解析几何求轨迹方程的常用方法.doc

1、 1解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数

2、 t 的函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。一：用定义法求

3、轨迹方程例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足 求点 CC ,sin45isnAB的轨迹。2例 2： 已知 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 依次构成等差数列，且 ，ABCBCabcba, bca，求顶点 的轨迹方程.【变式】：已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。【变式】：C： 内部一点 与圆周上动点 Q 连线 AQ 的中垂线交 CQ 于 P，求点 P 的轨迹2(3)16xy(3,0)A方程.二：用直译法求轨迹方程例 3：一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴

4、上滑动，且 BM=a，AM=b，求 AB 中点 M 的轨迹方程？3【变式】: 动点 P（x,y ）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 ） ，求动点 P 的轨迹2|PBA方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 4过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。例 5: 过抛物线 （ ）的顶点 作两条互相垂直的弦 、 ，求弦 的中点 的轨迹方程.pxy20OOABM【变式】过圆 O：x 2

5、+y2= 4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。4四：用代入法求轨迹方程例 6. 轨迹方程。的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB，aAbyaxB)02(12例 7: 如图，从双曲线 上一点 引直线 的垂线，垂足为 ，求线段 的中点 的轨1:2yxCQ2:yxl NQP迹方程.【变式】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 五、用交轨法求轨迹方程例 8.已知椭圆

6、（abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2，求21xy1(0)Aa2()A1P1与 A2P2交点 M 的轨迹方程.BQRAPoyxyQO xNP5例 9： 如右图，垂直于 轴的直线交双曲线 于 、 两点， 为双曲线的左、右顶点，求直线x12byaxMN21,A与 的交点 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.MA1N2P六、用点差法求轨迹方程例 10. 已知椭圆 ，12yx（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A课后作业1.在 中，B，C 坐标分别为（ -3，0）

7、， （3，0） ，且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方程是_.A2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 _ .01myx1yx3.已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 _xA1 A2OyNMP64.当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为_。yxmx2215:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为_。506:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_OA130， 、 ，7.抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABC

8、xy42重心 P 的轨迹方程。8.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。9.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。642xy10、已知定点 A ( 3, 0 )，P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点，AOP 的平分线交 AP 于 M，求 M 点的轨迹。711、已知常数 ，经过定点 以 为方向向量的直线与经过定点 ，且以 为0a(0,)Aa(,)m (0,)Ba(1,2)na方向向量的直线相交于点，其中 R 求点的轨迹的方程，它是什么曲线； 若直线 与曲线相交于两个不同的点、，求曲线的

9、离心率的范围:1lxy12、过点 ，作直线 l 交双曲线 于 A、B 不同两点，已知 。(2,0)M21xyOPAB（1） 、求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2） 、是否存在这样的直线，使 若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。|?OP补充例题：1.过抛物线 y 2 = 4 p x ( p 0 )的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。82.已知椭圆 =1(ab0),点 P 为其上一点，F 1、F 2 为椭圆的焦点， F1PF2 的外角平分线为 l，点 F2 关于 l2yx的对称点为 Q，F 2Q 交 l 于点 R 头h

10、tp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=k(x+ a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3如图 11-5-1，已知圆 ： 点 ， 为圆 上任意一点，直线 与 垂直，O25,xy(3,0)(,)ABCOCDB并交圆 于另一点 .D（1）求证： ；ABC（2）若点 在线段 上，且 ，求点 的轨迹方程.PPADBCPPO xy

11、A BCD图 11-5-19求轨迹方程的常用方法 答案例 1：由 可知 ，即 ，满足椭圆的定义。令椭圆方程为,sin45isnCAB1045cab10|BCA，则 ，则轨迹方程为 （ ，图形为椭圆（不含左，右顶点）2byax 3, ca 925yx)5x。例 2：解：如右图，以直线 为 轴，线段 的中点为原ABxAB点建立直角坐标系. 由题意， 构成等差数列， ，bca,bac即 ，又 ， 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， ，4|2| CAC 1,2ca，故 的轨迹方程为 .3b )2,0(132xyx【变式】解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ， 。动圆圆心 P 的轨迹是以

12、M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：12yx 0862xyA：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。1|RMO二：用直译法求曲线轨迹方程例 3： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=),(yx,21aAB22,yxyxM 点的轨迹是以

13、 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：AB11）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化CByxOA10的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线

14、定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 P（x,y ）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 ） ，求动点 P 的轨2|PBA迹方程？【解答】|PA|= 22)(|,)3( yxByx代入 得|PBA 22 4)3(3)( yx化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 4 【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，

15、可设出 l1的斜率k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k）)(22 ll的 方 程 为则 直 线由A)0(1 的 坐 标 为轴 交 点与kByl 42 的 坐 标 为轴 交 点与M 为 AB 的中点，)(124为 参 数kyx消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k 2是否存在，

16、故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利11用PAB 为直角三角形的几何特性：|21|ABMP解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，l 1l 2，PAB 为直角三角形|21|P由 直 角 三 角 形 的 性 质222 )()4()( yxyx化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y） ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A

17、（2x，0） ，B（0，2y） 。又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2PAPB，从而 kPAkPB1，0yxkBPA而0522 xy， 化 简 ， 得注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4）中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】1） 解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了 kPAkPB1，这些等量关系。 。|2|ABP用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。

18、也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响例 5: 解：设 ，直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .直线 OA 的方程为 ，由),(yxMOA)0(kOBk1kxy解得 ，即 ，同理可得 .pxyk2kpy2)2,(p)2,(pk由中点坐标公式，得 ，消去 ，得 ，此即点 的轨迹方程.pkyx2k)(2xyM【变式】过圆 O：x 2 +y2= 4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。12解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即

