1、高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法张昕陕西省潼关县潼关高级中学 714399求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹
2、的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等） ，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.（4） 参数法：若动点的坐标（ ， ）中的 ， 分别随另一变量的xyxy变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去
3、曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程.典型例题示范讲解：设圆 C： ，过原点作圆的弦 0A，求 OA 中点 B 的2(1)xy轨迹方程.【解】：法一：（直接法）如图，设 B（ ， ） ，由题得 ,xy2OB2C2即 x2+y2 + =12(1)即 OA 中点 B 的轨迹方程为 （ 0）. 21()4xyxyxOABC法二：（定义法）设 B（ ， ） ，如上图，因为 B 是 OA 的中点xy所以 OBC= ,90则 B 在以 OC 为直径的圆上，故 B 点的轨迹方程是 （ 0）.21()4xyx法三：（代入法）设 A（ ， ） ，B（ ， ） ，1xyxy由中点坐标公式得 即1,2.y1,.xy又
4、因为 ，所以 ，211()x22()(1x即 （ 0）.4yx法四：（参数法）设 B（ ， ） ，A 点坐标为（1+ ， ） （ ） ，xycosin则由中点坐标公式得1,2sin.xy消去参数得 （ 0）.21()4xx法五：（几何法）设 B（ ， ） ，由条件知 CBOA，OC 的中点记为 （ ，0） ，如图，xy M12则 = = ,故 B 点的轨迹方程为M12OC（ 0）.()4xyx法六：（交轨法）设直线 OA 的方程 ，当 =0 时，B 为（1，0） ；ykx当 k 0 时，直线 BC 的方程为 .()yxk由直线 OA、BC 的方程联立消去 ，得其交点轨迹为 ，20yx即 （ 0，1）.21()4x显然 B（1,0）满足 ，21()4xy故 （ 0， ）为所求.21()4xy点评：求轨迹方程常用的几种方法，在本题中都可以应用.在解题中最容易出错的环节是轨迹方程中的变量取值范围，要谨慎分析和高度重视.题 目： 求曲线轨迹方程的常用方法 姓 名： 张 昕 所在单位： 潼关县潼关中学 联系电话： 15877643955
