数理统计考试试卷.pdf

1、数 理 统 计 考 试 试 卷一 、 填 空 题 （ 本 题 1 5 分 ， 每 题 3 分 ）1 、 总 体 的 容 量 分 别 为 1 0 ， 1 5 的 两 独 立 样 本 均 值 差 _ N（ 1 ,0 .5 ） _ _ ；2 、 设 为 取 自 总 体 的 一 个 样 本 ， 若 已 知 ,则 =_ 0 .0 1 ；3 、 设 总 体 ， 若 和 均 未 知 ， 为 样 本 容 量 ， 总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 的 置 信区 间 为 ， 则 的 值 为 _ _ _ t(n -1 )S* /n 0 .5 _ _ _ _ _ ；4 、 设 为 取 自 总 体 的 一 个 样

2、 本 ， 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 已 知 关 于 检 验的 拒 绝 域 为 2 ， 则 相 应 的 备 择 假 设 为 _ _ _ _ _ _ _ _ ；5 、 设 总 体 ， 已 知 ， 在 显 著 性 水 平 0 .0 5 下 ， 检 验 假 设 ,， 拒 绝 域 是_ _ _ _ _ _ _ _ 。1 、 ； 2 、 0 .0 1 ； 3 、 ； 4 、 ； 5 、 。二 、 选 择 题 （ 本 题 1 5 分 ， 每 题 3 分 ） 1、设 是 取 自 总 体 的 一 个 样 本 ， 是 未 知 参 数 ， 以 下 函 数 是 统 计 量 的 为（ B） 。（ A）

3、 （ B） （ C） （ D）2 、 设 为 取 自 总 体 的 样 本 ， 为 样 本 均 值 ， ， 则 服 从 自 由 度 为 的 分 布 的 统计 量 为 （ D ） 。（ A） （ B） （ C） （ D）3 、 设 是 来 自 总 体 的 样 本 ， 存 在 ， ,则 （ C ） 。（ A） 是 的 矩 估 计 （ B） 是 的 极 大 似 然 估 计（ C） 是 的 无 偏 估 计 和 相 合 估 计 （ D） 作 为 的 估 计 其 优 良 性 与 分布 有 关4 、 设 总 体 相 互 独 立 ， 样 本 容 量 分 别 为 ， 样 本 方 差 分 别 为 ， 在 显 著 性

4、 水平 下 ， 检 验 的 拒 绝 域 为 （ A ） 。（ A） （ B）（ C） （ D）5 、 设 总 体 ， 已 知 ， 未 知 ， 是 来 自 总 体 的 样 本 观 察 值 ， 已 知 的 置 信 水 平为 0 .9 5 的 置 信 区 间 为 （ 4 .7 1 ， 5 .6 9 ） ， 则 取 显 著 性 水 平 时 ， 检 验 假 设 的结 果 是 （ B ） 。（ A） 不 能 确 定 （ B） 接 受 （ C） 拒 绝 （ D） 条 件 不 足 无 法 检验1、 B； 2、 D； 3、 C； 4、 A； 5、 B.三 、 （ 本 题 1 4 分 ） 设 随 机 变 量 X的

5、 概 率 密 度 为 ： ， 其 中 未 知参 数 ， 是 来 自 的 样 本 ， 求 （ 1 ） 的 矩 估 计 ； （ 2 ） 的 极 大 似 然 估 计 。解 ： (1 ) ，令 ， 得 为 参 数 的 矩 估 计 量 。(2 )似 然 函 数 为 ： ，而 是 的 单 调 减 少 函 数 ， 所 以 的 极 大 似 然 估 计 量 为 。 四 、 （ 本 题 1 4 分 ） 设 总 体 ， 且 是 样 本 观 察 值 ， 样 本 方 差 ，（ 1 ） 求 的 置 信 水 平 为 0 .9 5 的 置 信 区 间 ； （ 2 ） 已 知 ， 求 的 置 信 水 平 为0 .9 5 的 置

6、 信 区 间 ； （ ， ） 。解 ：（ 1 ） 的 置 信 水 平 为 0 .9 5 的 置 信 区 间 为 ， 即 为 （ 0 .9 4 6 2 ， 6 .6 6 6 7 ） ；（ 2 ） =；由 于 是 的 单 调 减 少 函 数 ， 置 信 区 间 为 ，即 为 （ 0 .3 0 0 0 ， 2 .1 1 3 7 ） 。 五 、 （ 本 题 1 0 分 ） 设 总 体 服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 ， 其 中 未 知 ， 为 取 自 总体 的 样 本 ， 若 已 知 ， 求 ：（ 1 ） 的 置 信 水 平 为 的 单 侧 置 信 下 限 ；（ 2 ） 某 种 元 件 的 寿

7、 命 （ 单 位 ： h ） 服 从 上 述 指 数 分 布 ， 现 从 中 抽 得 容 量为 1 6 的 样 本 ， 测 得 样 本 均 值 为 5 0 1 0 （ h ） ， 试 求 元 件 的 平 均 寿 命 的 置 信水 平 为 0 .9 0 的 单 侧 置 信 下 限 。 。解 ： (1 )即 的 单 侧 置 信 下 限 为 ； （ 2 ） 。 六 、 （ 本 题 1 4 分 ） 某 工 厂 正 常 生 产 时 ， 排 出 的 污 水 中 动 植 物 油 的 浓 度 ，今 阶 段 性 抽 取 1 0 个 水 样 ， 测 得 平 均 浓 度 为 1 0 .8 （ mg /L） ， 标

