求轨迹方程的常用方法.doc

1、求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标

2、 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等） ，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得

3、出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。)(0)(.2 为 参 数又 可 用 参 数 方 程表 示程轨 迹 方 程 既 可 用 普 通 方 tgyfx，yxF来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， （即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上） ，又

4、要检验是否丢解。 （即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身： 1. P 是椭圆 =1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨592yx迹中点的轨迹方程为： （ ）A、 B、 C、 15942yx 15492yx 1209yxD、 =1362【答案】：B【解答】:令中点坐标为 ,则点 P 的坐标为( 代入椭圆方程得 ,选)(yx)2,yx15492yxB2. 圆心在抛物线 上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是（ )0(

5、2yxx）A B 412yx 0122yC D 04x【答案】：D【解答】:令圆心坐标为( ,则由题意可得 ,解得 ,则圆的方程为)2a21a,选 D0412yx3: 一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的2 0862xy圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMCD。4: 点 P(x0，y 0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点 M（2x 0，y 0）的轨迹是 （ ）A.焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D

6、. 焦点在 X 轴上的双曲线【答案】：A【解答】:令 M 的坐标为 则 代入圆的方程中得 ,),(yxyxx0022 142yx选 A【互动平台】 名师点题一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【解析

7、】由 可知 ，即 ，满足椭,si 15cab10|BA圆的定义。令椭圆方程为 ，则 ，则轨迹方程为12yax 34, b（ ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。1925yx)5【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ， 。动圆圆心 P

8、的轨迹是以 M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆12yx 0862xy心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMOD。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=),(yx,21a

9、AB22,yxyxM 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法AB1有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定

10、理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA【解答】|PA|= 22)3(|,)3( yxByx代入 得|PBA 22 4)3()( yx化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交

11、 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k）)(22 ll的 方 程 为则 直 线由A)0(1 的 坐 标 为轴 交 点与kByl 42 的 坐 标 为轴 交 点与M 为 AB 的中点，)(124为 参 数kyx消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB

12、中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性：|ABP解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，l 1l 2，PAB 为直角三角形|21|P由 直 角 三 角 形 的 性 质222 )()4()( yxyx化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y） ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用

13、M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2PAPB，从而 kPAkPB1，0yxkBPA而0522 xy， 化 简 ， 得注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4）中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了kPAkPB1， 这些等量关系。

14、 。|21|ABMP用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 O：x 2 +y2= 4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x 2 +y2)+(x ) 2 +y2 =16化简得：（x2） 2+ y2 =4由方程 与方程 x2 +y2= 4

15、得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x 1,y1）,C （x 2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 8k 2x +16k24=0.(*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x= .(1) , 又 OMBC ，所以214kk= .(2)由方程（1 ） （2）xy消去 k 得（x2） 2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.31所以点 M 的轨迹

16、方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 ABaAbyaxB)02(12轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为（x，y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得yaxyxa2200即点

17、 B 坐标可表为（2x2a，2y）上在 椭 圆点又 1)(20byaxyx，ba )(12220从 而 有14)(22byaxM，的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB =90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BQRAPoyx【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.

18、j 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在 RtOAR 中，|AR| 2=|AO|2|OR| 2=36(x 2+y2)又|AR|=|PR|= )4(所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,0,241y代入方程 x2+y24x 10=0, 得10=0)(整理得 头htp:/w

19、.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【备选题】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于1F22两点AB，（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABFO M（II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存xCC在，请说明理由解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)F， 2()， 1()Axy， 2()Bxy，解法一：（I）设 ，则 则 ， ，Mxy， F， 11()FAy，由 得1221()()BxO，

20、 ， ， 1O即126y， 214xy，于是 的中点坐标为 AB，当 不与 轴垂直时， ，即 x1248yyx1212()8yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2xy，即 1212122()()xxy212()4()y将 代入上式，化简得 8y 6xy当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，所以点 的轨迹方程是 M(6)4y（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数x0Cm， BA.当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 AB(2)1ykx代入 有 2xy222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12， 214kx214

21、kx于是 )()(. 21221 kmxCBA22211()()(4kxkmxk2224)m2 22 2(1)4(1)1kk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CBA. 01CBA.1当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， (2)， (2)，此时 1)2,.(,1. 故在 轴上存在定点 ，使 为常数x0C， .解法二：（I）同解法一的（ I）有 124xy，当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1kx代入 有 2y222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 12x， 214kx 21212 24()kykx由得 24k21yk当 时， ，

22、由得， ，将其代入有0y4xky整理得 224()()1xxyy2(6)4xy当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(40)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，故点 的轨迹方程是 M(6)4y（II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，x(0)Cm， BA.当 不与 轴垂直时，由（I）有 ， AB211kx241kx以上同解法一的（II） 【误区警示】1.错误诊断【例题 5】 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，求点 AA的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为 ，

23、12byax则由定义可知 ，则 ，得轨迹方程为3,5ca4b1625yx【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 ，)0,5.(,即轨迹方程为 )5(1625xyx2.误区警示1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案” 。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查

24、是否有不合题意的部分或漏掉的部分。【课外作业】【基础训练】1:已知两点 给出下列曲线方程：)45,(),1NM ； ； ； ，在曲线上存在点0124yx32yx12yx12yxP 满足 的所有曲线方程是（ ）|NMA B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足 ,即要使得曲线与 MN 的中垂线|NM有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 D32xy2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .01my01yx【解答】:直接消去参数 即得( 交轨法): 02yx3:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程

25、是 .【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐标为(2 ,代入圆的方程里面得:)yx)2yx041)2(yx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为yxmx221_。【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为 m1254它的顶点坐标为 xy54，消去参数 m 得： y34故所求动点的轨迹方程为 。0xy5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x5_。【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M0到点

26、 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M0的轨迹方程。【解答】：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。则点x4M 的轨迹是以 F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。xyx2166:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为 _OA130， 、 ，【分析】:设动点为 P，由题意 ，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等2量关系式。【解答】：设 是所求轨迹上一点，依题意得xy， OPA12由两点间距离公式得： yx231化简得： xy207 抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点

27、，动点42C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。【分析】：抛物线 的焦点为 。设ABC 重心 P 的坐标为 ，点xy201，F()xy，C 的坐标为 。其中()x1， 1【解答】：因点 是重心，则由分点坐标公式得：Py， 3211yx，即 x32311，由点 在抛物线 上，得：Cy， xy42 124xy将 代入并化简，得： （x3211， 32)【能力训练】8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0），直线 y=x1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。【解答】：设双曲线方程为 。将 y=x1 代入方程整理得2byax。由韦达定理得 。又有 ，联

28、立方程322,2121 baxbax组，解得 。5,2a此双曲线的方程为 。9.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。【解答】：设点 P 的坐标为（x，y），则由题意可得 。（1）当 x3 时，方程变为 ，化简得1)1(,43)1( 22 xyxy。)30(42y（2）当 x3 时，方程变为 ，化简得xx 7)(,)( 22。故所求的点 P 的轨迹方程是 或10.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点642xyM 的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y=kx。把它代入

29、抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交，所以0，解得 。),624()624,( x设 A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得。由 消去 k 得 。又 ，所以 。),6(),(x点 M 的轨迹方程为 。,42y【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为 O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则 P 的轨迹是（ ）A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆【答案】：A【解答】：由对称性可知|PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R 为圆的半径） ，则 P 的轨迹是椭圆，选 A。