1、2018 届四川省成都市双流中学高三 11 月月考数学（文）试题（解析版）一、选择题(本大题共 12 小题，共 50 分)1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 得， ，又 ， ，且 ， ，故选 B.2. 复数 在复平面内对应的点的坐标是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 复数 在复平面内对应的点的坐标是 ，故选 A.3. 若样本平均数为 ，总体平均数为 ，则( )A. B. C. 是 的估计值 D. 是 的估计值【答案】D【解析】样本平均数为 ，总体平均数为 ，统计学中，利用样本数据估计总体数据， 样本平均数 是总体平均数 的估计值，故
2、选 D.4. 若 ，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，则 ，可得 ，则，故选 C.5. 已知变量 满足 ，则 的最大值是( )A. 2 B. C. -2 D. -8【答案】B【解析】作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分 ），由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，将 的坐标代入目标函数 ，得 ，即 的最大值为 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标
3、函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 执行如图所示的程序框图，当输入 时，输出的 值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数 的值，由于，可得 ，故选 C.7. 中国古代数学家赵爽设计的弦图(如图 1) 是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图 2 所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为 100,小正方形的面积为 4,则图 2 中菱形的一个锐角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】大正
4、方形边长为 ，小正方形边长为 ，设直角三角形较小的角为 ，则，两边平方得 .点睛：本题主要考查中国古代数学文化，考查解直角三角形、考查三角函数恒等变形.题目给定大小两个正方形的面积，由此我们可以得到正方形的边长，由此可假设出直角三角形的一个角，利用这个角表示出直角三角形的两条变，它们的差等于小正方形的边长，将得到的式子两边平方后即可得到所求.8. 函数 的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为偶函数，故排除 B.当 时， , ，当 时， ，函数单调递减，当 时，函数单调递增故选 D.9. 长方体 中， , , ,点 是平面 上的点，且满足，当长方体 的体积最大时，线段
5、 的最小值是( )A. B. C. 8 D. 【答案】B【解析】由题意，当长方体 的体积 ，当最大，此时长方体 为棱长为 的正方体， 的轨迹是平面 中，以为圆心， 为半径的圆的 ，设 在平面 中的射影为 ，则 为 的中点， 的最小值为 ，线段 的最小值是 ，故选 B.10. 已知三棱锥 ， 是直角三角形，其斜边 ， 平面 , ,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形 的外接圆的圆心为 的中点 ，过 作面 的垂线，球心 在该垂线上，过作球的弦 的垂线，垂足为 ，则 为 的中点，球半径 ，棱锥的外接球的表面积为 ，故选 A.【方法点睛】本题主
6、要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ； 若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球心和半径.学|科|网.学|科| 网.学|科|网.学| 科|网.学|科| 网.学|科|网.学|科|网.11. 已知椭圆 的两个焦点是 , 是直线 与椭圆的一个公共点，当 取得最小值时椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： ，满足题意时： ，当 时，椭圆的离心率取得最小值 .本题选择 D 选项
7、.12. 已知函数 ，则函数 的零点个数为( )A. 1 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C【解析】令 得 ， ， ，令 ，作出图象如图所示：由图象可得当 无解， 有 3 个解， 有 1 个解，综上所述函数 的零点个数为 4，故选 C.点睛：本题考查了函数零点的问题，以及分段函数的问题，整体代换思想在解方程中的应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题；先解出方程 的解，将 利用整体代换分为当 ， ，三种情形，可得最后结果.二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分)13. 已知向量 , , 则 _【答案】1【解析】向量 ，可得 ，由 ，可得 ，可得，当 同向时，取得最小值 ，故答案为
