1、3.1.5空间向量的数量积,第3章空间向量与立体几何,学习目标重点难点重点:理解数量积的定义,掌握数量积的运算.难点:运用数量积求夹角与距离.,学习导航,a,b,同向,反向,互相垂直,ab,想一想1.a,b与b,a的关系是怎样的？a,b与a,b的关系呢？提示:a,bb,a,a,ba, b.,2.空间两向量数量积的定义定义:设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab_.特别规定:零向量与任一向量的数量积为0.,|a|b|cosa,b,|a|cosa,e,ab0,|a|b|,|a|b|,|a|2,4.空间向量数量积的运算律(1)交换律:_;
2、(2)数乘向量与数量积的结合律:(ab)(a)ba(b)(R);(3)分配律:(ab)cacbc.,abba,做一做2.下列式子正确的是_(填序号).a|a|a2;(ab)2a2b2;(ab)ca(bc);|ab|a|b|.答案:,a1b1a2b2a3b3,想一想3.空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间有何关系？提示:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多了一项竖坐标,其法则与横、纵坐标一致,即与空间平面“一个样”,只是“多了一个量”.,做一做4.已知a(1,1,0),b(1,0,2),则a与b夹角的余弦值为_.,【名师点评】两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,其结果是个数量
3、,不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.,变式训练,题型二利用数量积求角如图,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求OA与BC所成角的余弦值.,【名师点评】(1)利用向量法求角,主要是利用向量数量积的定义.(2)在直线所成角的问题转化为两向量的夹角问题时,需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补.,变式训练2.如图所示,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,求:异面直线BA1与AC所成的角.,【思路点拨】(1)利用向量数量积的坐标公式求解.(2)利用两向量垂直的充要条件列方程求解.,1.已知
4、如图所示的空间四边形OABC中,AOBBOCAOC,且OAOBOC.M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OGBC.,方法技巧,3.数量积是数量,可以是正数,也可以是负数或零,它没有方向,可以比较大小.a与b的数量积的几何意义是:向量a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cosa,b的乘积.4.利用坐标运算求向量的夹角,以至求异面直线所成的角,是空间向量知识的重要应用,也是求异面直线所成角的基本方法之一.,失误防范,3.求异面直线所成角时,应注意异面直线所成角与向量夹角的区别:如果向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量夹角;如果向量夹角为钝角,则异面直线所成的角为向量夹角的补角.如例2的变式训练,异面直线BA1与AC所成的角是60,而不是120.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
