1、 锐角三角函数与特殊角 一 .选择题 1.2018 山 东 烟 台 市 3 分） 利 用 计 算 器 求 值 时 ， 小 明 将 按 键 顺 序 为显示结果记为 a，的显示结果记为 b则 a， b的大小关系为（ ） A a b B a b C a=b D不能比较 【分析】由计算器的使用得出 A.b的值即可 【解答】解：由计算器知 a=（ sin30 ） 4=16.b= =12， a b， 故选： B 【点评】本题主要考查计算器基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用 . 2（ 2018金华、丽水 3分） 如图，两根竹竿 AB和 AD斜靠在墙 CE上，量得 ABC= ， ADC= ， 则竹竿 AB
2、与 AD的长度之比为（ ） A. B. C. D. 【解析】 【解答】解：设 AC=x, 在 RtABC 中， AB= 在 RtACD 中， AD= ， 则 ， 故答案为： B。 【分析】求 AB 与 AD 的比，就不必就求 AB 和 AD 的具体的长度，不妨设 AB=x，用含 x 的代数式分别表示出 AB， AD的长，再求比。 3. （ 2018黑龙江大庆 3分 ） 2cos60= （ ） A 1 B C D 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案 【解答】 解： 2cos60=2 =1 二 .填空题 1. （ 2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市 3 分 ）我国海域辽
3、阔，渔业资源丰富如图，现有渔船 B 在海岛 A， C附近捕鱼作业，已知海岛 C位于海岛 A的北偏东 45 方向上在渔船 B 上测得海岛 A 位于渔船 B 的北偏西 30 的方向上，此时海岛 C 恰好位于渔船 B的正北方向 18（ 1+ ） n mile处，则海岛 A， C之间的距离为 18 n mile 【分析】作 ADBC 于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD.CD，根据题意列式计算即可 【解答】解：作 ADBC 于 D， 设 AC=x海里， 在 RtACD 中， AD=ACsinACD= x， 则 CD= x， 在 RtABD 中， BD= x， 则 x+ x=18（ 1+ ）
4、，解得， x=18 ， 答： A， C之间的距离为 18 海里 故答案为： 18 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键 2.（ 2018江苏宿迁 3 分 ） 如图，将含有 30 角的直角三角板 ABC放入平面直角坐标系，顶点 A， B分别落在 x、 y 轴的正半轴上， OAB 60 ，点 A的坐标为（ 1， 0），将三角板 ABC沿 x轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A按顺时针方向旋转 60 ，再绕点 C按顺时针方向旋转 90 ， ）当点 B第一次落在 x轴上时，则点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_. 【答案】 + 【分析】在 Rt A
5、OB中，由 A点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2， OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S= ，计算即可得出答案 . 【详解】在 Rt AOB中， A （ 1， 0）， OA=1 ， 又 OAB 60 ， cos60= ， AB=2 ， OB= ， 在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， 点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积： S= = ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键 . 3. （ 2018广 西北海 3分 ） 如图，从甲
6、楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30 ，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处 的 俯角是 45. 已知甲 楼 的高 AB 是 120m， 则 乙 楼的高 CD 是 m（ 结果 保 留根 号 ）。 【答案】 40 【考点】三角函数 【解析】 俯角是 45! ， BDA 45!， AB AD=120m， 又 CAD 30! , 在 RtADC 中 tanCDA=tan30= CD = 3 , AD 3 CD = 40 3 （ m） 【点评】学会应用三角函数解决实际问题。 三 .解答题 1. （ 2018湖北襄阳 6 分 ）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇
7、到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向东行驶在 A处测得岸边一建筑物 P在北偏东 30 方向上，继续行驶 40秒到达 B处时，测得建筑物 P在北偏西 60 方向上，如图所示，求建筑物 P到赛道 AB 的距离（结果保留根号） 【分析】作 PCAB 于 C，构造出 RtPAC 与 RtPBC ，求出 AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解 【解答】解：过 P 点作 PCAB 于 C，由题意可知： PAC=60 ， PBC=30 ，在 RtPAC 中， ， AC= PC， 在 RtPBC 中， ， BC= PC， AB=AC+BC= ， PC=100 ， 答：建筑