8、.14. 已知圆 .圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程是_【答案】【解析】设圆 C 的圆心(a,b), 因为圆 C 的圆心与圆 O:x2+y2=1 的圆心关于直线 l:x+y2=0 对称，所以 ，解得 a=2，b=2；又圆的半径为 1，则所求圆的方程为：(x2) 2+(y2)2=1.15. 的三个内角 所对的边分别为 ， ,则角 的最大值是_【答案】【解析】根据正弦定理， 转化为 ，即 ，根据余弦定理 ，当且仅当 时，等号成立，由于 ，所以由 得， ，所以角 的最大值为 .16. 定义在 上的函数 ，对任意 ,都有 且 ,则_【答案】【解析】令 得： ， ，即 ， 的周期为 ，且， ，令
9、得，故答案为 .【思路点睛】本题主要考查抽象函数的解析式、函数的特值法、函数的周期性的应用. 属于难题, 解答本题的关键是判断出函数的周期性，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1) ；（2） ；（3） .三、解答题(本大题共 5 小题，共 60.0 分)17. 在数列 中. ,（）求 的通项公式；（）求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由, 可得数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列，从而可得 的通项公式；（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法可得数列的前 项和 .试题解析：（1） 的两边同时除以 ，得 ,所以数列 是首项为 4，公差为 2 的等差
10、数列易得 ，所以 （2）由（1）知 ，所以 【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车的乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如下表所示：组别 一 二 三 四 五候车时间(
11、分钟)人数 2 6 4 2 1（1）估计这 15 名乘客的平均候车时间；（2）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查，求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率【答案】 （1）10.5；（2）32；（3） .【解析】试题分析：（1）各组等车时间中间值与频数的积求和,可得这 名乘客等车时间的总和，除以 可得这 名乘客的平均候车时间；（2）根据 名乘客中候车时间少于 分祌频数和为 ，可估计这 名乘客中候车时间少于 分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人怡好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概
12、率公式可得答案.试题解析：（1）这 15 名乘客的平均候车时间约为 (分钟) （2）这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的频率为 ，所以这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约为 （3）将第三组乘客编号为 ,第四组乘客编号为 ，从 6 人中任选 2 人共包含以下 15 个基本事件，其中 2 人恰好来自不同组包含以下 8 个基本事件:，于是所求概率为 【方法点睛】本题主要考查样本估计总体及古典概型概率公式， ，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ，. ，再 ， . 依次 . 这样才能避免多写、漏
13、写现象的发生.19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ,且 , .四边形 满足, , . 为侧棱 的中点， 为侧棱 上的任意一点.（1）若 为 的中点，求证: 面 平面 ；（2）是否存在点 ,使得直线 与平面 垂直? 若存在，写出证明过程并求出线段 的长；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得 平面 ,从而得 ，再结合 ，可得 平面 ，又利用三角形中位线定理可得 ，进而可得结果；（2）过点 作 ,垂足为 ，先证明 平面 ,结合 平面 ,得 ，从而可得 平面 ，利用三角形面积相等即可得线段 的长.试题解析：（1） 分别为侧
14、棱 的中点， . , .面 平面 ,且 ,面 平面 , 平面 ,结合 平面 ,得 .又 , , 平面 ,可得 平面 . 结合 平面 ，得平面 平面 .（2）存在点 ，使得直线 与平面 垂直.平面 中，过点 作 ,垂足为由己知 , , , .根据平面几何知识，可得 .又由（1） 平面 ,得 ,且 , 平面 ,结合 平面 ,得 .又 , 平面 .在 中， , ， , ， . 上存在点 ，使得直线 与平面 垂直，此时线段 长为 .20. 已知曲线 上任意一点到 的距离与到点 的距离之比均为 .（1）求曲线 的方程；（2）设点 ，过点 作两条相异直线分别与曲线 相交于 两点，且直线 和直线 的倾斜角互
15、补，求线段 的最大值【答案】 （1） ；（ 2） .【解析】试题分析：（1）设曲线 上的任意一点为 ,由题意得 ，化简整理即可得结果；（2）可设直线 的方程为 ，由 消去 得，求出 两点， 可得 为定值 ，直线 的方程为 ，求得，进而可得结果.试题解析：（1）设曲线 上的任意一点为 ,由题意得 ，整理得 即曲线 的方程为（2）由题意知，直线 和直线 的斜率存在，且互为相反数，因为 ，故可设直线 的方程为，由 消去 得，因为 在圆上，所以点 的横坐标 一定是该方程的解，故可得 ，同理， ，所以 ,故直线 的斜率为定值 ,设直线 的方程为 ，则圆 的圆心到直线 的距离 ，所以，所以当 时， .21. 已知函数 .（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 1,求函数 的单调区间；
