1、天津市实验中学 2018 届高三上学期期中（第三阶段）考试数学（文）试题第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 为实数，若复数 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得 ，则 ，解得 ，故选 A.2. 已知直线 分别在两个不同的平面 内，则“直线和直线 相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）A. 充分不必耍条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线 a 和直线 b 没有公共点”时，两直线有可能在两个相交平面上。充分性不成
2、立；故选 B.3. 下列命题中的假命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于 ，正确；对于 ，当 时， ，此时 错误；对于 ，当时， ，则 ，正确；对于 的值域为 ，正确，故选 B.4. 已知数列 中， ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项，则判断框中应填的语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件第一次循环得到 ，第二次循环得到 ，当执行第 项时， ，的值为执行之后加 的值，所以判断条件应为进入之前的值.故选 D考点：程序框图5. 双曲线 的离心率是 ，则 的最小值为（ ）A.
3、B. C. D. 【答案】C【解析】 ，则 ，当 即 时取最小值 ，故选 C.【易错点晴】本题主要考查双曲线的离心率及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.6. 已知 是等差数列 的前 项和， ，设 为数列 的前 项和，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.点睛：本题采用分组转化法求和. 分组
4、转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型 （如 ）7. 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 两点，与抛物线的准线相较于点 ，则 与 的面积之 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图,过 作准线 的垂线、垂足分别为 ， ，又 ，由抛物线定义 ，由 ，知 ， ，把 代入上式，求得 ， ，故 ，故选 B.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点
5、的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.8. 已知函数 若存在实数 ，且 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出函数 的图象 ， ， ， ， ， ，由于 ，则， 为 上单调增函数，因为 ，则，有 ，所以由此可得： 的取值范围是 ，选 A.【点睛】利用数学结合思想解函数题是高考必考解题的解题思想，先画出函数图象，结合题意根据找出 的关系，再根据函数 找出 的范围和关系，最后求出 的取值范围，特别说明由 ，及 代入减元转化为二次函数求 的范围.第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9.
6、设全集 ，若 ，则集合_【答案】【解析】， ，如图,由于阴影部分表示的集合是 集合 即为 的补集，则集合 ，故答案为.10. 已知直线 .若以点 为圆心的圆与直线相切于点 ，且点 在 轴上，则该圆的方程为_【答案】【解析】由题意可得，点 ，且 的斜率为 ，即 ，求得 ，可得点 ，故圆的半径，故圆的方程为 ，故答案为 .11. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是_【答案】【解析】根据题意，还原出如图的三棱锥 底面 中， ，且 ，侧面 中，高于 ，且 ， 三棱锥的体积是 ，故答案为 .【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考
7、查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范闱为_【答案】【解析】根据对数函数的定义可得 ，解得 ，因为二次函数 图象的对称轴为 ，由复合函数单调性可得函数 的单调递增区间为 ，要使函数在区间 内单调递增，只需 ，解关于 的不等式组得，即 的取值范围是 ，故答案为 .13. 在平面直角坐标系 中，设 是圆 上相异三点，若存在正实数 使得 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】 互异
8、， ，由 ，得 ，则，无最大值， 的取值范围是 ，故答案为 .14. 已知函数 ， ，若方程 的实根个数为 ，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析： 令 原命题等价于方程的实数根的个数有 个，做函数 的图象如下图 , 考点：1、函数的解析式；2、函数与方程.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数与方程，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先令 原命题等价于方程 的实数根的个数有 个，做函数 的图象如上图, 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
9、骤.） 15. 中，角 所对的边分别为 ，已知 .（1）若 ，求 ；（2）若 ，求 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 ，根据正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，解方程组即可求出；（2）根据两角和的余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数的关系可得，再由二倍角的正弦公式可得结果.试题解析：（1） ，由正弦定理可得 ，由 ，解得 .（2）由 得 ， ，.16. 是直线 与函数 图像的两个相邻的交点，且 .（1）求 的值和函数 的单调增区间； （2）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 的对称轴
10、方程.【答案】 （1） ， 增区间 ；（ 2） .【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的二倍角公式以及两角和余弦函数得 ，由及周期公式可得 ，从而可得函数 的解析式，根据余弦函数的单调性解不等式可得结果；（2）根据三角函数的放缩变换与平移变换可得 ，利用余弦函数的对称性可得结果.试题解析：（1） ，因为 是直线 与函数图像的两个相邻的交点，且 ，所以 ，所以；由 可得 ，所以可知函数 的单调增区间是；（2）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象，再将 的图象向左平移 个单位，得到函数 图象，由 可得函数 的对称轴方程为， .17. 某餐厅装修，需要大块胶
11、合板 张，小块胶合板 张，已知市场出售 两种不同规格的胶合板。经过测算， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板 张，小块胶合板 张， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板 张，小块胶合板 张. 已知 种规格胶合板每张 元， 种规格胶合板每张 元.分别用 表示购买两种不同规格的胶合板的张数.（1）用 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求， 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.【答案】 （1） ；（2） 种胶合板 5 张， 种胶合板 10 张花费资金最少，最少资金数为 1720 元.试题解析：（1）买 胶合板 张， 胶合板 张，由题意得到 ，平面
12、区域如图：（2）由设花费资金 ，由（1） 得 ，由图可知当 时，（元），答： 型木板 张， 型木板 张，付出资金最少为 元.18. 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ，右顶点为 ，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2 ） ；（3） .【解析】试题分析：（1）由“左焦点为 ，右顶点为 “得到椭圆的半长轴， 半焦距，再求得半短轴 最后由椭圆的焦点在 轴上求得方程 ；（2）设线段 的中点为 ，点 的坐标是 ，由中点坐标公式，分别求得 ，代入椭圆方程，
13、可求得线段 中点 的轨迹方程；（3）分直线 垂直于 轴时和直线 不垂直于 轴两种情况分析 ，求得弦长 ，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.试题解析：（1）椭圆的标准方程为 .（2）设线段 的中点为 ，点 的坐标是 ，由 ，得 点 在椭圆上，得线段 中点 的轨迹方程是 . （3）当直线 垂直于 轴时， ，因此 的面积 .当直线 不垂直于 轴时，该直线方程为 ，代入 ，解得 ， ，则 ，又点 到直线 的距离 ， 的面积于是由 ，得 ，其中，当 时，等号成立. 的最大值是 .19. 已知数列 的前 项和 满足： （为常数，且 ).（1）求 的通项公式；（2）设 ，若数列 为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析.