8、物 P到赛道 AB的距离为 100 米 【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答 2.（ 2018江苏宿迁 8 分 ） 计算： 【答案】 5 【详解】原式 =4-1+（ 2- ） +2 ， =4-1+2- + ， =5. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值是解题的关键 . 3.（ 2018江苏淮安 10分）（ 1）计算： 2sin45+ （ 1） 0 +| 2 |； （ 2）解不等式组： 【分析】（ 1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法和
9、加减运算可得； （ 2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可 【解答】解：（ 1）原式 =2 +1 3 +2 = +1 =1； （ 2）解 不等式 3x 5 x+1，得： x 3， 解不等式 2x 1 ，得： x1 ， 则不等式组的解集为 1x 3 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则 4.（ 2018江苏淮安 12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+4 的图象与 x轴和 y轴分别相交于 A.B两点动点 P从点 A出发，在线段 AO上以
10、每秒 3个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动，点 A 关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN设运动时间为 t秒 （ 1）当 t= 秒时，点 Q的坐标是 （ 4， 0） ； （ 2）在运动过程中，设正方形 PQMN与 AOB 重叠部分的面积为 S，求 S与 t的函数表达式； （ 3）若正方形 PQMN对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT的最小值 【分析】（ 1）先确定出点 A的坐标，进而求出 AP，利用对称性即可得出结论； （ 2）分三种情况， 利用正方形的面积减去三角形的面积， 利用矩形的面积减去三角形的面积， 利用梯形的
11、面积，即可得出结论； （ 3）先确定出点 T的运动轨迹，进而找出 OT+PT 最小时的点 T的位置，即可得出结论 【解答】解：（ 1）令 y=0， x+4=0， x=6 ， A （ 6， 0）， 当 t= 秒时， AP=3 =1， OP=OA AP=5， P （ 5， 0）， 由对称性得， Q（ 4， 0）； 故答案为（ 4， 0）； （ 2）当点 Q在原点 O 时， OQ=6， AP= OQ=3， t=33=1 ， 当 0 t1 时，如图 1，令 x=0， y=4 ， B （ 0， 4）， OB=4 ， A （ 6， 0）， OA=6 ， 在 RtAOB 中， tanOAB= = ， 由运动
12、知， AP=3t， P （ 6 3t， 0）， Q （ 6 6t， 0）， PQ=AP=3t ， 四边形 PQMN是正方形， MNOA ， PN=PQ=3t， 在 RtAPD 中， tanOAB= = = ， PD=2t ， DN=t ， MNOA DCN=OAB ， tanDCN= = = ， CN= t， S=S 正方形 PQMN SCDN =（ 3t） 2 t t= t2； 当 1 t 时，如图 2，同 的方法得， DN=t， CN= t， S=S 矩形 OENP SCDN =3t （ 6 3t） t t= t2+18t； 当 t2 时 ， 如图 3， S=S 梯形 OBDP= （ 2t
13、+4）（ 6 3t） = 3t2+12； （ 3）如图 4，由运动知， P（ 6 3t， 0）， Q（ 6 6t， 0）， M （ 6 6t， 3t）， T 是正方形 PQMN的对角线交点， T （ 6 t， t） 点 T是直线 y= x+2 上的一段线段，（ 3x 6）， 作出点 O关于直线 y= x+2的对称点 O交此直线于 G，过点 O作 OFx 轴，则 OF就是OT+PT的最小值， 由对称知， OO=2OG， 易知， OH=2， OA=6 ， AH= =2 ， S AOH = OHOA= AHOG ， OG= ， OO= 在 RtAOH 中， sinOHA= = = ， HOG+AOG
14、=90 ， HOG+OHA=90 ， AOG=OHA ， 在 RtOFO 中， OF=OOsinOOF= = ， 即： OT+PT的最小值为 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点 T的位置是解本题（ 3）的难点 5. （ 2018金华、丽水 8 分） 如图，在 Rt ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心， OB为半径作圆，分别与 BC,AB 相交于点 D,E，连结 AD.已知 CAD= B. （ 1）求证： AD是 O 的切线 . （ 2）若 BC=8，
15、 tanB=12 ,求 O的半径 . 【解析】 【分析】（ 1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证 得；此题即证 ADO=90 ；（ 2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件， 求出相关结论，由 BC=8， tanB= 不难得出 AC， AB 的长度；而 tan1=tanB= ，同样可求出 CD， AD 的长度；设半径为 r，在 RtADO 中，由勾股定理构造方程解出半径 r即可。 6.（ 2018广东 9 分）如图 ，四边形 ABCD 中， AB=AD=CD，以 AB 为直径的 O 经过点 C，连接 AC， OD交于点 E E O A B D C （
