1、直棱柱的表面展开图立方体是常见的特殊的直四棱柱，下面我们以它为代表来复习直棱柱的表面展开图.一、知识要点1. 立方体的表面展开图(1)概念:将立方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，这样展开后的平面图形称为立方体的表面展开图.(2)类型:立方体的表面展开图共有 11 种不同的情形，可归纳为 4 种基本类型. 141 型，如图(1)(6)，包括下列 6 种情形: (6)(5)(4)(3)(2)(1)说明:(a)每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有 1 个，4 个，1 个小正方形；(b)以图(1)为基准，将第 1 行或第 3 行的小正方形左右平移即可得图(2)(6)；(c)若两个图形
2、可通过轴对称变换得到的，就认为是同一种情形，如图(甲)与图(乙)所示. 132 型，如图(7)(9)，包括下列 3 种情形:(9)(8)(7)说明:每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有 1 个，3 个，2 个小正方形；222 型，如图(10)，只有 1 种情形.说明:这个图形由三行组成，从上到下每行都有 2 个小正方形；(乙)(乙)(10)(11)303 型，如图(11)，只有 1 种情形.说明:这个图形可看作由三行组成，从上到下每行分别有 3 个，0 个，3 个小正方形，这样便于统一编写、记忆它们的型号.(3)注意点:展开图的面与面之间必须以棱相连接，不能以顶点相连接；行与行之间，不能同
3、时有两对或两对以上的小正方形具有公共边；有下列情形之一者，肯定不是立方体的表面展开图:(a)小正方形的个数不足 6 个或超过 6 个; (b)行数是 1 行或超过 3 行(经旋转变换的图形除外)；(c)图中包含“田”字型部份；(d)整个图形呈“L”字型.2.直棱柱的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是由若干个长方形或正方形组合而成的，整个图形是一个长方形或正方形.3.直棱柱的表面积与侧面积计算直棱柱的表面积与侧面积，实质上就是利用长方形或正方形的面积公式进行面积计算.二、典例赏析例 1 如图是某些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称.解:因为图(1)是由 6 个正方形组成的多面体的平面展开图，所
4、以它是立方体；图(2)是由 2 个直角三角形，3 个长方形组成的多面体的平面展开图，所以它是直三棱柱.析解:(1)根据平面展开图中所给图形的形状，先判断几何体的底面是什么图形，从而确定是哪一种多面体.(2) 如图，图(1)可看作由上述“132 型”的基本图形(8)旋转变换而得.例 2 如图是一个几何体的三视图，主视图与左视图是大小相同的长方形，俯视图是等边三角形.(1)任意画出它的一种表面展开图；(2)若长方形的长为 10cm,等边三角形的边长为 4cm,求这个几何体的表面积.解:(1) 如图是该几何体的一种表面展开图.(2)这个几何体的表面积为3(104)+ )2421(=120+8 3(c
5、m2).析解:整个图形是一个不规则的图形，不能直接利用公式来计算，可用分割法把它转化为规则图形的面积来计算.例 3 如图甲，有一个棱长为 10cm 的立方体盒子，在盒子底部 A 处有一只蚂蚁，欲吃顶点 C1处的一粒熟米.问蚂蚁应沿什么路径爬行，才能在最短的间内吃到这粒熟米?求出蚂蚁爬行的最短路径长.解：如图乙，它是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一. 观察图形，根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段 AC1爬行的路径最短，所用时间最短.在 RtAB 1C1中，AB 1=20cm，B 1C1=10cm.由勾股定理得AC12=AB12+B1C12=202+102=400+100=500,AC 1=10 5(cm).因此，蚂蚁沿着路径 AC1爬行，才能在最短的时间内吃到熟米，最短路径长为 10 5cm.析解：因为蚂蚁必须沿着立方体盒子的侧面爬行，所以要想在最短时间内吃到熟米，必须选择最短的路径.此时 A、C 1两点不在同一个面内，须将它展开转化为平面图形来解决.图乙是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一.观察图形可知，蚂蚁沿线段 AC1爬行的路径最短，所用时间最短.
