1、- 1 -求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律， 即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )()0)(.2 为 参 数又 可 用 参 数 方 程表 示程轨 迹 方 程 既 可 用 普 通 方 tgyfx，yxF来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上） ，又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的 方程表示） 。出现增解则要舍去，出现丢解， 则需补充。检
2、验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。 二、常用方法及例题1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等例 1：已知 的顶点 A，
3、B 的坐标分别为（-4，0） ， （ 4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【解析】由 可知 ，即 ，满足椭 ,si 15cab10|BA圆的定义。令椭 圆方程为 ，则 ，12yax 34, b则轨迹方程为 （ ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。952)5x- 2 -【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为M2， 一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ， 。动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O： 外切
4、，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆12yx 0862xy心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMOD。2.用直译法求曲线轨迹方程如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（ x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点M 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为
5、由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=),(yx,21aAB22,yxyxM 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。AB1一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。- 3 -3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性
6、质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要 方法.【变式 2】: 动点 P（x,y ）到两定点 A（3 ，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA【解答】|PA|= 22)3(|,)3( yxByx代入 得|PBA 22 4)3()( yx化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆. 来源:学。科。网 Z。X。X 。K。X。X。K例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l
7、 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。(可用直译法和参数法)分析 1：利用PAB 为直角三角形的几何特性： |21|ABMP解法 1：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，l 1l 2，PAB 为直角三角形|21|由 直 角 三 角 形 的 性 质222 )()4()( yxyx化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 2：设 M（x，y） ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为
8、AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 2:设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2PAPB，从而 kPAkPB1，- 4 -024204y，kxkPBPA而051 xy， 化 简 ， 得注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4）中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。分析 3：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。3
9、.用参数法求曲线轨迹方程如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的函数关系 ，进而tgyfx)(通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。(可用直译法和参数法)解法 3：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k）)(221 ll的 方 程 为则
10、直 线由A)0(的 坐 标 为轴 交 点与kByl 42 的 坐 标 为轴 交 点与M 为 AB 的中点，消去 k，得 x2y50。)(124为 参 数kyx另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。- 5 -【点评】解法 1，2 为直译法，运用了 kPAkPB1 这些等量关系。|21|ABMP解法 3 用了参数法，消参时应注意取值范围。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标
11、等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。4.用代入法等其它方法求轨迹方程(也叫相关点法)如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MABaAbyaxB)02(12轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动
12、是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为（x，y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得yayax2200即点 B 坐标可表为（2x2a，2y）上在 椭 圆点又 1)(20byaxyx，ba )(12220从 而 有14)(22byaxM，的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系5.几何法若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等） ，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。- 6 -例 5.若圆
13、C 与两圆 外切，则圆 C 的圆心轨迹 l 的方141,4222yxyx程是变式:已知两点 给出下列曲线方程：)5,(),1NM ； ； ； ，在曲线上存在点 P024yx32yx12yx12yx满足 的所有曲线方程是（ ）|PA B C D 【点评】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足 ,即要使得曲线与 MN 的中垂线|NPM有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解, 只有无解,则选 D32xy6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这 类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接
14、消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。例 6.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .01myx01yx【解答】:直接消去参数 即得 (交轨法): 02yx7.常见错误：【例题】 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，求点 A 的轨A迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为 ，12byax则由定义可知 ，则 ，得轨迹方程为3,5ca4b1625yx【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除
15、去点 ，)0,5.(,即轨迹方程为 )5(1625xyx【总结】1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；- 7 -另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案” 。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直译法等方 法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习：1:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 .【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐
16、标为(2 ,代入圆的方程里面得:)yx)2yx041)2(yx2:点 M 到点 F（4 ，0 ）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x50_。【解答】：依题意，点 M 到点 F（4 ，0）的距离与它到直线 的距离相等。则点x4M 的轨迹是以 F（4，0 ）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。xyx2163:求与两定点距离 O(0,0),A(3,0)的比为 1：2 的点的轨迹方程为_【解答】：设 是所求轨迹上一点，依题意得Pxy， POA12由两点间距离公式得： yx231化简得： xy204.抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点
17、 C42在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。【解答】：因点 是重心，则由分点坐标公式得：xy， 3211yx，即 x32311，由点 在抛物线 上，得：Cy， xy42 124xy- 8 -将 代入并化简，得： （yx3211， 3242xy)15.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0 ），直线 y=x1 与其相交于M、N 两点，MN 中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。【解答】：设双曲线方程为 。将 y=x1 代入方程整理得2byax。由韦达定理得 。又有 ，联立方程组，322,2121 baxbax解得 。5,2ba此双曲线的方程为 。6.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的642xy轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y=kx。把它代入抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交，所以0，解得 。),624()624,( x设 A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得 。由 消去 k 得 。又 ，所以 。),6(),(x点 M 的轨迹方程为 。,42y- 9 -