16、1）证明： OD BC； （ 2）若 tan ABC=2，证明： DA 与 O相切； （ 3）在（ 2）条件下，连接 BD交于 O于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF的长 【分析】 （ 1）连接 OC，证 OAD OCD得 ADO= CDO，由 AD=CD知 DE AC，再由 AB 为直径知 BC AC，从而得 OD BC； （ 2）根据 tan ABC=2 可设 BC=A.则 AC=2A.AD=AB= = ，证 OE 为中位线知OE= A.AE=CE= AC=a，进一步求得 DE= =2a，再 AOD中利用勾股定理逆定理证 OAD=90 即可得； （ 3）先证 AFD BAD 得 D
17、FBD=AD2 ，再证 AED OAD 得 ODDE=AD2 ，由 得DFBD=ODDE，即 = ，结合 EDF= BDO知 EDF BDO，据此可得 = ，结合（ 2）可得相关线段的长，代入计算可得 【解答】 解：（ 1）连接 OC， 在 OAD和 OCD中， ， OAD OCD（ SSS）， ADO= CDO， 又 AD=CD， DE AC， AB为 O的直径， ACB=90 ， ACB=90 ，即 BC AC， OD BC； （ 2） tan ABC= =2， 设 BC=A.则 AC=2a， AD=AB= = ， OE BC，且 AO=BO， OE= BC= a， AE=CE= AC=a
18、， 在 AED中 ， DE= =2a， 在 AOD中 ， AO2+AD2=（ ） 2+（ a） 2= a2， OD2=（ OF+DF） 2=（ a+2a） 2= a2， AO2+AD2=OD2， OAD=90 ， 则 DA与 O相切； （ 3）连接 AF， AB是 O的直径， AFD= BAD=90 ， ADF= BDA， AFD BAD， = ，即 DFBD=AD2 ， 又 AED= OAD=90 ， ADE= ODA， AED OAD， = ，即 ODDE=AD2 ， 由 可得 DFBD=ODDE，即 = ， 又 EDF= BDO， EDF BDO， BC=1， AB=AD= 、 OD=
19、、 ED=2.BD= 、 OB= ， = ，即 = ， 解得： EF= 【点评】 本题主要考查圆的综合问题，解题 的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点 7.（ 2018广西贵港 8 分）如图，已知 O 是 ABC 的外接圆，且 AB=BC=CD， ABCD ，连接BD （ 1）求证： BD是 O 的切线； （ 2）若 AB=10， cosBAC= ，求 BD的长及 O 的半径 【分析】（ 1）如图 1，作直径 BE，半径 OC，证明四边形 ABDC 是平行四边形，得 A=D ，由等腰三角形的性质得： CBD=D=A=OCE ，可得
20、 EBD=90 ，所以 BD是 O 的切线； （ 2）如图 2，根据三角函数设 EC=3x， EB=5x，则 BC=4x 根据 AB=BC=10=4x，得 x 的值，求得 O 的半径为 ，作高线 CG，根据等腰三角形三线合一得 BG=DG，根据三角函数可得结论 【解 答】（ 1）证明：如图 1，作直径 BE，交 O 于 E，连接 EC.OC， 则 BCE=90 ， OCE+OCB=90 ， ABCD ， AB=CD， 四边形 ABDC是平行四边形， A=D ， OE=OC ， E=OCE ， BC=CD ， CBD=D ， A=E ， CBD=D=A=OCE ， OB=OC ， OBC=OCB
21、 ， OBC+CBD=90 ， 即 EBD=90 ， BD 是 O 的切线； （ 2）如图 2， cosBAC=cosE= ， 设 EC=3x， EB=5x，则 BC=4x， AB=BC=10=4x ， x= ， EB=5x= ， O 的半径为 ， 过 C作 CGBD 于 G， BC=CD=10 ， BG=DG ， RtCGD 中， cosD=cosBAC= ， ， DG=6 ， BD=12 【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据三角函数的比设未知数，列方程解决问题 8.（
22、2018贵州黔西南州 12 分）（ 1）计算： | 2| 2cos60 +（ ） 1（ 2018 ） 0 【分析】 （ 1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题； 【解答】 解：（ 1） | 2| 2cos60 +（ ） 1（ 2018 ） 0 =2 2 +6 1=2 1+6 1=6； 【点评】 本题考查绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 2.（ 2018贵州铜仁 10分）（ 1）计算： 4cos60 （ 3.14） 0（ ） 1 【分析】 （ 1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再分别计算乘法和加减运算可得； 【解答】 解：（ 1）原式 =2 4 1 2=2 2 1 2= 3； 3.（ 2018贵州遵义 6 分） 2 1+|1 |+（ 2） 0 cos60 【分析】 直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】 解：原式 = +2 1+1 =2
