1、。求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件 M | P( M ) 直接翻译成 x, y 的形式 f ( x, y) 0 ，然后进行等价变换，化简f ( x, y) 0 ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性， 即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性） ；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例 1过点 A(2,3) 任作互相垂直的两直线AM 和 AN ，分别交 x, y 轴于点 M , N ，求线段MN 中点 P 的轨迹方程。解 ： 设 P 点 坐 标 为 P( x, y) ， 由
2、中 点 坐 标 公 式 及 M , N 在 轴 上 得 M (0,2 y) ，N (2x,0) ( x, yR)AMANkAMkAN1032 y31 ( x 1)，化简得 4 x 6 y130 (x 1)2 x2023当时，M (0,3)，N ( 2,0)，此时MN的中点P(1,0 ，x 1) 它也满足方程 4x 6 y 132所以中点 P 的轨迹方程为 4x6 y 130 。变式 1已知动点 M ( x, y) 到直线 l : x4 的距离是它到点N (1,0) 的距离的2 倍。（1 ）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2 ）过点 P(0,3) 的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点。
3、若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率。题型二定义法-可编辑修改 -。圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例 2动圆 M 过定点 P(4,0) ，且与圆 C : x2y 28x 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。解：根据题意 | MC | | MP |4 ，说明点 M 到定点 C、P 的距离之差的绝对值为定值，故点 M 的轨迹是双曲线。2a4a2 ， c4bc2a 212x 2y 2故动圆圆心 M 的轨迹方程为1412变式 2在 ABC 中， BC24，AC， AB 上的两条中线长度之和为39 ，求 ABC 的重心的轨迹方程
4、解：以线段 BC 所在直线为x 轴，线段 BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图 1 ， M 为重心，则有BMCM226 393 M 点的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，其中 c 12， a 13 ba2c25 所求 ABC 的重心的轨迹方程为x2y20)1691(y25题型三相关点法此法的特点是动点M ( x, y) 的坐标取决于已知曲线C 上的点 ( x, y ) 的坐标，可先用x, y 来表示 x , y ，再代入曲线C 的方程 f ( x, y)0 ，即得点 M 的轨迹方程。-可编辑修改 -。例 3如图，从双曲线x 2y21 上一点 Q 引直线 xy2 的垂线，垂足为N ，求线段Q
5、N 的中点 P 的轨迹方程分析：从题意看动点P 的相关点是 Q ， Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点 P 的坐标为 (x, y) ，点 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) ，则点 N 的坐标为 (2 xx1 ,2 yy1 )N 在直线 xy2 上，2xx1 2yy12又P Q 垂直于直线 xy2 ，yy11，即 xyy1x10 xx1x13112xy由解得213y1x12y2又点 Q 在双曲线 x2y21上，x12y121 代入，得动点P 的轨迹方程为2x22 y 22x 2 y 1 0变式 3 已知ABC 的顶点 B( 3，0)， C(10)， ，顶点 A 在抛物线y
6、x2 上运动， 求 ABC 的重心G 的轨迹方程x3 1x0 ，x0，解：设 G( x，y) ， A( x0， y0 ) ，由重心公式，得33x 2又y0y0y，3y3 A( x0， y0 ) 在抛物线 yx2 上， y0x02 将，代入，得3y(3 x2) 2 ( y0) ，即所求曲线方程是y 3x240) 4 x( y3-可编辑修改 -。题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x, y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程， 选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。A
7、A 2a ，直线 l 垂直平分 AA 于 O ，在 l 上取两点uuur uuuur例 4 已知线段P， P ，使有向线段，OP OPuuur uuuur4，求直线AP与A P的交点M的轨迹方程满足 OP OP解：如图 2 ，以线段 AA 所在直线为 x 轴，以线段AA 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系设点 P(0， t )(t0) ，4， 则由题意，得 P 0t由点斜式得直线AP， A P 的方程分别为 yt ( xa)， y4 ( xa) ata两式相乘，消去t ，得 4x2a 2 y24a 2 ( y0)这就是所求点M 的轨迹方程变式4设椭圆方程为 x2y 21，过点 M (0,1) 的
8、直线 l 交椭圆于点 A， B ， O 是坐标原4点，l上的动点P满足 OP1OAOB ，点 N 的坐标为 (1 , 1) ，当 l 绕点 N 旋转时，2()22求：（1 ）动点 P 的轨迹方程；（ 2 ） | NP |的最小值与最大值 .分析：（1 ）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立，求出x1 x2 , y1y2 ，进而表示出点 P 坐标，用消参法求轨迹方程； （2 ）将 | NP | 表示成变量 x 的二次函数。解：（ 1 ）法一：直线 l 过点 M (0,1)，当 l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则 l 的方程为ykx1。设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 )
9、，由题设可列方程为-可编辑修改 -。ykx1x 2y 21 4将代入并化简得：(4k 2)x2kx30，2x1x22kk 2所以48y1y2k 24于是 OP1(OAOB)( x12x2 , y1y2 )(k2 ,42 )224k4 k设点 P 的坐标为 (x, y) ，则xk4k 2y44k 2消去参数 k 得 4x 2y2y0 当直线 l 的斜率不存在时，A，B 的中点坐标为原点(0,0) ，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为4x 2y2y0 。法二：设点P的坐标为( x, y)，因 A xy， B(x, y) 在椭圆上，所以( 1,1 )2222y11 x142x22y214得： x1
10、2x221( y12y22)041 ( y1所以 (x1x2 )( x1x2 )y2 )( y1y2 ) 04当 x1x2 时，有 x1x21( y1y2 )y1y20 4x1x2-可编辑修改 -。xx1x22并且yy1y22y 1y1y2xx1x2将代入并整理得4x2y 2y0 当 x1x2 时，点 A，B 的坐标分别为 (0,2) 、 (0,2) ，12这时点 P 的坐标为(0,0) ，也满足，所以点P 的轨迹方程为x 2( y2)1 。11111164（2 ）由点 P 的轨迹方程知x2，即x1116141417所以 | NP |2( x2( y2)24x23(x2，)(x4)122226故当 x11时， | NP | 取得最小值，最小值为；44故当 x1时， | NP |取得最小值，最小值为2166；-可编辑修改 -。THANKS !致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考-可编辑修改 -
