1、圆锥的侧面展开图问题解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元素的关系圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面圆的周长问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及底面半径之间的关系，勾股定理则是架起三元素间的桥梁如图1，设圆锥的底面半径为 r，母线 AB 的长为 l，高为 h，则 r2+h2=l2，圆锥的侧面展开图是扇形 ACD，该扇形的半径为 l，设扇形 ACD 的圆心角是 ，则扇形的弧 CD 的长=2 r= 180，圆锥的侧面积为 S 侧= 122 rl= rl一、计算圆锥的侧面积例 1 （邵阳）如图 2 所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为 2，则这外
2、圆锥的侧面积为_（结果保留 ）分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，可以直接代入公式求得解：依题意，r=1， l=2，所以 S 侧 =12=2二、求圆锥的母线长例 2 （桂林）已知圆锥的侧面积为 8 cm2, 侧面展开图的圆心角为 45，则该圆锥的母线长为（ ）（A）64 cm （B）8 cm （C） cm （D） 24cm分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长（侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长）解：由2360nlS扇 形，即2l8，解得 l8（ cm）故应选（ B）三、计算圆锥的底面半径例 3 （日照）将
3、直径为 60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）（A）10 cm （B）30 cm （C）40 cm （D）300 cm分析：依题意，将直径为 60cm 的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”可求每个圆锥容器的底面半径解：直径为 60cm 的圆形铁皮的周长为 60 cm，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇图 1图 2形的弧长为 20 cm设圆锥的底面半径为 r，则 2 r20，解得 r10故应选（A）四、计算圆锥的高例 4 （鸡
4、西）如图 3，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为 5cm，弧长是 6cm，那么围成的圆锥的高度是 cm分析：借助图 1 分析，知在 r2+h2=l2中，欲求 h，需知道 r， l，显然这里 l5 cm，故只需再求出 r解：设圆锥的底面半径为 r，则 2 r6，解得 r3所以 h2=l2 r25 23 2，所以 h4（ cm）五、计算侧面展开图中扇形圆心角的度数例 5 （成都）若一个圆锥的底面圆的周长是 4 cm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）（A）40 （B）80 （C）120 （D）150分析：设圆锥展开图的圆心角为 n，根据弧长公式可求出
5、侧面展开图扇形的弧长为180nl，再根据 “侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”列方程可解解：设圆锥展开图的圆心角为 n，则 4= 6180A解得 n120所以选（C）六、最短路径问题例 6 （青岛）如图 4 是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm母线 OE（ OF）长为 10cm在母线 OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且 FA2 cm，一只蚂蚁从杯口的点 E处沿圆锥表面爬行到 A 点则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm分析：由于小蚂蚁只能在圆锥侧面上爬行，所以我们可考虑把圆锥侧面展开，将问题转化为平面图形解决.将圆锥沿母线 OE 剪开，如图 7 所示的展开图，根据“两点之间线段最短”，知 EA 即为最短路径解：设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为 n，因为底面的周长等于展开后扇形的弧长，所以 180nOE EF，即 108n10，解得 n180此圆锥的侧面展开图为扇形（如图 5），在 Rt AEO 中， OA OF AF8（ cm），OB AB图 35cm图 5图 4