19、(x 2 +y2)+(x ) 2 +y2 =16化简得：（x2） 2+ y2 =4由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x 1,y1）,C （x 2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 8k 2x +16k24=0.(*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x= .(1) , 又 OMBC，所以 k= .(2)由方程（1）214k

20、xy（2）消去 k 得（x2） 2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.31所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 6. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 ABaAbaB)2(2轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为

21、（x，y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得即点 B 坐标可表为（2x2a，2y）yayax2200上在 椭 圆点又 1)(20bax，xB ，byaxbyax 1)2(1220 从 而 有4)(22M的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系例 7 如图，从双曲线 上一点 引直线1:2yxCQ的垂线，垂足为 ，求线段 的中点 的轨迹方程.2:yxl NP解：设 ，则 . 在直线 上，),(),(1yx，QP)2,(11yxNlyQO xNP13 又 得 即 .2211yxlPN,1xy01xy联解得

22、 .又点 在双曲线 上， ，化简整理得：231xyQC1)23()23(，此即动点 的轨迹方程.02x P【变式】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又因为R 是弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在 RtOAR 中，|A

23、R| 2=|AO|2|OR| 2=36( x2+y2)又|AR|=|PR|= )4(x所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,0,241y代入方程 x2+y24x 10=0, 得 10=0)2(4(yx整理得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom

24、126t:/.j 用交轨法求轨迹方程 2ab例 9 解：设 及 ，又 ，可得),(yxP),(),(11yxNM)0,(,(21aA直线 的方程为 ；直线 的方程为 .A11a2 )(1axy得 . 又 ，代入得 ，)(2212xay,21byx)(2121b)(22axby化简得 ，此即点 的轨迹方程. 当 时，点 的轨迹是以原点为圆心、 为半径的圆；当 时，2bxPaPa点 的轨迹是椭圆.P六、用点差法求轨迹方程例 10.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yxM， 2yxN， MNyxR，BQRAPoyx14， ， ，

25、 ，yxy2121 得 022121121 yyxx由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，2121x0212121xyx将代入得 021xy（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xy 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求204601643yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 022yx课后作业：【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 ，即轨迹方程为)0,5.(,)5(1625xyx2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .0m01yx【解

26、答】:直接消去参数 即得( 交轨法): 02yx3:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 .【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐标为(2 ,代入圆的方程里面得:)yx) )0(41)2(xyx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为mx221【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹方程。 【解答】：抛物线方程可化为 y25415它的顶点坐标为 消去参数 m 得：xmy1254， yx34故所求动点的轨迹方程为 。4305:点 M 到点 F（4

27、，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x5【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M 到点 F（4，0）的距离与0它到直线 的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程。x【解答】：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。则点 M 的轨迹是以x4F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。y266:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_OA103， 、 ，【分析】:设动点为 P，由题意 ，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设 是所求轨迹上一点，依题

28、意得xy， OA12由两点间距离公式得： 化简得：yx231xy2307 抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABCy42重心 P 的轨迹方程。【分析】：抛物线 的焦点为 。设ABC 重心 P 的坐标为 ，点 C 的坐标为 。其xy201，F()xy， ()xy1，中 1x【解答】：因点 是重心，则由分点坐标公式得： 即Pxy， 3211yx， yx321，由点 在抛物线 上，得：C1， x42124y将 代入并化简，得： （yx3211， 32x)9.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨

29、迹方程。16【解答】：设点 P 的坐标为（x，y），则由题意可得 。（1）当 x3 时，方程变为 ，化简得 。1)1(,43)1( 22 xyxy )30(42xy（2）当 x3 时，方程变为 ，化简得 。xx 7,22故所求的点 P 的轨迹方程是 或10.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。642xy【解答】：由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y=kx。把它代入抛物线方程 ，得。因为直线和抛物线相交，所以 0 ，解得 。(,426)(426,)k设 A（ ）， B（ ），M（x，y），由韦达定理得 。由 消去 k 得

30、。又 ，所以 。),6(),(x点 M 的轨迹方程为 ),6(),(,42xy10、解：如图，设 M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。由于 OM 平分AOP，故 M 分 AP 的比为： = = 3|AO由定比分点公式，得 ，1103,xy即 ，由于 x 1 2 + y 1 2 = 1，故 ，即 。143()xy 2244()()133xy239()416xy故所求轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆。3(,0)4411、解: (1) （用交轨法）17过以 为方向向量的直线方程为： m ayx过以 为方向向量的直线方程为： n2由消去 得： 的轨迹为双曲线 分21yxa(2)联立

31、方程 消去 得 分21yxy22()10axa依题意有 ，即 20a204()1a62且又 分22132ce eaa且12、解：（1） 、设直线 l 的方程为 ，()ykx代入 得 ，21xy22()410当 时，设 ， ，则 ，k1,Ax(,)B24k214kx21212 2() 1kyA设 ，由 ，则,PxO，解之得 212 24(,),)(,)1kyy241kxyxky(0)再将 代入 得 （1）xky2k2()4x当 时，满足（1）式；0当斜率不存在是，易知 满足（1）式，故所求轨迹方程为 ，其轨迹为双曲线；4,0P 2()4xy当 时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。k（2） ，所以平行四边形 OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是 ，即|OAB 0OAB。120xy当 不存在时， A、B 坐标分别为 ， ，不满足上式。(2,3)(,)又 21211)xkx22214401kkA18化简得： ，此方程无实数解，故不存直线 l 使 OAPB 为矩形。210k