/(0nSF
13、eR查表得 81.)0(975.21tt所以 642),(1n因为 ,10F所以可以认为 Y 与 x 的线性相关关系显著。（3） 68.725304.28.00 bay10476.02*nSe281.)()(95.21tt04.20xln 12.)(1)(2)( 010 xe lntS故所求的预测区间为（77.56，79.80）。（4） 63.1)8.096.47.06(3.)(21*1 auYbx 27.)1.8(.0)(21*22 为了把观测值 限制在区间（60，80）内，需要把 x 的值限制在（166.63,226.27）内。12.某公司在 12 个地区对公司产品销售额的增长率 y（%）
14、和地区居民人均收入水平的增长率 x（%）进行调查，得到有关数据如下表：销售额 5.5 6.4 8.1 6.5 7.6 6.8收入水平 8.1 9.5 10.6 9.9 11.8 10.1销售额 9.8 8.6 5.9 8.4 7.7 8.8收入水平 16.2 13.5 8.0 13.6 12.8 14.5（1）试建立销售额的增长率 y（%）和地区居民人均收入水平的增长率x（%）之间的一元正态线性回归方程；（2）求回归系数 b 的区间估计（ =0.05）；（3）检验回归效果的显著性（ =0.05）；（4）求当 时 y 的预测区间（ =0.05）；80x（5）若要求将 y 以 0.95 的概率控制
15、在（5,10）之内，问应如何控制 x?解：经统计得： 39.74,5.1xl11692.18,503.7yly75.12xnliixy（1） 4805.xylb961.a回归方程为： xy48025.（2） 19.,573.2 RyexR SllbS8.0*ne查表得： 281.)0()2(975.1tt故 b 的 置信区间为 ，即)*21xlntb（0.37985，0.58065）（3） 010H：；： 9586.yxlr因为 70.)2(n所以拒绝 即 y 与 x 的线性相关关系显著。,0H（4） 834.50bay21)(21nt93.0xl故 的 预测区间为（4.8338，6.7730
16、）。0y1（5） 913.7)8.09614.5(4802.1)(*211 uabx12156.)38.09614.10(4825.)(1*2122 uaybx所以 x 的控制区间为（7.9139，15.1516）。13.现从三个班级中随机地抽取一些学生，记录他们的考分见下表：班级 ij甲 73 89 82 43 80 73 65 62 47 95 60 77乙 88 78 48 91 54 85 74 77 50 78 65 76 96 80丙 68 80 55 93 72 71 87 42 61 68 53 79 15假定三个班级的学生考试成绩分别服从 、 、 ，),(21aN),(2),
17、(2aN试问三个班级的考试平均成绩有误显著差异（ =0.05）？不 全 相 等、：；： 3213210 aHaH经计算得： 50819.64774.0233211Snx 07.192.5)/(1.)(72.031rnQFxSeAiiiieii查表得 26.3),(,5.01F因为 16.37.0 rn所以，接受原假设，即认为三个班的考试成绩没有显著差异。14设 是总体 的一个样本，三个统计量),(21n ),(2N， ，iinS1221 niiS12niiS123)(中，哪一个是 的无偏估计量？哪一个对 的均方误差 最小222iSE（i=1,2,3）？解：因为 , .)1()1(22nSn)1
18、(2nS)1(223n13所以 ，1)(21nSE)1(2)(1nSD，2 )(2，1)(23nSE)1(23nSD所以 ， ，1 223E即 是 的无偏估计量。2S， ，421nD422)1(nS4223)1(nDS222 )()()(iiiii EESE441 101nn42222 1)()( n442424223 )(1)1( nnSE所以 最小。23(15.随机地从 A 批产品中抽测 8 件，从 B 批产品中抽测 9 件，测得它们的重量分别为（kg）：A：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8B：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8假设两批产品的重量分别服从 和 且相互独立。试求),(21aN),(2的 95%置信区间。21a解：先检验方差齐性， 21210：；： H14经计算得：2014.389.0675.14.25201SnFYX，查表得 9.)7,(,),(5.0975. F因为 3.40.1所以接受 ，即认为两总体的方差相等。H所以 的 95%置信区间为21a即（-)21)2()( 212 nSntYX0.2269,0.2741）。