8、准 差 为1 .2 （ mg /L） ， 问 该 工 厂 生 产 是 否 正 常 ？ （ ）解 ：（ 1 ） 检 验 假 设 H0 ： 2 =1 ， H1 ： 2 1 ； 取 统 计 量 ： ；拒 绝 域 为 ： 2 =2 .7 0 或 2 =1 9 .0 2 3 ，经 计 算 ： ， 由 于 2 ，故 接 受 H0 ， 即 可 以 认 为 排 出 的 污 水 中 动 植 物 油 浓 度 的 方 差 为 2 =1 。（ 2 ） 检 验 假 设 ； 取 统 计 量 ： ；拒 绝 域 为 ； 2 .2 6 2 2 ， 所 以 接 受 ，即 可 以 认 为 排 出 的 污 水 中 动 植 物 油 的

9、 平 均 浓 度 是 1 0 （ mg /L） 。综 上 ， 认 为 工 厂 生 产 正 常 。 七 、 （ 本 题 1 0 分 ） 设 为 取 自 总 体 的 样 本 ， 对 假 设 检 验 问 题 ， （ 1 ） 在 显著 性 水 平 0 .0 5 下 求 拒 绝 域 ； （ 2 ） 若 =6 ， 求 上 述 检 验 所 犯 的 第 二 类 错 误的 概 率 。解 ： (1 ) 拒 绝 域 为 ;（ 2 ） 由 (1 )解 得 接 受 域 为 （ 1 .0 8 ， 8 .9 2 ） ， 当 =6 时 ， 接 受 的 概 率 为。八 、 （ 本 题 8 分 ） 设 随 机 变 量 服 从 自

10、 由 度 为 的 分 布 ， (1 )证 明 ： 随 机 变 量服 从自 由 度 为 的 分 布 ； (2 )若 ， 且 ， 求 的 值 。证 明 ： 因 为 ,由 分 布 的 定 义 可 令 ， 其 中 ， 与 相 互 独 立 ， 所 以 。当 时 ， 与 服 从 自 由 度 为 的 分 布 ， 故 有 ，从 而 。 数 理 统 计 试 卷 参 考 答 案一 、 填 空 题 （ 本 题 1 5 分 ， 每 题 3 分 ）1 、 ； 2 、 0 .0 1 ； 3 、 ； 4 、 ； 5 、 。二 、 选 择 题 （ 本 题 1 5 分 ， 每 题 3 分 ）1、 B； 2、 D； 3、 C；

11、4、 A； 5、 B.三 、 （ 本 题 1 4 分 ） 解 ： (1 ) ，令 ， 得 为 参 数 的 矩 估 计 量 。(2 )似 然 函 数 为 ： ，而 是 的 单 调 减 少 函 数 ， 所 以 的 极 大 似 然 估 计 量 为 。四 、 （ 本 题 1 4 分 ） 解 ：（ 1 ） 的 置 信 水 平 为 0 .9 5 的 置 信 区 间 为 ， 即 为 （ 0 .9 4 6 2 ， 6 .6 6 6 7 ） ；（ 2 ） =；由 于 是 的 单 调 减 少 函 数 ， 置 信 区 间 为 ，即 为 （ 0 .3 0 0 0 ， 2 .1 1 3 7 ） 。五 、 （ 本 题 1

12、 0 分 ） 解 ： (1 )即 的 单 侧 置 信 下 限 为 ； （ 2 ） 。 六 、 （ 本 题 1 4 分 ） 解 ：（ 1 ） 检 验 假 设 H0 ： 2 =1 ， H1 ： 2 1 ； 取 统 计 量 ： ；拒 绝 域 为 ： 2 =2 .7 0 或 2 =1 9 .0 2 3 ，经 计 算 ： ， 由 于 2 ，故 接 受 H0 ， 即 可 以 认 为 排 出 的 污 水 中 动 植 物 油 浓 度 的 方 差 为 2 =1 。（ 2 ） 检 验 假 设 ； 取 统 计 量 ： ；拒 绝 域 为 ； 2 .2 6 2 2 ， 所 以 接 受 ，即 可 以 认 为 排 出 的 污 水 中 动 植 物 油 的 平 均 浓 度 是 1 0 （ mg /L） 。综 上 ， 认 为 工 厂 生 产 正 常 。 七、（ 本 题 1 0 分 ） 解 ： (1 ) 拒 绝 域 为 ;（ 2 ） 由 (1 )解 得 接 受 域 为 （ 1 .0 8 ， 8 .9 2 ） ， 当 =6 时 ， 接 受 的 概 率 为。八 、 （ 本 题 8 分 ） 证 明 ： 因 为 ,由 分 布 的 定 义 可 令 ， 其 中 ， 与 相 互 独 立 ，所 以 。当 时 ， 与 服 从 自 由 度 为 的 分 布 ， 故 有 ，从 而 。